Bez tytułu slajdu

Kolorowanie wierzchołków
Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki
sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny
kolor.
Każda krawędź łączy
wierzchołki różnych
kolorów.
Takie pokolorowanie nazywać będziemy właściwym.
właściwym
Czy pewne grafy mogą być pokolorowane za pomocą
danej liczby kolorów?
Jaka jest najmniejsza liczba kolorów potrzebna do
pokolorowania grafu?
Na ile sposobów można dany graf pokolorować przy
użyciu zadanej liczby kolorów?
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
1
Definicja:
Graf jest k-kolorowalny (wierzchołkowo), jeśli każdemu
wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów tak,
że żadne dwa wierzchołki sąsiednie nie mają tego samego
koloru.
Definicja:
Jeśli G jest k-kolorowalny, ale nie jest (k-1)-kolorowalny to
mówimy, że graf jest k-chromatyczny.
chromatyczny
Definicja:
Liczbą chromatyczną grafu χ(G) nazywamy najmniejszą
liczbę kolorów niezbędną do właściwego pokolorowania
wierzchołków grafu.
Graf 4-chromatyczny
Do pokolorowania grafu pełnego Kn potrzeba n kolorów
(wszystkie jego wierzchołki są sąsiednie).
Graf zawierający graf pełny
o r wierzchołkach jest co najmniej
r-chromatyczny.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
2
Grafy cykliczne:
χ(G)=2
parzysta liczba wierzchołków
χ(G)=3
nieparzysta liczba wierzchołków
Grafy dwudzielne (niepuste):
χ(G)=2
Drzewa:
Każde drzewo o dwóch lub więcej wierzchołkach jest 2-chromatyczne.
Twierdzenie:
Jeśli G jest grafem prostym, w którym największy stopień
wierzchołka wynosi d, to graf G jest (d+1)-kolorowalny.
χ(G) ≤ d+1
górne ograniczenie liczby chromatycznej
Twierdzenie:
Jeśli G jest spójnym grafem prostym, nie będącym grafem
pełnym i jeśli największy stopień wierzchołka grafu G
wynosi d (d ≥ 3), to graf G jest d-kolorowalny
(tzn. χ(G) ≤ d).
Gdy wszystkie stopnie wierzchołków są w przybliżeniu takie same można mieć korzyść z twierdzenia.
Ale np. K1,s - z twierdzenia wynika, że graf ten jest s-kolorowalny, a
naprawdę jest 2-kolorowalny dla każdego s.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
3
Jeśli ograniczymy rozważania do grafów planarnych, to:
Twierdzenie o czterech barwach
(Appel, Haken, 1976):
KAŻDY PLANARNY GRAF PROSTY JEST
4-KOLOROWALNY.
Przykład zastosowania:
Potrzeba przechować 5 substancji chemicznych a, b, c, d, e
Niektóre z tych substancji reagują gwałtownie w przypadku zetknięcia powinny być przechowywane w odległych miejscach.
a
b
c
d
e
a ⎯
∗
∗
∗
⎯
b
∗
⎯
∗
∗
∗
∗ – pary substancji, które
c
∗
∗
⎯
∗
⎯
muszą być rozdzielone
d
∗
∗
∗
⎯
∗
e ⎯
∗
⎯
∗
⎯
W ilu oddzielnych częściach magazynu możemy przechowywać te
b
substancje?
Dwa wierzchołki sąsiednie,
gdy substancje muszą być oddzielnie
a
c
e
Potrzebne są 4 części magazynu.
d
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
4
Przykład zastosowania - rozkład godzin wykładów:
Niektóre wykłady nie mogą się odbywać jednocześnie.
Czy jest możliwe ułożenie planu zajęć?
Graf – wierzchołki – wykłady
krawędzie łączą te pary wykładów, które nie mogą
być zaplanowane w tym samym czasie
kolor wierzchołka – godzina
Pokolorowanie wierzchołków → zaplanowanie zajęć
Przykład - słowa kodowe
Niektóre słowa kodowe są tak do siebie zbliżone, że można je pomylić.
Pary takich słów łączy się krawędzią.
c
Znaleźć największy zbiór
słów kodowych
dla niezawodnej łączności.
a
e
b
d
f
g
Niezależny zbiór wierzchołków – żadne dwa wierzchołki nie są
sąsiednie.
