St. Pod. dla Nauczycieli 3 seria zadań z algebry szkolnej 5.02.2006

St. Pod. dla Nauczycieli
3 seria zadań z algebry szkolnej
5.02.2006
Przypomnijmy, że wielomian zmiennej x o współczynnikach rzeczywistych, to funkcja postaci
f (x) = a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 + an xn , gdzie a0 , a1 , ..., an−1 , an są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Liczby a0 , a1 , a2 , ..., an−1 , an nazywają się współczynnikami wielomianu, a0 nazywa się wyrazem
wolnym. Jeśli an 6= 0, to an nazywa się współczynnikiem przy najwyższej potędze lub współczynnikiem wiodącym, a liczba n – stopniem wielomianu. W szczególności stopień niezerowego wielomianu
stałego wynosi 0. Dla wielomianu zerowego stopień definiujemy oddzielnie jako −∞ (minus nieskończoność). Wielomian f nazywa się unormowany, jeśli jego współczynnik wiodący jest równy 1.
Uwaga. W analogiczny sposób można określić wielomiany o współczynnikach zespolonych. Poniżej, jeśli nie jest powiedziane inaczej, współczynniki wielomianów są rzeczywiste.
Twierdzenie. Dla dowolnych wielomianów f i g:
st(f + g) ¬ max(stf, stg),
st(f g) = stf + stg.
Twierdzenie. Dla dowolnych wielomianów f i g , gdzie g 6= 0, istnieje dokładnie jedna para
wielomianów q, r taka, że
f =q·g+r
oraz
str < stg.
Wielomian q nazywa się ilorazem, a r – resztą. Jeśli r = 0, to mówimy, że g dzieli f i piszemy g|f .
Twierdzenie Bézout. Reszta z dzielenia wielomianu f przez dwumian x − a jest równa wartości
wielomianu f w a, tzn.
f (x) = (x − a) q(x) + f (a).
Wniosek. Dwumian x − a dzieli wielomian f wtedy i tylko wtedy, gdy f (a) = 0.
Twierdzenie (Schemat Hornera). Następujący algorytm prowadzi do znalezienia ilorazu i
reszty z dzielenia dowolnego wielomianu f przez dwumian x − a.
1. Rysujemy tabelkę i w górnym wierszu wpisujemy kolejne współczynniki wielomianu f w kolejności potęg malejących.
2. Spisujemy na dół zawartość skrajnego lewego okienka.
3. Aby wypełnić kolejne, k–te okienko dolnego wiersza, mnożymy zawartość ostatnio wypełnionego,
k–1–szego okienka, przez liczbę a i dodajemy do zawartości k–tego okienka z górnego wiersza.
Początkowe okienka dolnego wiersza zawierają współczynniki ilorazu, ostatnie okienko zawiera
resztę (czyli wartość f (a)).
Definicja. Największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f i g nazywamy wielomian unormowany d, który dzieli f i dzieli g, oraz którego stopień jest największy wśród wspólnych dzielników f
i g. Jeśli N W D(f, g) = 1, to mówimy, że f i g są względnie pierwsze.
Twierdzenie. Algorytm Euklidesa prowadzi do znalezienia N W D danych dwóch wielomianów f
i g.
Twierdzenie. N W D(f, g) dwóch wielomianów f i g jest podzielny przez każdy wspólny dzielnik tych wielomianów. Jest on jedynym unormowanym wielomianem o tej własności. Istnieją takie
wielomiany s i t, że N W D(f, g) = sf + tg.
Definicja. Wielomianem nierozkładalnym (pierwszym) nazywamy taki wielomian, który ma
dokładnie dwa dzielniki unormowane. Wielomian stopnia większego niż 1 mający więcej niż dwa
dzielniki unormowane nazywa się wielomianem rozkładalnym.
Stwierdzenie. Wielomian jest rozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego.
Twierdzenie. Każdy wielomian stopnia ­ 1 można przedstawić jako iloczyn wielomianów nierozkładalnych.
Twierdzenie. Jeśli wielomian nierozkładalny p dzieli iloczyn wielomianów f i g, to dzieli f lub
dzieli g.
Twierdzenie o jednoznaczności rozkładu. Każdy wielomian unormowany można przedstawić
jako iloczyn skończonej liczby wielomianów nierozkładalnych. Przedstawienie to jest jednoznaczne z
dokładnością do porządku czynników.
