dyskretnej transformaty Fouriera DFT

-1-
CPS
2006
DYSKRETNA TRANSFORMATA FOURIERA
Transformata Fouriera ciągu dyskretnego
(ang. Discrete-Time Fourier Transform - DTFT)
( )
Definicja: Transformata Fouriera ciągu dyskretnego (DTFT) X e jω sygnału
x[n] jest definiowana jako:
∞
( ) = ∑ x [ n] e
X e
jω
− jω n
n =−∞
( ) jest funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej ω
Ogólnie X e jω
i może być
zapisana jako:
( )
( )
( )
X e jω = X re e jω + jX im e jω
( )
( )
X re e jω i X im e jω
są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną
i są rzeczywistymi funkcjami zmiennej ω
DTFT można przedstawić w postaci wykładniczej:
( )
( )
X e jω = X e jω e
jθ (ω )
gdzie
{
}
θ (ω ) = arg X ( e jω )
( )
X e jω
nazywa się modułem funkcji lub widmem amplitudowym
θ (ω ) nazywa się fazą funkcji lub widmem fazowym
Obie wielkości są funkcjami rzeczywistymi zmiennej ω
( )
X e jω
-2-
CPS
2006
Dla rzeczywistych ciągów x[n]:
( ) i X ( e jω ) są funkcjami parzystymi zmiennej ω
X e jω
re
θ (ω ) i X im ( e jω ) są funkcjami nieparzystymi zmiennej ω
Ze względu na własności zespolonej funkcji wykładniczej:
( )
( ) (
= X ( e jω ) e ( )
X e jω = X e jω e
jθ ω + 2π k )
=
jθ ω
dla dowolnego k.
Przykład:
Wyznaczenie Transformaty Fouriera wykładniczego ciągu dyskretnego
opisującego system przyczynowy:
x [ n ] = a n ⋅ 1[ n ] ,
a <1
DTFT jest dana jako
( )
X e jω =
∞
∞
n =−∞
n=0
∑ a n ⋅1[ n] e− jω n = ∑ a ne− jω n =
∞
= ∑ ( ae − jω ) =
n
n =0
1
1 − ae − jω
gdzie
ae − jω = a < 1
Widmo amplitudowe i fazowe DTFT dla a = 0.5 przedstawia wykres:
( )
X e jω =
1
1 − 0.5e − jω
-3-
CPS
2006
2
1.8
Widmo amplitudowe
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
-3
-2
-1
0
w/pi
1
2
3
-2
-1
0
w/pi
1
2
3
0.6
0.4
Widmo fazowe
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-3
( )
DTFT X e jω ciągu x[n] jest ciągłą funkcją częstotliwości ω
( )
DTFT X e jω ciągu x[n] okresową funkcją ω o okresie 2π
-4-
CPS
2006
Związek Transformaty Fouriera ciągu dyskretnego z transformatą ZET
Porównując definicje transformaty ZET oraz DTFT
X ( z) =
∞
∑ x [ n] z
∞
( ) = ∑ x [ n] e
−n
X e
n =−∞
jω
− jω n
n =−∞
można zauważyć, że istnieje prosta zależność między nimi.
( )
X e jω = X ( z )
z = e jω
Jednak aby można było zastosować powyższe podstawienie musi być spełniony
dodatkowy warunek dotyczący obszaru zbieżności funkcji X(z):
Obszar zbieżności musi zawierać okrąg jednostkowy, czyli jeżeli oznaczymy
promienie okręgów, które wyznaczają obszary zbieżności dla ciągów
lewostronnych i prawostronnych odpowiednio Rx + ; Rx − to ich wartości:
Rx + < 1 < Rx −
Im
Re
1
-5-
CPS
2006
Dyskretne przekształcenie Fouriera
(ang. Discrete Fourier Transform - DFT)
Definicja: Zależność między ciągiem x[n] o skończonej długości 0 ≤ n ≤ N − 1 ,
i jego DTF X [ k ] można otrzymać próbkując jednostajnie ciągłe widmo DTFT
X ( e jω ) w przedziale 0 ≤ ω ≤ 2π w punktach ω k = 2π k / N
dla 0 ≤ k ≤ N − 1
Zatem:
X [k ] = X (e
jω
N −1
) ω = 2π k / N = ∑ x [ n] e
− j 2π kn / N
n =0
gdzie
0 ≤ k ≤ N −1
X [ k ] jest ciągiem zespolonym o długości N w dziedzinie częstotliwości.