Problem znajdowania maksymalnego zbioru niezależnego
o największej liczbie wierzchołków
(dla przykładu { a, c, d, f } )
Liczba wierzchołków w największym zbiorze niezależnym
grafu G o n wierzchołkach ≥ n/χ(G)
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
5
Sprawiedliwe kolorowanie grafów
Kolorowanie klasyczne wierzchołków z ograniczeniem, aby krotności
użycia kolorów różniły się co najwyżej o jeden
Zastosowanie: np. problem optymalnego podziału zbioru zawierającego
konflikty na równoliczne podzbiory bezkonfliktowe.
Przykład:
W problemie dostaw wierzchołki grafu reprezentują miejsca dostaw.
Dwa wierzchołki są połączone krawędzią, gdy miejsca dostaw nie mogą
być obsłużone tego samego dnia.
Problem przydziału jednego z 6 dni pracy każdemu miejscu →
pokolorowanie grafu sześcioma kolorami.
Z uwagi na ograniczenie taboru – w każdym dniu chcemy obsłużyć
możliwie taką samą liczbę miejsc.
Kontrastowe kolorowanie grafów
Dodatkowy warunek – wierzchołki sąsiadujące otrzymują kolory, których
odległość nie należy do pewnego ustalonego zbioru T.
Zastosowanie: problem przydziału częstotliwości, układanie rozkładów
zajęć itd.
Inne:
sumacyjne (minimalna „suma kolorów”),
listowe (dla każdego wierzchołka zbiór dopuszczalnych kolorów
jest ograniczony przez pewien podzbiór) ...
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
6
Wielomiany chromatyczne
G – graf prosty
Funkcja chromatyczna PG(k) – liczba sposobów pokolorowania
właściwego wierzchołków grafu G dysponując k kolorami .
Twierdzenie: Funkcja chromatyczna grafu prostego jest
wielomianem.
PG(k) - wielomian chromatyczny grafu G
Jeśli graf G ma n wierzchołków, to wielomian PG(k) ma stopień n ze
współczynnikiem 1 przy kn.
Wyraz wolny dowolnego wielomianu chromatycznego jest równy 0
(grafu nie można pokolorować, gdy k = 0, czyli nie mamy żadnego koloru).
Wielomiany chromatyczne
Np. jeśli G jest drzewem
o 3 wierzchołkach
k-1
k
k-1
PG ( k ) = k ⋅ ( k − 1)2
Jeśli G jest dowolnym drzewem o n wierzchołkach, to
PG ( k ) = k ⋅ ( k − 1) n−1
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
7
Wielomiany chromatyczne
Np. G graf pełny
o 3 wierzchołkach
k
PG ( k ) = k ⋅ ( k − 1) ⋅ ( k − 2)
k-1
k-2
Dla grafu Kn:
PG ( k ) = k ⋅ ( k − 1) ⋅ ( k − 2) ⋅ K ⋅ ( k − n + 1)
Kolorowanie krawędzi
Graf G jest k-barwny krawędziowo (k-barwny(e)), gdy jego
krawędzie można tak pokolorować k barwami, aby żadne
dwie krawędzie sąsiednie nie miały tego samego koloru.
Gdy graf G jest k-barwny(e), lecz nie jest (k-1)-barwny(e), to
jego liczba chromatyczna krawędziowa - indeks
chromatyczny χ′(G) - wynosi k.
χ′(G) = 4
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
8
Twierdzenie:
Jeśli G jest grafem prostym, którego największy stopień
wierzchołka wynosi d, to d ≤ χ’(G) ≤ d+1.
Dokładne określenie, które grafy mają χ′(G)=d, a które χ′(G)= d+1, jest
problemem.
Np. χ′(Cn) = 2, gdy n jest parzyste lub χ′(Cn) = 3, gdy n jest nieparzyste.
Np. χ′(Kn) = n, gdy n jest nieparzyste, χ′(Kn) = n-1, gdy n jest parzyste.
Twierdzenie:
Jeśli G jest grafem dwudzielnym z maksymalnym stopniem
wierzchołka d, to χ′(G) = d.
