Etap finałowy II Powiatowej Olimpiady Matematycznej

Wejherowo 25 marca 2006 r.
Etap fina owy
II Powiatowej Olimpiady Matematycznej
Klasa I
(czas 180 min.)
Zadanie 1
Kwadrat podzielono na trójk ty tak, aby powsta!a siatka ostros!upa. Oblicz pole
powierzchni tego ostros!upa wiedz c, "e jego obj#to$% wynosi 9 cm3
Zadanie 2
Sprawd& czy funkcja dana wzorem
f x! $
x #1 # x "1
x4
jest parzysta czy nieparzysta.
Zadanie 3
Wyka", "e je"eli a 2 " b 2 " c 2 $ ab " ac " bc , to a $ b $ c
Zadanie 4
Sze$ciok t foremny ma pole równe 36. Oblicz pole gwiazdy sze$cioramiennej
wyznaczonej przez krótsze przek tne tego sze$ciok ta.
POWODZENIA
Wejherowo 25 marca 2006 r.
Etap fina owy
II Powiatowej Olimpiady Matematycznej
Klasa II
(czas 180 min.)
Zadanie 1
Wyka , ze niezale nie od parametru p wielomian
W x ! $ x 3 # p " 1!x 2 " p # 3!x " 3 ma pierwiastek ca!kowity.
Zadanie 2
Udowodnij, e je eli liczby a 2 ; b 2; ; c 2 tworz" ci"g arytmetyczny, to liczby
:
1
1
1
te tworz" ci"g arytmetyczny.
;
;
b"c a"c a"b
Zadanie3
n
1
Suma trzech pocz"tkowych wyrazów rozwini#cia pot#gi *( x " '% jest równa 46.
x&
)
Znale$% wyraz tego rozwini#cia nie zawieraj"cy x .
Zadanie 4
Dany jest prostok"t ABCD gdzie AB $ 25 BC $ 18 . Okr"g o promieniu r=3
jest styczny do boków AB i BC prostok"ta i jego &rodek le y wewn"trz
prostok"ta. Drugi okr"g , którego &rodek le y wewn"trz prostok"ta jest styczny
zewn#trznie do danego okr#gu oraz do boków CD i DA prostok"ta. Oblicz
d!ugo&% promienia drugiego okr#gu. Sporz"d$ rysunek.
POWODZENIA
Wejherowo 25 marca 2006 r.
Etap fina owy
II Powiatowej Olimpiady Matematycznej
Klasa III
(czas 180 min.)
Zdanie 1
Dany jest ci g an ! log 4 n 2 log 2 n 2
a) Zbadaj monotoniczno!" ci gu "an #
b) Oblicz granic# ci gu "an #
Zdanie 2
Ze zbioru $1,2,3,4,...,2n 1,2n% losujemy dwukrotnie ze zwracaniem
po jednej liczbie. oblicz prawdopodobie$stwo, %e iloraz pierwszej
wylosowanej liczby przez druga jest z przedzia&u "1; 2 .
Zadanie 3
Ka%dy z trzech boków trapezu ma d&ugo!" 1. Miara k ta, w którego wn#trzu
le%y jedna z dwóch podstaw trapezu, a którego ramiona le% na prostych
zawieraj cych przek tne trapezu równa si# 120û. Czy pole trapezu jest wi#ksze
od 2
1
?
2
Zadanie 4
Na skrzy%owaniu stoi latarnia z %arówk o mocy 2000W, za! na ulicy
odchodz cej od tego skrzy%owania , w odleg&o!ci 90 metrów od niej stoi druga
latarnia z %arówk o mocy 250W. W najs&abiej o!wietlonym miejscu pomi#dzy
tymi latarniami ( na tej samej wysoko!ci, na której znajduj si# latarnie) stra%
miejska chce ustawi" kamer# obserwacyjn . Gdzie nale%y ja ustawi"?
* O!wietlenie jest wprost proporcjonalne do mocy 'ród&a !wiat&a oraz cosinusa
k ta padania, a odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odleg&o!ci od 'ród&a
!wiat&a i wyraz si# wzorem :
E!
I cos &
R2
POWODZENIA