Definicja. Liczba całkowita nieujemna k nazywa się krotnością pierwiastka c wielomianu f wtedy
i tylko wtedy, gdy wielomian f dzieli się przez (x − c)k i nie dzieli się przez (x − c)k+1 .
Twierdzenie. Suma krotności wszystkich pierwiastków wielomianu jest mniejsza lub równa od
jego stopnia.
Uwaga. Wszystkie powyższe definicje można sformułować dla wielomianów o współczynnikach
z dowolnego ciała, w szczególności dla wielomianów o współczynnikach zespolonych. Twierdzenia
pozostają prawdziwe.
Zasadnicze twierdzenie algebry. Każdy wielomian o współczynnikach zespolonych można
przedstawić jako iloczyn skończonej liczby wielomianów liniowych o współczynnikach zespolonych.
Wniosek. Każdy wielomian posiada tyle pierwiastków zespolonych (liczonych z krotnościami),
ile wynosi jego stopień.
Twierdzenie. Jeśli ułamek nieskracalny p/q jest pierwiastkiem wielomianu f (x) =
a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn o współczynnikach całkowitych, to p|a0 i q|an .
Wniosek. Każdy pierwiastek wymierny unormowanego wielomianu o współczynnikach całkowitych jest liczbą całkowitą.
Znajdowanie pierwiastków wymiernych. Dla danego wielomianu f o współczynnikach całkowitych:
1. Tworzymy listę L wszystkich ułamków, których licznik (dodatni lub ujemny) dzieli wyraz
wolny wielomianu f (x), a mianownik (dodatni) dzieli współczynnik wiodący (stojący przy najwyższej
potędze) f (x).
2. Sprawdzamy w dowolnej kolejności (przy pomocy schematu Hornera), czy kolejne liczby z listy
L są pierwiastkami wielomianu f (x).
3. Jeśli natrafimy na pierwiastek a, kontynuujemy postępowanie, ale zamiast wielomianu f (x)
rozpatrujemy wielomian f (x)/(x − a).
4. Postępowanie kończymy, gdy wyczerpiemy listę lub stopień rozpatrywanego wielomianu spadnie
do 0.
Twierdzenie. Jeśli liczba zespolona v jest pierwiastkiem wielomianu f o współczynnikach rzeczywistych, to liczba sprzężona v też jest pierwiastkiem wielomianu f .
Twierdzenie. Niech k oznacza ciało i niech w(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 będzie
wielomianem o współczynnikach z ciała k.
1. Jeśli wielomian w ma w ciele k n pierwiastków x1 , x2 , ..., xn (licząc z krotnościami), to zachodzą
następujące równości, zwane wzorami Viète’a:
an−1
x1 + x2 + ... + xn = −
,
an
an−2
x1 x2 + x1 x3 + ... + xn−1 xn =
,
an
an−3
x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ... + xn−2 xn−1 xn = −
,
a
n
. . . . . . . . .
a0
x1 x2 x3 · ... · xn−1 xn = (−1)n ,
an
X
an−m
tzn. dla każdej liczby m = 1, 2, ..., n zachodzi równość:
xi1 xi2 · ... · xim = (−1)m
.
an
i1 <i2 <...<im
2. Jeśli liczby x1 , x2 , ..., xn spełniają wzory Viète’a, to są pierwiastkami wielomianu w.
Definicja. Dwa równania (odpowiednio nierówności lub układy równań lub nierówności) nazywają się równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same zbiory rozwiązań.
Definicja. Równanie B wynika z równania A wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór rozwiązań równania
B zawiera zbiór rozwiązań równania A. Analogicznie określa się wynikanie nierówności oraz układów
równań i układów nierówności.
1. Funkcja f przyporządkowuje liczbie rzeczywistej m iloczyn różnych pierwiastków rzeczywistych
równania kwadratowego (2m − 3)x2 + 4mx + m − 1 = 0. Naszkicuj wykres funkcji f i znajdź jej
zbiór wartości.
2. Znajdź zbiór wartości funkcji f : D −→ IR, jeśli
b) f (x) = x2 − x, D = [−1, 1],
a) f (x) = x2 − x, D = [1, +∞),
c) f (x) = x4 − 4x2 − 5, D = IR.
3. Dla jakich wartości parametru a ∈ IR:
a) równanie (a + 1)x2 − (2a − 3)x + a = 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych?
b) parabola y = 2x2 − x − a i prosta y = 3x − 1 mają dokładnie jeden punkt wspólny?
c) parabole y = x2 + ax − 3 i y = 2x2 − a mają dwa punkty wspólne?