Kolorowanie map
Iloma kolorami można
pokolorować mapę tych państw
tak, aby żadne dwa państwa
mające wspólną granicę nie
były pomalowane tym samym
kolorem?
Co nazywamy mapą?
Mapa - graf planarny 3-spójny.
Nie zawiera rozcięć mających 1 lub dwie krawędzie. Nie ma
wierzchołków stopnia 1 i 2.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
9
Mapa jest k-kolorowalna (f), jeśli jej ściany można
pokolorować k kolorami tak, by żadne dwie ściany
ograniczone wspólną krawędzią nie były pomalowane tym
samym kolorem.
(3)
(1)
(3)
(1)
(2)
4-kolorowalny(v)
3-kolorowalny(f)
Twierdzenie:
Niech G będzie grafem planarnym bez pętli i niech G* będzie grafem
geometrycznie dualnym do grafu G.
Graf G jest k−kolorowalny(v) wtedy i tylko wtedy, gdy graf G* jest
k−kolorowalny(f).
Dla dowolnego twierdzenia dotyczącego kolorowania wierzchołków grafu
planarnego możemy utworzyć twierdzenie dualne mówiące o
kolorowaniu ścian mapy.
Twierdzenie o czterech barwach dla map jest
równoważne z twierdzeniem o czterech barwach dla
grafów planarnych.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
10
Pokrycia w grafach
Graf G( V, E )
Pokryciem krawędziowym grafu nazywamy taki podzbiór jego krawędzi,
że każdy wierzchołek grafu jest incydentny z przynajmniej jedną
krawędzią tego podzbioru.
Pokryciem wierzchołkowym grafu nazywamy taki podzbiór jego
wierzchołków, że każda krawędź grafu jest incydentna z przynajmniej
jednym wierzchołkiem z tego podzbioru.
Zbiory wewnętrznie stabilne
Wierzchołki v1, v2 nazywamy niezależnymi, gdy nie są wierzchołkami
sąsiednimi.
Zbiorem wewnętrznie stabilnym wierzchołków grafu G nazywamy
dowolny podzbiór wierzchołków parami niezależnych.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
11
Skojarzenia
Krawędzie e1, e2 grafu nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze
wspólnym wierzchołkiem.
Skojarzeniem w grafie nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami
niezależnych.
Skojarzenia w grafach dwudzielnych
Graf dwudzielny G( V1 ∪ V2, E )
Skojarzeniem całkowitym ze zbioru V1 w zbiór V2 grafu
dwudzielnego G(V1∪V2, E) nazywamy takie skojarzenie w
grafie G, że dla każdego wierzchołka v ∈ V1 istnieje w
skojarzeniu krawędź incydentna z tym wierzchołkiem.
istnieje skojarzenie całkowite →
← nie istnieje skojarzenie całkowite
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
12
G = G(V1∪V2, E) – graf dwudzielny
A podzbiór zbioru V1
zbiór ϕ(A) – zbiór tych wierzchołków należących do V2,
które sąsiadują z co najmniej jednym wierzchołkiem ze
zbioru A.
A
ϕ(A)
Problem kojarzenia małżeństw
Przykład:
W grupie złożonej z siedmiu panów i sześciu pań w wieku małżeńskim:
pani 1
zna panów
1`, 2`, 3`
pani 2
zna panów
2`, 3`
pani 3
zna panów
3`, 5`, 7`
pani 4
zna panów
1`, 2`
pani 5
zna panów
1`, 2`, 3`
pani 6
zna panów
4`, 5`, 6`
Czy możliwe jest znalezienie męża dla każdej z pań (tj. dla każdej innego
pana spośród tych, których zna)?
NIE
Cztery panie 1, 2, 4, 5 znają tylko trzech panów 1`, 2`, 3`
Aby zaistniała szansa znalezienia męża dla każdej z pań, musi
zachodzić taka sytuacja, że dowolny podzbiór r pań zna co
najmniej r panów
(warunek konieczny).
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
13
Przykład:
pani 1
zna panów
1`, 3`
pani 2
zna panów
2`, 3`
pani 3
zna panów
1`, 3`, 4`, 5`
pani 4
zna panów
2`, 4`, 6`, 7`
pani 5
zna panów
1`, 5``
pani 6
zna panów
1`, 2`
Każdy zbiór pań zna co najmniej tylu panów, ile jest w nim pań
Np. panie { 1, 2, 6 } znają panów { 1`, 2`, 3` }
Czy możemy dla każdej pani znaleźć męża?
