macierze i wyznaczniki

Macierze
1
Macierz o wymiarach m × n.



A=

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn





Matm×n(R) – zbiór macierzy m × n o współczynnikach rzeczywistych. Analogicznie określamy Matm×n(Z), Matm×n(Q) itp.
2
Wiersze macierzy A:
h
h
a11 a12 . . . a1n
i
,
a21 a22 . . . a2n
i
,
...
h
am1 am2 . . . amn
i
.
Kolumny macierzy A:





a11
a21
...
am1




,





a12
a22
...
am2




, ...,





a1n
a2n
...
amn



.

3
Działania na macierzach
Dodawanie.




b11 b12 . . . b1n
a11 a12 . . . a1n

b
a

 21 b22 . . . b2n 
 21 a22 . . . a2n 
=
+  ..
 ..
...
... 
...
... 

 .
 .

bm1 bm2 . . . bmn
am1 am2 . . . amn


a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a
a22 + b22 . . . a2n + b2n 
 21 + b21

=
.
.
.
.
..
..
..


am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
4
Krócej:
h
aij
i
h
m×n
i
h
i
+ bij
= aij + bij
.
m×n
m×n
Przykład:
"
#
"
#
"
#
1 2 1
3 2 1
4 4 2
+
=
.
3 4 −4
4 −3 3
7 1 −1
Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach m × n, suma
jest też macierzą m × n.
5
Własności dodawania macierzy.
Dla dowolnych macierzy m × n zachodzą równości
A + B = B + A,
(A + B) + C = A + (B + C),
A + 0m×n = A
A + (−A) = 0m×n
6
Macierz zerowa:

0
0

0m×n =  ..
.
0

0 ... 0
0 . . . 0

...
... 

0 ... 0
h
Macierzą przeciwną do macierzy A = aij

i
m×n
jest macierz

−a11 −a12 . . . −a1n
 −a
−a22 . . . −a2n 


21
−A =  ..
.
.
.
..
.. 
 .

−am1 −am2 . . . −amn
7
Mnożenie macierzy przez liczbę.




ca11 ca12 . . . ca1n
a11 a12 . . . a1n

 ca

a
 21 ca22 . . . ca2n 
 21 a22 . . . a2n 
=  ..
c ·  ..
...
... 
...
... 

 .

 .
cam1 cam2 . . . camn
am1 am2 . . . amn
Mnożąc dowolną macierz przez liczbę otrzymujemy macierz o
tych samych wymiarach.
8
Własności mnożenia macierzy przez liczbę.
Dla dowolnych macierzy A, B o wymiarach m × n i dowolnych
liczb α, β zachodzą równości
α(A + B) = αA + αB,
(α + β)A = αA + βA,
(αβ)A = α(βA),
1 · A = A, (−1) · A = −A,
0 · A = 0m×n, α · 0m×n = 0m×n.
9
Mnożenie macierzy.
Iloczynem macierzy 1 × n i macierzy n × 1 jest macierz 1 × 1:

h
a1 a2 . . .

b1


i
h
i
 b2 
an ·  ..  = a1b1 + a2b2 + . . . + anbn .
.
bn
Przykład:


−1
h
i  0 
h
i
h i


1 2 3 4 ·   = 1 · (−1) + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7 = 30 .
 1 
7
10
Iloczynem macierzy m × n i macierzy n × 1 jest macierz m × 1:
 




a11b1 + a12b2 + . . . + a1nbn
b1
a11 a12 . . . a1n
 a b + a b + ... + a b 
  
a
 21 a22 . . . a2n  b2 
 21 1
22 2
2n n 
=
·
.




 ..
.
.
.
.
..
..
..   .. 