4. Wykaż, że jeśli c(a − b + c) < 0, to funkcja ax2 + bx + c ma pierwiastki rzeczywiste.
5. Niech x1 i x2 oznaczają pierwiastki równania 3x2 − 125x − 625 = 0. Oblicz:
−1
2
2
3
3
a) x−1
1 + x2 , b) x1 + x2 , c) x1 + x2 .
6. Punkt C leży na osi y. Wykaż, że iloczyn rzędnych punktów przecięcia paraboli y = x2 dowolną
prostą przechodzącą przez punkt C nie zależy od wyboru tej prostej.
7. Znajdź miejsce geometryczne środków odcinków równoległych do danej prostej y = ax, których
oba końce leżą na paraboli y = x2 .
8. Dla jakich wartości parametru a ∈ IR:
a) równanie ax2 − (a2 + 3)x + 2 = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków?
b) równanie ax2 − (3a − 3)x + 4a − 4 = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste, z których jeden jest
większy od 1, a drugi mniejszy od 1?
c) pewna liczba z przedziału [1, 2] spełnia nierówność x2 + (a − 2)x − a ¬ 0?
d) nierówność 2x2 + ax − 5 > 0 ma chociaż jedno rozwiązanie spełniające warunek |x| < 1?
e) równanie x2 + ax − 1 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze od 3?
f) nierówność x2 − ax + 2a ¬ 0 ma chociaż jedno rozwiązanie większe od 1?
g) każda liczba z przedziału [−1, 1] jest rozwiązaniem nierówności ax2 + 2(a + 1)x + a − 4 ¬ 0?
h) równanie x2 − (2a − 1)x + a2 − a − 4 = 0 ma dwa pierwiastki, których suma odwrotności jest
równa 1/4?
i) równanie x2 + (a − 2)x + a2 − 3a + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki x1 i x2 spełniające warunek
x31 + x32 ¬ 2(x1 + x2 )?
j) równanie (2a − 3)x2 + 4ax + a − 1 = 0 ma dwa pierwiastki x1 i x2 spełniające warunek
x1 + x2 + ax1 x2 > 0?
k) suma kwadratów odwrotności pierwiatków równania x2 + (a − 1)x + 4 = 0 jest najmniejsza?
l) równanie (a − 2)x2 − (a − 4)x − 2 = 0 ma dwa pierwiastki x1 i x2 spełniające warunek
|x1 − x2 | = 3?
9. Niech w(x) = (−4x2 + 2x + 1)13 (5x2 − 7x + 1)65 . Oblicz a) sumę współczynników wielomianu w,
b) sumy współczynników wielomianu w przy parzystych i przy nieparzystych potęgach x.
10. Wykonaj dzielenie z resztą wielomianu f przez wielomian g, jeśli:
a) f (x) = x4 − 6x3 + 5x2 − 1, g(x) = x2 + 2x − 1,
b) f (x) = x4 + 5x3 − 6x + 1, g(x) = x2 − 3x + 1,
c) f (x) = 2x5 − 6x4 + 3x3 − 2, g(x) = x2 − x − 2,
d) f (x) = 2x4 − 7x3 + 3x + 13, g(x) = x − 2,
e) f (x) = x4 + 1, g(x) = x5 + 1,
f) f (x) = x44 + x33 + x22 + x11 + 1, g(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1.
11. Wykaż, że jeśli współczynniki wielomianów f i g są całkowite, a ponadto wielomian g jest unormowany, to iloraz i reszta z dzielenia f przez g są wielomianami o współczynnikach całkowitych.
12. Wielomian w(x) = x3 + ax2 + bx − 6 przy dzieleniu przez x − 1 daje resztę 1, a przy dzieleniu
przez x − 4 daje resztę 6. Wyznacz a i b.
13. Pewien wielomian przy dzieleniu przez x + 1, x − 2 i x − 3 daje odpowiednio reszty 3, 1 i −1.
Jaką resztę daje przy dzieleniu przez (x + 1)(x − 2)(x − 3)?
14. Czy wielomian x100 − 3x42 + 2 dzieli się przez x2 − 1?
15. Dla jakich wartości n ∈ IN wielomian 1+x2 +x4 +...+x2n−2 dzieli się przez 1+x+x2 +...+xn−1 ?
16. Znajdź a) NWD(2x3 + 6x2 − x − 3, x4 + 4x3 + 3x2 + x + 1),
b) NWD(x4 − 14x3 + 50x2 − 14x + 49, x5 − 14x4 + 48x3 + 16x2 − 77x + 98).