•
•
Zaczynamy dla każdej pani wybierać różnych panów tak długo, jak długo nie
znajdzie się pani, dla której nie został do wyboru żaden pan.
Np. 1 → 1`
2 → 2` 3 → 3` 4 → 4` 5 → 5`
6 zna tylko 1`, 2`, którzy są już zaangażowani
Pani 6 urządza przyjęcie. Zaprasza wszystkich panów, których zna. Ci
zapraszają swoje narzeczone. Panie te zapraszają wszystkich znajomych
panów, którzy nie zostali jeszcze zaproszeni. Ci panowie zapraszają swoje
narzeczone ... . W końcu zostaje zaproszony pan C`, który nie jest zaręczony.
C` = 6`
nie jest zaręczony
{ } - { 1`, 2` } - { ,
} - { 3` } - {
} - { 4`, 5` } - { ,
} - { 6`,
}
( 1, 3` ) ( 2, 2` ) ( 3, 4` ) ( 4, 6` ) ( 5, 5` ) ( 6, 1` )
Twierdzenie Halla ( wersja małżeńska):
W grupie pań każda może wybrać męża spośród panów,
których zna, wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym
podzbiorze r pań, panie te znają co najmniej r panów.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
14
Panie {d1 , d2 , d3 , d4 } znają panów { c1 , c2 , c3 , c4 , c5 }
zgodnie z tabelą:
d1
d2
d3
d4
→
→
→
→
c 1 c4 c 5
c1
c 2 c 3 c4
c2 c4
co daje graf dwudzielny:
Problem kojarzenia małżeństw w języku teorii grafów:
Jeżeli G = G(V1∪ V2, E) jest grafem dwudzielnym, to kiedy istnieje
skojarzenia całkowite z V1 do V2 w grafie G?
Twierdzenie Halla ( wersja grafowa):
grafowa):
Niech G = G(V1∪V2, E) będzie grafem dwudzielnym i niech
dla każdego podzbioru A zbioru V1 zbiór ϕ(A) będzie
zbiorem tych wierzchołków należących do V2, które
sąsiadują z co najmniej jednym wierzchołkiem ze zbioru A.
Istnieje skojarzenie całkowite z V1 do V2 wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego podzbioru A zbioru V1 zachodzi
nierówność |A| ≤ |ϕ(A)|
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
15
Transwersale
Rodzina zbiorów – pewna uporządkowana lista zbiorów F = ( S1 , ... , Sm )
Niech A – niepusty zbiór skończony
Si – niepuste podzbiory A
Transwersalą rodziny F (systemem różnych reprezentantów)
nazywamy zbiór m różnych elementów zbioru A,
wybranych po jednym z każdego zbioru Si.
Np. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
S1 = { 1, 3} S2 = { 2, 3 }
S3 = { 1, 3, 4, 5 } S4 = { 2, 4, 6, 7 }
S5 = { 1, 5} S6 = { 1, 2 }
Transwersala X = { 3, 2, 4, 7, 5, 1 }
Jakie warunki powinna spełniać rodzina zbiorów, aby
miała transwersalę?
Związek z problemem kojarzenia małżeństw:
zbiór A reprezentuje zbiór panów
Si – zbiór tych panów, których zna pani di dla i = 1, ... , m
Transwersala jest zbiorem panów, z których każdy jest narzeczonym
kolejnej pani.
Twierdzenie Halla ( wersja transwersalowa):
transwersalowa):
Niech A będzie niepustym zbiorem skończonym i niech
F = ( S1 , ... , Sm ) będzie rodzina niepustych podzbiorów
zbioru A. Rodzina F ma transwersalę wtedy i tylko wtedy,
gdy suma dowolnych k podzbiorów Si ma co najmniej k
elementów ( dla 1 ≤ k ≤ m).
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
16
Np. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
S1 = S2 = { 1, 2} S3 = S4 = { 2, 3 }
S5 = { 1, 4, 5, 6 }
Nie jest możliwe znalezienie pięciu różnych elementów zbioru A, po
jednym z każdego podzbioru. Rodzina F nie ma transwersali.
