5 Geometria analityczna w przestrzeni

5
Geometria analityczna w przestrzeni
5.1
Wektory w przestrzeni
Podstawowe własności wektorów w kartezjańskim układzie współrzędnych w
przestrzeni są zupełnie analogiczne do własności wektorów w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.
−→
Wektor swobodny AB o końcach A = (x1 , y1 , z1 ) i B = (x2 , y2 , z2 ) ma współrzędne
[x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ].
−→
Dla punktu A = (x0 , y0 , z0 ) wektor OA ma współrzędne [x0 , y0 , z0 ], gdzie początek
układu to O = (0, 0, 0).
Dodawanie wektorów: dla ~v = [x1 , y1 , z1 ] i w
~ = [x2 , y2 , z2 ] mamy
~v + w
~ = [x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ].
Mnożenie przez liczbę: dla ~v = [x0 , y0 , z0 ] i c ∈ R mamy
c · ~v = [cx0 , cy0 , cz0 ].
Dowolny wektor w przestrzeni można przedstawić w postaci
~v = [x, y, z] = x · [1, 0, 0] + y · [0, 1, 0] + z · [0, 0, 1] = x · e~1 + y · e~2 + z · e~3 ,
gdzie e~1 = [1, 0, 0], e~2 = [0, 1, 0], vece3 = [0, 0, 1].
Wektor zerowy: ~0 = [0, 0, 0]. Dla wektora ~v = [x0 , y0 , z0 ] wektor przeciwny −~v =
[−x0 , −y0 , −z0 ].
Długość wektora ~v = [x0 , y0 , z0 ] wyraża się wzorem
|~v | =
q
x20 + y02 + z02 .
Iloczyn skalarny wektorów ~v = [x1 , y1 , z1 ] i w
~ = [x2 , y2 , z2 ] wyraża się wzorem:
~v ◦ w
~ = x1 y1 + x2 y2 + z1 z2 .
5.2
Iloczyn wektorowy
Iloczynem wektorowym wektorów nierównoległych ~v , w
~ jest wektor
~u = ~v × w
~
o kierunku prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez te wektory i takim
zwrocie, że wektory ~v , w,
~ ~u tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu
e~1 , e~2 , e~3 . Długość wektora ~u:
|~u| = |~v | · |w|
~ · sin (~v , w).
~
Iloczynem wektorowym wektorów równoległych jest (z definicji) wektor zerowy.
Długość wektora ~v × w
~ jest równa polu równoległoboku wyznaczonego przez te
−→ −→
wektory, więc pole trójkąta ABC jest równe 12 · |AB × AC|.
1
5 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
2
Twierdzenie 1. Dla dowolnych wektorów ~u, ~v , w
~ oraz c ∈ R zachodzą następujące
zależności:
(a) ~v × w
~ = ~0 ⇔ ~v k w,
~
(b) ~v × ~v = ~0,
(c) ~v × w
~ = −w
~ × ~v ,
(d) (~u + ~v ) × w
~ = ~u × w
~ + ~v × w,
~
(e) (c · ~v ) × w
~ = c · (~v × w).
~
We współrzędnych iloczyn wektorowy wektorów ~v = [x1 , y1 , z1 ] i w
~ = [x2 , y2 , z2 ]
wyraża się wzorem:
~v ◦ w
~=
5.3
[ x z x y y1 z1 1
1 1 1
, −
].
, x2 y 2 x2 z2
y2 z2
Proste w przestrzeni
Równania parametryczne prostej w przestrzeni określamy analogicznie jak na
płaszczyźnie. Dla punktu P = (x0 , y0 , z0 ) i wektora ~v = [a, b, c], prosta przechodząca
przez punkt P i równoległa do wektora ~v ma następujące równania parametryczne



x = x0 + at
y = y0 + bt


z = z0 + ct,
gdzie t ∈ R.
5.4
Równania płaszczyzn
Płaszczyzna w przestrzeni jest wyznaczona przez punkt i dwa nierównoległe wektory. Dla punktu P = (x0 , y0 , z0 ) i wektorów ~v = [a, b, c], w
~ = [d, e, f ], płaszczyzna
przechodząca przez punkt P , równoległa do wektorów ~v i w
~ jest określona następującymi równaniami parametrycznymi:



x = x0 + at + ds
y = y0 + bt + es


z = z0 + ct + f s,
gdzie t, s ∈ R są parametrami.
Równanie ogólne płaszczyzny w przestrzeni jest analogiczne do równania ogólnego prostej na płaszczyźnie:
Ax + By + Cz + D = 0,
gdzie A, B, C, D ∈ R, przy czym (A, B, C) 6= (0, 0, 0). Niezerowy wektor ~v =
[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0.
5 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
3
Odległość punktu M o współrzędnych (x0 , y0 , z0 ) od płaszczyzny Ax+By +Cz +
D = 0 wyraża się wzorem
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
.
A2 + B 2 + C 2
Prostą możemy określić jako część wspólną dwóch płaszczyzn, np.
(
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Prosta jest wówczas zbiorem rozwiązań tego układu równań.