Ciąg X [ k ] nazywa się dyskretną transformatą Fouriera (DTF) ciągu x[n]
Wprowadzając oznaczenie WN = e − j 2π / N , DFT często wyraża się jako:
N −1
X [ k ] = ∑ x [ n ]WNkn , 0 ≤ k ≤ N − 1
n =0
Odwrotna dyskretna transformata Fouriera (IDFT):
x [ n] =
1 N −1
X [ k ]WN− kn , 0 ≤ n ≤ N − 1
∑
N k =0
Przykład:
X[n]
1
n
0
1
2
N-1
-6-
CPS
2006
N punktów DFT danych jest zależnością
N −1
X [ k ] = ∑ x [ n ]WNkn = x [ 0]WN0 = 1, 0 ≤ k ≤ N − 1
n =0
Przykład:
n=m
⎧1,
x [ n] = ⎨
⎩ 0, 0 ≤ n ≤ m − 1, m + 1 ≤ n ≤ N − 1
N −1
X [ k ] = ∑ x [ n ]WNkn = x [ m ]WNkm = WNkm , 0 ≤ k ≤ N − 1
n =0
Postać macierzowa:
DFT definiowana jako
N −1
X [ k ] = ∑ x [ n ]WNkn
n =0
można zapisać w postaci macierzowej
X = DN x
gdzie
X = ⎡⎣ X [ 0]
X [1] … X [ N − 1]⎤⎦
x = ⎡⎣ x [ 0] x [1] … x [ N − 1]⎤⎦
T
T
-7-
CPS
1
1
⎡1
⎢
1
WN2
⎢1 WN
D N = ⎢1 WN2
WN4
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1 WN( N −1) WN2( N −1)
2006
⎤
N −1 ⎥
WN( ) ⎥
2 N −1 ⎥
WN ( ) ⎥
⎥
2 ⎥
N −1
WN( ) ⎥⎦
1
IDFT definiowana jako
1 N −1
x [ n ] = ∑ X [ k ]WN− kn
N k =0
można zapisać w postaci macierzowej
x=
1 −1
DN X
N
gdzie
1
1
⎡1
⎢
−1
WN−2
⎢1 WN
D−N1 = ⎢1 WN−2
WN−4
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1 WN−( N −1) WN−2( N −1)
oraz:
D−N1 =
1 *
DN
N
⎤
− N −1 ⎥
WN ( ) ⎥
−2 N −1 ⎥
WN ( ) ⎥
⎥
2 ⎥
−( N −1)
⎥⎦
WN
1
-8-
CPS
2006
DFT jako korelacja z funkcjami sinusoidalnymi
Z zależności Eulera e
zapisać jako:
− jφ
= cos (φ ) − j sin (φ ) wynika, że równanie DFT można
N −1
X [ k ] = ∑ x [ n ] ⎡⎣ cos ( 2π nk / N ) − j sin ( 2π nk / N ) ⎤⎦
n =0
gdzie:
• X[k] - k-ta składowa DFT, tj. X[0], X[1], …., X[N-1]
• k - indeks próbek DFT w dziedzinie częstotliwości, k =0, 1, 2, 3, ..., N-1
• x[n] - ciąg próbek wejściowych, x[0], x[1],..., x[N-1]
• n indeks próbek wejściowych w dziedzinie czasu, n= 0, 1,2,3,...,N-1
• N - liczba próbek ciągu wejściowego oraz liczba punktów częstotliwości
w ciągu DFT.
Indeksy (n) dla próbek wejściowych oraz (k) dla próbek DFT zawsze
zmieniają się od 0 do N-1 w standardowej notacji DFT.
Oznacza to, że mając N próbek wejściowych w dziedzinie czasu, DFT
wyznacza zawartość widmową sygnału wejściowego w N równomiernie
rozłożonych punktach osi częstotliwości.
Wartość N jest ważnym parametrem, ponieważ określa ona:
• ile wymaganych jest próbek wejściowych,
• jaka jest rozdzielczość wyników w dziedzinie częstotliwości
• jaki jest czas przetwarzania wymagany do obliczenia N- punktowej
DFT.