Ale: podrodzina F` = ( S1 , S2 , S3, S5) ma transwersalę X` = { 1, 2, 3, 4 }
Transwersala podrodziny F nazywa się
transwersalą częściową rodziny F.
Twierdzenie:
Rodzina F ma transwersalę częściową mającą t elementów wtedy i tylko
wtedy, gdy suma dowolnych k podzbiorów Si ma co najmniej k+t−m
elementów.
Kwadraty łacińskie
Prostoką
Prostokątem łaciń
acińskim wymiaru mxn nazywamy macierz M = (mij)mxn ,
której wyrazy są liczbami całkowitymi spełniającymi następujące
warunki:
(1) 1 ≤ mij ≤ n
(2) żadne dwa wyrazy stojące w tym samym wierszu lub w tej samej
kolumnie nie są równe.
Uwaga: m ≤ n
Przykład:
⎡1 2 3 4 5 ⎤
⎢ 2 4 1 5 3⎥
⎢
⎥
⎢⎣3 5 2 1 4⎥⎦
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
17
Jeśli m = n, to prostokąt nazywamy kwadratem łaciń
acińskim.
⎡1
⎢2
⎢
⎢3
⎢
⎢4
⎢⎣5
2 3 4 5⎤
4 1 5 3⎥⎥
5 2 1 4⎥
⎥
3 5 2 1⎥
1 4 3 2⎥⎦
Mamy dany prostokąt łaciński wymiaru mxn (m < n).
Kiedy można dołączyć do niego n−m nowych wierszy tak, by powstał
kwadrat łaciński?
Przykład:
⎡1 2 4 5 3⎤
⎢5 1 2 3 4⎥
⎣
⎦
Dodanie wiersza w celu utworzenia prostokąta łacińskiego 3x5 o
elementach ze zbioru { 1, 2, 3, 4, 5 } oznacza wyznaczenie różnych
reprezentantów ze zbiorów:
{ 2, 3, 4 } { 3, 4, 5 } { 1, 3, 5 } { 1, 2, 4 } {1, 2, 5 }
Następny wiersz: [ 2 4 3 1 5 ]
⎡1 2 4 5 3 ⎤
⎢5 1 2 3 4⎥
⎢
⎥
⎢⎣2 4 3 1 5⎥⎦
Kontynuując możemy rozszerzyć prostokąt do kwadratu 5x5.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
18
Twierdzenie:
Każdy prostokąt łaciński wymiaru m x n (m < n) o elementach
ze zbioru { 1, 2, ... , n } może być rozszerzony do
kwadratu łacińskiego n x n.
(konsekwencja twierdzenia Halla)
Przykład:
⎡ 3 4 1⎤
⎢ 2 1 5⎥
⎥
⎢
⎢⎣5 2 3⎥⎦
Czy można rozszerzyć do kwadratu łacińskiego 5x5 ?
Korzystamy z transwersali, żeby rozszerzyć do prostokąta 3x5. Ale uważnie!
⎡ 3 4 1⎤
⎢2 1 5⎥
⎢
⎥
⎢⎣5 2 3⎥⎦
{2 5}
{3 4}
{1 4}
⎛ 2⎞
⎜ 4⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
Wybieramy np.: ⎜ ⎟
Nie możemy wybrać np.: ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 3⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
co daje:
⎡3 4 1 2 5⎤
⎢ 2 1 5 4 3⎥
⎥
⎢
⎣⎢5 2 3 1 4⎥⎦
19
Przykład:
⎡1 3 4 5⎤
⎢3 5 1 2⎥
⎢
⎥
⎢⎣5 1 3 4⎥⎦ 3 x 4
Czy można rozszerzyć do kwadratu łacińskiego 5x5 ?
NIE. W zadanym prostokącie „2” nie występuje wystarczającą liczbę
razy.
q
n-q
p
n-p
Twierdzenie:
Prostokąt łaciński wymiaru p x q (p, q < n) o elementach ze zbioru
{ 1, 2, ... , n } może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego n x n
wtedy i tylko wtedy, gdy K(i) oznaczające liczbę wystąpień elementu i
w K, spełnia warunek:
K(i) ≥ p+q−n
dla każdego i = 1, 2, ... , n.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
20