wyznacznik macierzy

Lista zadań nr 2 do zajęć z matematyki – LS NE FiR
Wyznacznik macierzy, określoność formy kwadratowej
A1. Obliczyć wyznacznik następujących macierzy:
 1 5 4
1 5 4




 3 5
 , b)  − 2 3 7  , c)  0 3 7  , d)
a) 
 −1 7 
 0 2 1
0 0 1




1

3
1

 −1
7

3 5

2 2
.
4 5

0 − 8 1 2
2 1 3 2 
2
2
2
3
1
3
oraz macierzy e) AAT, f) ATA, g) D i h) D2 z zadania A5. z listy 1.
A2. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układy równań z zadania A1. z listy 1.
A3. Obliczyć pole równoległościanu rozpiętego na wektorach:
a) (1, 1), (2, -1); b) (1, 8,-1), (2, 1,-2), (1, 1, 0); c) (1, 2,-3), (2, 1,-2), (1,-1, 1).
Obliczyć pole wielokąta o wierzchołkach:
d) (2, 1), (5, 2), (4, 5); e) (2, 1), (5, 2), (4, 5), (1, 6); f) (1, 3, 2), (1, 0, 1), (2, 1, 4), (0, 0, 0).
A4. Podać wzór formy kwadratowej F(x) = xTMx, gdy:
a) x =  x1  , M =
x 
 2
 1 − 3  ; b) x =


−3 8 
 x1 
 , M =
 x2 
x 
 3
 2 −1 4

 ; c) x =
 −1 6 5 
 4 5 2


 x1 
 
 x2  , M =
x 
 3
x 
 4
4 
 2 −3 1


3 −1 .
−3 2
 1
3
2 − 3


 4 −1 − 3 2 


Obliczyć wartość F(x1), gdzie x1 – wektor składający się z samych jedynek.
A5. Wyznaczyć macierz następujących form kwadratowych:
a) F(x) = F(x1, x2, x3) = 4x12 + 3x22 + 2x32 + 4x1x2 – 6x1x2;
b) F(x) = – 2x12 + x1x2 – 3x22
4
2
c) F(x) = – x1 + 2x1x2 –
2x22
2
2
– 3x3 – 4x4 + x2x4 -3x3x4;
d) F(x) =
4
∑∑ (−1)
i =1 j =1
i+ j
xi x j .
A6. Zbadać określoność macierzy z zadań A4. i A5..
B7. Rozwiązać układ równań:
mx + y + z = 1
3 x − 2 y + z = m
a)  x + my + z = m ; b) 5 x − 8 y + 9 z = 3 ; gdzie m, n – dowolne parametry.
2 x + y + nz = −1
 x + y + mz = m 2


B8. Obliczyć wyznacznik macierzy stopnia n mającej wartości: 0 na przekątnej i 1 wszędzie poza
przekątną.
a0
B9. Obliczyć a) x
x2
x3
− a1
1
− a2
0
0
0
1
0
a0
− a3
x
0 ; b) 2
x
0
M
1
xn
− a1
− a2
... − an
1
0
...
0
0
M
1
M
...
O
0
M
0
0
...
1
.
B10. Niech x, y, z będą wektorami z przestrzeni R3. Wykazać, że M = xxT + yyT + zzT jest macierzą
stopnia 3, symetryczną i słabo dodatnio określoną. Dla jakich wektorów x, y, z macierz ta jest macierzą
dodatnio określoną?
●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○
Wyznacznik macierzy (kwadratowej) stopnia k to wartość liczbowa, którą dla dowolnego, ustalonego i
obliczamy wg wzoru (rozwinięcie Laplace`a):
det A = A = ( −1)i +1 ai1M i1 + (−1) i+ 2 ai 2 M i 2 + ... + (−1) i+ k aik M ik ,
gdzie Mij jest wyznacznikiem utworzonym z macierzy A poprzez wykreślenie i-tego wiersza oraz j-tej
kolumny. Dla macierzy A stopnia 1 detA = a11.
a11 a12 a13
a11 a12
a
a23
a
a 23
a
a22
;
; etc.
= a11a 22 − a12 a 21 a21 a 22 a 23 = a11 22
− a12 21
+ a13 21
a 21 a 22
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a31 a32 a33
Geometrycznie wyznacznik (co do wartości bezwzględnej) odpowiada polu równoległoboku
(równoległościanu) rozpiętego na wektorach będących wierszami (bądź kolumnami) macierzy.
detA = detAT. Twierdzenie (Cauchy’ego): detAB = detA detB.
Układ równań Ax = b jest układem Cramera jeśli detA ≠ 0. Wzory Cramera:
x T = (det A1 , det A2 ,...,det An ) / det A , gdzie macierz Ai powstaje poprzez zastąpienie i – tej kolumny
macierzy A wektorem b.
Forma kwadratowa to funkcja F określona wzorem F(x) = f(x, x) (x ∈ E wektor n wymiarowy), gdzie
ii) f (αx + βy, z ) =
funkcja f jest symetryczną formą dwuliniową, tj.
i) f : E × E → R ,
αf ( x, z ) + β f ( y, z ) , iii) f ( z ,αx + β y ) = αf ( z , x ) + β f ( z , y ) dla dowolnych x, y, z ∈ E i α , β ∈ R .
Formę kwadratową o argumentach i wartościach rzeczywistych można przedstawić w postaci
F(x) = xTMx , gdzie M jest macierzą symetryczną. I odwrotnie: każda symetryczna macierz M
wyznacza formę kwadratową F(x).
Formę kwadratową F nazywamy dodatnio (ujemnie) określoną jeśli ∀x ≠ 0 F(x) > 0 (F(x) < 0).
Formę kwadratową F nazywamy słabo dodatnio (słabo ujemnie) określoną jeśli ∀x ≠ 0 F(x) ≥ 0
(F(x) ≤ 0). Jeśli F(x) przyjmuje wartości różnych znaków, to formę nazywamy nieokreśloną.
Macierz nazywamy dodatnio określoną wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej forma kwadratowa
jest dodatnio określona, itd.
Podwyznacznik główny stopnia n macierzy M ( ∆ n , inaczej minor macierzy) – wyznacznik macierzy
składającej się tylko z n pierwszych kolumn i n pierwszych wierszy macierzy M.
Twierdzenie (kryterium Sylvestera). Macierz symetryczna M jest:
1) dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej podwyznaczniki główne (minory) są dodatnie:
∆1 > 0 , ∆ 2 > 0 , ∆ 3 > 0 , ∆ 4 > 0 , i tak dalej.
2) ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej podwyznaczniki główne (minory) są na przemian
ujemne i dodatnie: ∆1 < 0 , ∆ 2 > 0 , ∆ 3 < 0 , ∆ 4 > 0 , i tak dalej.
Jeśli choć jeden minor jest równy zero, to macierz jest słabo dodatnio lub, odpowiednio, słabo ujemnie
określona. Jeśli choć jeden podwyznacznik główny z parzystym indeksem jest ujemny, to macierz jest
nieokreślona.
0
0 
 −1 1


1
Ad. A6. A5. c)  1 − 2 0
2 .
0
0 − 3 −23 


0
−3
1
− 4 

2
2
∆ 1 = −1,
∆ 2 = 1, – macierz (forma) ujemnie określona.
∆ 3 = −3,
∆ 4 = 9.
Ad. B7. a) zob. Antoniewicz, Misztal: Matematyka dla studentów ekonomi… . Wykład. 10, zad 8. a).
Ad. B10. Skorzystać z definicji określoności formy kwadratowej i własności iloczynu skalarnego.