 .
am1b1 + am2b2 + . . . + amnbn
bn
am1 am2 . . . amn
Przykład:






−1
1 2 3 4  
1 · (−1) + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7
30

 0 




 =  2 · (−1) + 3 · 0 + 4 · 1 + 5 · 7  =  37  .
2 3 4 5 ·
 1 
0 1 0 −1
0 · (−1) + 1 · 0 + 0 · 1 + (−1) · 7
−7
7


11
Iloczynem macierzy m × n i macierzy n × k jest macierz m × k:

 

a11 a12 . . . a1n
b11 b12 . . . b1k
a
 

 21 a22 . . . a2n  b21 b22 . . . b2k 
·
=
 ..
...
... 
...
... 
 .
  ...

bn1 bn2 . . . bnk
am1 am2 . . . amn


c11 c12 . . . c1k
c

 21 c22 . . . c2k 
=  ..
,
...
... 
 .

cm1 cm2 . . . cmk
gdzie cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj .
12
Własności mnożenia macierzy.
Dla dowolnych macierzy (odpowiednich wymiarów) zachodzą równości:
(AB)C = A(BC) dla A ∈ Matm×n(R), B ∈ Matn×k (R), C ∈
Matk×l (R),
(A + B)C = AC + BC dla A, B ∈ Matm×n(R), C ∈ Matn×k (R),
A(B + C) = AB + AC dla A ∈ Matm×n(R), B, C ∈ Matn×k (R),
(cA)B = A(cB) = c(AB) dla A ∈ Matm×n(R), B ∈ Matn×k (R),
c ∈ R,
13
Macierz zerowa.
A · 0n×k = 0m×k , 0k×m · A = 0k×n dla A ∈ Matm×n(R).

1 0 ... 0
0
...
1
0 0 ... 0

0 1 . . .
. .
. .
Macierz jednostkowa: In = 
. .
0 0 . . .


0

0
... 
 ∈ Matn×n(R),

0

1
A · In = Im · A = A dla A ∈ Matm×n(R).
14

c 0 ... 0
0
...
c
0 0 ... 0

0 c . . .
. .
. .
Macierz skalarna: c · In = 
. .
0 0 . . .


0

0
... 
 ∈ Matn×n(R), c ∈ R,

0

c
cA = A · (cIn) = (cIm) · A dla A ∈ Matm×n(R).
15

c
0 ...
 1
 0 c2 . . .
.
...
.
Macierz diagonalna: 
.

0 0 ...

0
0
0
...

0

0
... 
 ∈ Matn×n(R), gdzie

cn−1 0 

0 ...
0
cn
c1, . . . , cn ∈ R.
h
Macierz A = aij
i
i,j=1,...,n
∈ Matn×n jest diagonalna ⇔ aij = 0
dla i 6= j.
16







c1a11 c1a12 . . . c1a1n
a11 a12 . . . a1n
c1 0 . . . 0
c a


0 c
c2a22 . . . c2a2n 
... 0 
 2 21


  a21 a22 . . . a2n 
2
=
·



 ..

.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.. 
..
.. 
..
..   ..


.
cmam1 cmam2 . . . cmamn
0 0 . . . cm am1 am2 . . . amn



c1a11 c2a12 . . . cna1n
a11 a12 . . . a1n
c1 0 . . . 0

a


c a
 21 a22 . . . a2n   0 c2 . . . 0 
 1 21 c2a22 . . . cna2n 
·
=  ..
 ..
...
... 
...
... 
...
... 
 .
  ...

 .

0 0 . . . cn
c1am1 c2am2 . . . cnamn
am1 am2 . . . amn
17
Macierz o wymiarach n × n nazywamy kwadratową.
Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową. Spośród macierzy
kwadratowych wyróżniamy macierze górnotrójkątne i dolnotrójkątne.
Macierz górnotrójkątna:

a11 a12
0 a22
...
...
0
0
0
0







...
...
...
...
a1,n−1
a2,n−1
...
a1n
a2n
...




,

an−1,n−1 an−1,n

0
ann
gdzie aij ∈ R.
h
Macierz A = aij
i
i,j=1,...,n
∈ Matn×n(R) jest górnotrójkątna ⇔
aij = 0 dla i > j.
18
Macierz dolnotrójkątna:

a
0
 11
 a21
a22

...
...


a
 n−1,1 an−1,2
an1
an2
...
...
0
0
...

0

0 
... 
,

. . . an−1,n−1 0 

...
an,n−1 ann
gdzie aij ∈ R.
h
Macierz A = aij
i
i,j=1,...,n
∈ Matn×n(R) jest dolnotrójkątna ⇔
aij = 0 dla i < j.
19
Niech A ∈ Matm×n(R) będzie dowolną macierzą:

a11
 a

A =  21
 ...
a12 . . . a1n
a22 . . . a2n
...
...
am1 am2 . . . amn



.

Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz



T
A =


a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2 

,
...
...
... 

a1n a2n . . . amn
AT ∈ Matn×m(R).
20
Przykłady.


1 4
1 2 3


1. Jeśli A =
, to AT = 2 5.
4 5 6
3 6
"
#
2. Macierzą transponowaną do macierzy diagonalnej jest ta sama
macierz.
3. Macierz transponowana do macierzy górnotrójkątnej jest macierzą dolnotrójkątną, i na odwrót.
21
h i
T
Symbolicznie możemy zapisać: A = bij
, gdzie bij = aji dla
n×m
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Dla dowolnych macierzy A, B i dowolnej liczby c zachodzą równości
(A + B)T = AT + B T , A, B ∈ Matm×n(R),
(cA)T = cAT ,
(AB)T = B T AT , A ∈ Matm×n(R), B ∈ Matn×k (R),
(AT )T = A.
22
Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli AT = A,
Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną, jeśli AT =
−A.




1 2 3
0
1 −3




2  – antysymetryczna,
2 4 5 – symetryczna, −1 0
3 5 6
3 −2 0
Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A + AT jest symetryczna, a macierz A − AT jest antysymetryczna.
23
Zadanie. Przedstawić dowolną macierz kwadratową w postaci
sumy macierzy symetrycznej i macierzy antysymetrycznej. Uzasadnić, że takie przedstawienie jest jednoznaczne.
24
Permutacje
Permutacją zbioru nazywamy ustawienie jego elementów w dowolnej kolejności. Permutację zbioru {1, 2, . . . , n} zapisujemy w
postaci tabelki:
σ=
1
2
...
n−1
n
σ(1) σ(2) . . . σ(n − 1) σ(n)
!
.
!
1 2 3 4
jest określona następu4 1 3 2
jąco: σ(1) = 4, σ(2) = 1, σ(3) = 3, σ(4) = 2.
Przykład. Permutacja σ =
Zbiór permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} oznaczamy przez Sn.
25
Rozważmy permutację
σ=
1 2 ... n − 1 n
c1 c2 . . . cn−1 cn
!
.
Parę (ck , cl ) taką, że k < l i ck > cl , nazywamy nieporządkiem.
Permutację nazywamy parzystą, jeśli liczba jej nieporządków jest
parzysta, a nieparzystą, jeśli ta liczba jest nieparzysta.
Znak permutacji σ oznaczamy symbolem sgn(σ). Jeśli σ jest
permutacją parzystą, to sgn(σ) = +1, a jeśli nieparzystą, to
sgn(σ) = −1.
26
Przykład.
σ=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 2 1 9 8 10
!
Nieporządki permutacji σ: (3, 2), (3, 1), (4, 2), (4, 1), (5, 2), (5, 1),
(6, 2), (6, 1), (7, 2), (7, 1), (2, 1), (9, 8).
Liczba nieporządków: 12, znak permutacji: sgn(σ) = +1.
27
Wyznaczniki
28
Wyznacznik macierzy 2 × 2.
"
Dana jest macierz A ∈ Mat2×2(R), A =
#
a b
.
c d
Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę
a b
|A| = c d
= ad − bc.
Wyznacznik macierzy A oznaczamy też symbolem det A.
29
"
Dla macierzy A =
a11 a12
a21 a22
#
mamy
det A = a11a22 − a12a21.
Są dwie permutacje zbioru {1, 2}.
Permutacja
Permutacja
1 2
1 2
!
1 2
2 1
!
jest parzysta, ma znak +1.
jest nieparzysta, ma znak −1.
30
Wyznacznik macierzy 3 × 3.


a b c


Wyznacznikem macierzy A ∈ Mat3×3(R), A =  d e f  nazyg h i
wamy liczbę
a b c |A| = d e f = aei + bf g + cdh − af h − bdi − ceg.
g h i 31


a11 a12 a13


Dla macierzy A =  a21 a22 a23  mamy
a31 a32 a33
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
Jest 6 permutacji zbioru {1, 2, 3}. Permutacje
1
3
1
2
2
1
2
1
!
1 2 3
1 2 3
!
1 2 3
2 3 1
!
1 2 3
,
1 3 2
,
3
są parzyste, mają znak +1. Permutacje
2
!
!
3
1 2 3
,
są nieparzyste, mają znak −1.
3
3 2 1
32
!
,
Wyznacznik macierzy (kwadratowej!) A ∈ Matn×n(R),