√
17. Wykaż, że funkcje E(x) i 3 x nie są wielomianami.
18. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu x987654321 + x2 + x + 3 przez x2 − 1.
19. Wielomian w o współczynnikach całkowitych przyjmuje wartości nieparzyste dla dwu kolejnych
liczb całkowitych. Wykaż, że w nie ma pierwiastka całkowitego.
20. Wielomian w ma współczynniki całkowite. Wykaż, że dla dowolnych liczb całkowitych a i b
zachodzi (a − b)|(w(a) − w(b)).
21. Wielomian w ma współczynniki całkowite oraz 2|w(5) i 5|w(2). Wykaż, że 10|w(7).
22. Wielomian stopnia trzeciego i wielomian kwadratowy, oba o współczynnikach wymiernych, mają
wspólny pierwiastek. Wykaż, że wielomian stopnia trzeciego ma pierwiastek wymierny.
23. Dla jakich a, b ∈ IR wielomian (a + b)x5 + abx2 + 1 dzieli się przez x2 − 3x + 2?
24. Znajdź N W D wielomianów v(x) = x4 + x3 − 3x2 − 4x − 1 i w(x) = x3 + x2 − x − 1 i zapisz go
w postaci a(x)v(x) + b(x)w(x) dla odpowiednich wielomianów a i b.
√
25. Wykaż, że jeśli wielomian o współczynnikach wymiernych dzieli się przez x − 2, to dzieli się
przez x2 − 2.
26. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n wielomian nxn+2 − (n + 2)xn+1 + (n + 2)x − n jest
podzielny przez (x − 1)3 .
27. Znajdź krotność liczby t jako pierwiastka wielomianu w, jeśli
a) w(x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 24x − 9, t = 3, b) w(x) = x5 − 7x4 + 16x3 − 8x2 − 16x + 16, t = 2.
28. Następujące wielomiany rozłóż na czynniki niższych stopni :
1. wyłączając wspólny czynnik przed nawias:
a) 6x3 − 12x2 + 18x, b) (x2 + 1)(x + 3) − (x + 3)(4 − 3x2 ), c) (2x − 3)(x2 − 3) + (5 + 2x2 )(3 − 2x),
d) (4x − 2)(2x2 − 1) − (6x − 3)(x2 − 2x + 3);
2. stosując wzory skróconego mnożenia:
a) 9x2 − 30x + 25, b) 8x3 − 36x2 + 54x − 27, c) 1 + 6x + 12x2 + 8x3 , d) 8x3 + 1;
3. metodą grupowania wyrazów:
a) 9x3 − 4x2 − 27x + 12, b) x5 + x3 − x2 − 1, c) x5 + 3x4 − 4x3 − 12x2 , d) 2x4 + x3 + 4x2 + x + 2,
e) x4 + 3x3 + 4x2 − 6x − 12, f) x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3, g) x3 − 3x + 2, h) x3 − 13x − 12;
4. dowolną metodą:
a) x4 + 4x2 − 5,
ą) −3x4 + 2x2 + 1,
b) x4 + 1,
c) x4 + 324,
ć) x6 − 1,
d) x4 + x2 + 1,
e) x4 − 3x2 + 9,
ę) x6 + 1,
8
4
12
6
3
2
3
2
f) x + x + 1,
g) x − 2x + 1,
h) 2x − x + 3,
i) x + 5x + 3x − 9,
3
2
3
2
4
j) x + 4x + x − 6,
k) 2x − 5x − x + 6,
l) x + 3x3 − 15x2 − 19x + 30,
4
3
2
4
3
2
ł) x − x − x − x − 2, m) x + 5x + 14x + 22x + 12,
n) 4x4 − 12x3 + 25x2 − 48x + 36,
ń) x8 + x4 − 2,
o) x3 + 8x2 + 17x + 10,
ó) 9x4 − 36x2 − 13,
3
2
3
2
2
3
3
p) (x − x + 1) − (x − x + 1) ,
r) (x + 1) + (x + 2) ,
s) x16 − 2x13 + x10 ,
ś) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2 ,
t) x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1,
14
7
7
5
4
u) x − x + 1,
w) x + x − x + 1,
y) nx3 + x + n + 1,
z) x3 + (b2 − a2 )x + ab2 ,
ź) x4n − x2n + 2xn − 1,
ż) x4n − 2x3n + 3x2n − 2xn + 1.
29. Znajdź pierwiastki wymierne wielomianów i zapisz te wielomiany w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych o współczynnikach wymiernych:
b) 12x3 − 20x2 − x + 6,
c) x4 − x3 − 7x2 + 13x − 6.
a) x4 + x3 − 7x2 − x + 6,
30. Znajdź pierwiastki rzeczywiste wielomianów i zapisz te wielomiany w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych o współczynnikach rzeczywistych:
a) x3 − 7x − 6,
b) x4 − 10x3 + 7x2 + 70x + 16,
c) x4 − 8x3 + 12x2 + 16x − 21.
31. Znajdź pierwiastki zespolone wielomianów i zapisz te wielomiany w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych o współczynnikach zespolonych:
a) 2x3 + 3x2 + 6x − 4, b) 10x4 − 13x3 + 9x2 − 34x + 24, c) 20x4 + 9x3 + 161x2 + 72x + 8.
32. Suma dwóch pierwiastków wielomianu 2x3 − x2 − 7x + λ jest równa 1. Wyznacz λ.
33. Dobierz wartość parametru λ tak, żeby jeden z pierwiastkówrównania x3 − 7x + λ = 0 był równy
podwojonemu drugiemu.
34. Niech x1 , x2 , x3 oznaczają pierwiastki wielomianu x3 − 3x + 1. Oblicz:
a) S1 = x1 + x2 + x3 ,
S2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ,
S 3 = x1 x2 x3 ,
2
2
2
3
3
b) S4 = x1 + x2 + x3 ,
c) S5 = 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 ,
d) S6 = x1 + x2 + x33 − 3x1 x2 x3 .
35. Wielomian x3 − 4x + 2 ma pierwiastki x1 , x2 , x3 . Znajdź wielomian mający pierwiastki
a) x1 + x2 , x2 + x3 , x3 + x1 ,
b) x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 .
√
√
36. Rozwiąż równanie x3√− 3 3x2 + 7x − 3 = 0 wiedząc, że różnica pewnych jego dwóch pierwiastków jest równa 2.
37. Czy są równoważne równania:
x2
2−x
α) x2 = 2 − x i
= 2
,
β) x + 4 = 0
2
x −1
x √− 1
√
γ) 2x − 6 = 9 + x i 2x − 6 + x2 + 1 = 9 + x + x2 + 1,
i
x2
x+4
= 0,
− 2x + 9
q
(x + 2)2 = 1 i x + 2 = 1,
q
√
√
√
√
ε) x + 2 x − 3 = 6 i
(x + 2)(x − 3) = 6,
δ)
ζ) |x + 1| + |x − 1| = −x2 + 3
i
2x = −x2 + 3?
38. Które z równań wynika z drugiego:
4x(x + 2)
4x2
3
3
η) A : x −
= 0, B : x −
= 0,
x+2
x
√
√
ϑ) C : x2 − 7x = 8, D : 4 − x2 (x2 − 7x) = 8 4 − x2 ,
√
ι) E : x2 − 5x − 6 = 4, F : x2 − 5x − 6 = 16?
39. Rozwiąż następujące równania i nierówności w IR (a oznacza parametr):
x2 + 1 x2 − 1
x2
x
15
−
= 23,
λ)
+
= 2,
µ)
> 1,
2
x−4
x+3
2−x
2−x
4 + 3x − x2
(x − 2)(x − 7)
1
2
3
x+1
ν)
­ 1,
ξ) +
<
,
o) x2 + 2
> 0,
(x − 6)(x − 5)
x x+2
x+1
x +x+1
2x
3
4
1 2
2x
π) x3 > 2
,
%) 2 ­ − x2 ,
σ) x +
> 2
,
x +1
x
x
2
x +1
6−x
x+3
x+5
−
>
,
υ) |x2 − 1| + |x2 − 4| = 3,
τ)
2
1−x
x(1 − x)
x(1 + x)
3
2
φ) |x + x + 1| = |x + 3x − 1|,
χ) |x7 + 4x5 + x2 + 2x − 3| = x7 + 4x5 − x2 − 2x + 3,
3|x| − 11
3x + 14
|x − 1| + 10
ψ)
>
,
ω)
> 2.
x−3
6−x
4|x − 1| + 3
κ)