A=


a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n 

,
...
...
... 

an1 an2 . . . ann
określamy następująco:
det A =
X
(sgn σ) · a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n).
σ∈Sn
33
Wyznacznik macierzy jednostkowej:
det(In) = 1
0
...
0
0
0
1
...
0
0
... 0 0
... 0 0
... ...
... 1 0
... 0 1
= 1.
Wyznacznik macierzy diagonalnej:
c1 0 . . .
0
0
0 c2 . . .
0
0
... ...
...
...
0 0 . . . cn−1 0
0 0 ...
0
cn
= c c . . . cn .
1 2
34
Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej:
a
11 a12
0
a22
.
...
..
0
0
0
0
...
...
...
...
a1,n−1
a1n a2,n−1
a2n ...
...
= a a . . . ann.
11 22
an−1,n−1 an−1,n 0
ann Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej:
a
0
11
a21
a22
...
...
a
n−1,1 an−1,2
an1
an2
...
...
...
...
0
0 0
0 ...
... = a a . . . a .
nn
11 22
an−1,n−1 0 an,n−1 ann 35
Wyznacznik macierzy transponowanej:
det AT = det A.
Wyznacznik iloczynu macierzy: dla dowolnych macierzy A, B ∈
Matn×n(R) zachodzi równość
det(AB) = (det A) · (det B).
36
Wyznacznik jako funkcja wierszy macierzy:
w1 =
h
w2 =
h
a11 a12 . . . a1n
i
,
a21 a22 . . . a2n
i
,
i
.
...
wn =
h
an1 an2 . . . ann
w
1
w
Zapiszmy wyznacznik w postaci det A = ..2
.
wn
.
37
Dla dowolnego i ∈ {1, . . . , n} mamy:
w1
...
w + w0
i
i
.
..
wn
w1
..
.
= w
i
...
wn
w 1 .. . + w0 i .. . wn oraz
w1
...
c·w
i
...
wn
w1
..
.
=c· w
i
...
wn
,
38
Dla dowolnych i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j, mamy:
w1
...
wi
...
wj
...
wn
w 1 .. . wj = − ... .
w i .. . wn Wnioski:
w1
..
.
0
...
wn
w1
..
.
= 0·0
...
wn
w1
..
.
=0· 0
...
wn
= 0,
39
wi
w1
...
wi
...
wi
...
wn
w 1 .. . wi = − ... w i .. . wn w
w1
1
..
...
.
wi
+ c · wj ...
= ...
w
wj
j
..
...
.
wn
wn
w
1
.
..
c · wj
...
+
w
j
.
..
wn
⇒
w1
...
wi
...
wi
...
wn
w
1
..
.
wi
= ...
w
j
..
.
wn
= 0,
+c·
w1
...
wj
...
wj
...
wn
w
1
..
.
wi
= ...
w
j
..
.
wn
40
Kolumny macierzy A:





a11
a21
...
am1




,





a12
a22
...
am2




, ...,





a1n
a2n
...
amn



.

Zapiszmy wyznacznik w postaci det A = k1 k2 . . . kn.
41
Wówczas dla dowolnego i ∈ {1, . . . , n} mamy:
k1 . . . ki + ki0 . . . kn = k1 . . . ki . . . kn + k1 . . . ki0 . . . kn
oraz
k1 . . . c · ki . . . kn = c · k1 . . . ki . . . kn ,
dla dowolnych i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j, mamy:
k 1 . . . k i . . . k j . . . k n = − k 1 . . . k j . . . k i . . . k n .
42
Wnioski:
k1 . . . 0 . . . kn = 0,
k1 . . . ki . . . ki . . . kn = 0,
k 1 . . . k i + c · k j . . . k j . . . k n = k 1 . . . k i . . . k j . . . k n .
43
Niech A ∈ Matn×n(R). Przez Aij oznaczmy macierz otrzymaną z
macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza:
|A| = (−1)i+1ai1 ·|Ai1|+(−1)i+2ai2 ·|Ai2|+. . .+(−1)i+nain ·|Ain|.
Rozwinięcie Laplace’a względem j-tej kolumny:
|A| = (−1)1+j a1j ·|A1j |+(−1)2+j a2j ·|A2j |+. . .+(−1)n+j anj ·|Anj |.
44
Macierz odwrotna
Niech A ∈ Matn×n(R) będzie macierzą kwadratową.
Macierz B ∈ Matn×n(R) nazywamy odwrotną do macierzy A, jeśli
AB = BA = In.
Oznaczenie macierzy odwrotnej: A−1.
45
Przykłady.
"
1. Macierzą odwrotną do A =
"
2. Macierz A =
#
"
#
1 a
1 −a
jest macierz
.
0 1
0 1
#
1 2
nie posiada macierzy odwrotnej.
3 6
46
3. Macierzą odwrotną do macierzy diagonalnej:

c
0 ...
 1
 0 c2 . . .
.
...
.
A=
.

0 0 ...

0

0

0
... 
,

0

0 . . . cn
gdzie c1, . . . , cn 6= 0, jest macierz
c−1
0 ...
 1
−1
 0
c
...

2
−1
.
...
A
=
 ..

0 ...
 0

0
0
0
0
...
0
. . . c−1
n








47
Niech A ∈ Matn×n(R), Aij – macierz otrzymana z macierzy A
przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Liczbę Dij = (−1)i+j · |Aij | nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu aij . Macierz dopełnień algebraicznych oznaczamy
przez AD :



D
A =


D11 D12 . . . D1n
D21 D22 . . . D2n 

.
...
...
... 

Dn1 Dn2 . . . Dnn
48
Twierdzenie. Macierz odwrotna do macierzy A istnieje dokładnie wtedy, gdy det A 6= 0, i wówczas
A−1 =
1
· (AD )T .
det A
Dowód. Jeśli macierz A jest odwracalna, to A · A−1 = I, więc
det A · det A−1 = det(A · A−1) = det I = 1,
skąd det A 6= 0.
Pozostaje wykazać, że jeśli det A 6= 0, to macierz A jest odwracalna i macierz odwrotna wyraża się podanym wzorem.
49
Rozważmy rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza:
det A = a11
...
ai1
...
aj1
...
an1
a12
...
ai2
...
aj2
...
an2
. . . a1n
...
. . . ain
...
. . . ajn
...
. . . ann
= a D + a D + ... + a D .
i1 i1
i2 i2
in in
50
Jeśli zamiast i-tego wiersza wstawimy j-ty wiersz, gdzie j 6= i,
to otrzymamy:
0 = a11
...
aj1
...
aj1
...
an1
a12
...
aj2
...
aj2
...
an2
. . . a1n
...
. . . ajn
...
. . . ajn
...
. . . ann
= a D + a D + ... + a D .
j1 i1
j2 i2
jn in
51
Dla dowolnego i mamy:
ai1Di1 + ai2Di2 + . . . + ainDin = det A,
a dla dowolnych i 6= j:
aj1Di1 + aj2Di2 + . . . + ajnDin = 0.
Możemy to zapisać tak:

a11 a12 . . .
 a21 a22 . . .
 .
...
 ..
an1 an2 . . .

a1n
D11 D21 . . .
 D12 D22 . . .
a2n 

... ·
...
 ...
ann
D1n D2n . . .


Dn1
det A
0
...
 0
Dn2 
det A . . .

...  = 
.
...
..

Dnn
0
0
...

0
0 
.
...

det A
52
Mamy zatem
A · (AD )T = det A · I.
Analogicznie pokazujemy, że
(AD )T · A = det A · I.
Jeśli det A 6= 0, to otrzymujemy równości
1
1
D
T
· (A ) =
· (AD )T · A = I,
A·
det A
det A
które oznaczają, że macierz A jest odwracalna oraz
A−1 =
1
· (AD )T .
det A
53
Definicja. Minorem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy wyznacznik jej podmacierzy kwadratowej:
ai1j1 ai1j2 . . .
ai j ai j . . .
2 1
2 2
...
...
aik j1 aik j2 . . .
ai1jk ai2jk ... ,
aik jk gdzie 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 m, 1 6 j1 < j2 < . . . < jk 6 n.
Definicja. Rzędem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy największy stopień jej niezerowego minora.
54