-9-
CPS
2006
Przykład
Jeśli N = 4, zarówno n, jak i k zmieniają się od 0 do 3. równanie DFT przyjmuje
postać:
3
X [ k ] = ∑ x [ n ] ⎡⎣ cos ( 2π nk / 4 ) − j sin ( 2π nk / 4 ) ⎤⎦
0
Wypisując wszystkie składniki dla pierwszej próbki DFT, k = 0, mamy
X [ 0] =
x ( 0 ) cos ( 2π ⋅ 0 ⋅ 0 / 4 ) − jx ( 0 ) sin ( 2π ⋅ 0 ⋅ 0 / 4 ) +
x (1) cos ( 2π ⋅1 ⋅ 0 / 4 ) − jx (1) sin ( 2π ⋅1 ⋅ 0 / 4 ) +
x ( 2 ) cos ( 2π ⋅ 2 ⋅ 0 / 4 ) − jx ( 2 ) sin ( 2π ⋅ 2 ⋅ 0 / 4 ) +
x ( 3) cos ( 2π ⋅ 3 ⋅ 0 / 4 ) − jx ( 3) sin ( 2π ⋅ 3 ⋅ 0 / 4 )
Dla drugiej próbki DFT, k = 1. równanie przyjmuje postać
X [1] =
x ( 0 ) cos ( 2π ⋅ 0 ⋅1/ 4 ) − jx ( 0 ) sin ( 2π ⋅ 0 ⋅1/ 4 ) +
x (1) cos ( 2π ⋅1 ⋅1/ 4 ) − jx (1) sin ( 2π ⋅1 ⋅1/ 4 ) +
x ( 2 ) cos ( 2π ⋅ 2 ⋅1/ 4 ) − jx ( 2 ) sin ( 2π ⋅ 2 ⋅1/ 4 ) +
x ( 3) cos ( 2π ⋅ 3 ⋅1/ 4 ) − jx ( 3) sin ( 2π ⋅ 3 ⋅1/ 4 )
Dla trzeciej próbki DFT, k = 2, równanie przyjmuje postać
X [ 2] =
x ( 0 ) cos ( 2π ⋅ 0 ⋅ 2 / 4 ) − jx ( 0 ) sin ( 2π ⋅ 0 ⋅ 2 / 4 ) +
x (1) cos ( 2π ⋅1⋅ 2 / 4 ) − jx (1) sin ( 2π ⋅1⋅ 2 / 4 ) +
x ( 2 ) cos ( 2π ⋅ 2 ⋅ 2 / 4 ) − jx ( 2 ) sin ( 2π ⋅ 2 ⋅ 2 / 4 ) +
x ( 3) cos ( 2π ⋅ 3 ⋅ 2 / 4 ) − jx ( 3) sin ( 2π ⋅ 3 ⋅ 2 / 4 )
- 10 -
CPS
2006
Dla czwartej i ostatniej próbki DFT, k = 3, równanie przyjmuje postać
X [3] =
x ( 0 ) cos ( 2π ⋅ 0 ⋅ 3 / 4 ) − jx ( 0 ) sin ( 2π ⋅ 0 ⋅ 3 / 4 ) +
x (1) cos ( 2π ⋅1⋅ 3 / 4 ) − jx (1) sin ( 2π ⋅1⋅ 3 / 4 ) +
x ( 2 ) cos ( 2π ⋅ 2 ⋅ 3 / 4 ) − jx ( 2 ) sin ( 2π ⋅ 2 ⋅ 3 / 4 ) +
x ( 3) cos ( 2π ⋅ 3 ⋅ 3 / 4 ) − jx ( 3) sin ( 2π ⋅ 3 ⋅ 3 / 4 )
Każda próbka X(k) DFT stanowi sumę punkt po punkcie iloczynu ciągu
wartości wejściowego sygnału i przebiegu zespolonego postaci
cos (φ ) − j sin (φ ) .
Jak wynika z przykładu, wartości częstotliwości przebiegów sinusoidalnych,
zależą od częstotliwości próbkowania fp, sygnału oraz od liczby próbek N.
Przykład:
Jeżeli próbkujemy ciągły sygnał z szybkością 500 próbek/s, i wyznaczamy 16punktową DFT z tych próbek, to częstotliwość podstawowa sinusoid, z którymi
korelujemy sygnał transformowany wynosi:
fp/N= 500/16= 31,25Hz.
Wyznaczone wartości X(k) DFT zwane prążkami, są określone w
punktach o częstotliwościach będących całkowitymi wielokrotnościami tej
częstotliwości, tj.
X[0] - 1. prążek o częstotliwości analizy = 0x31,25 = 0 Hz.
X[1] - 2. prążek o częstotliwości analizy = 1x31,25 = 31,25 Hz,
X[2] - 3. prążek o częstotliwości analizy = 2x31,25=62,5 Hz,
X[3] - 4. prążek o częstotliwości analizy = 3x31,25 = 93,75 Hz.
.....................
X[15] - 16. prążek o częstotliwości analizy 15x31,25=468.75 Hz.
CPS
- 11 -
2006
Wartości częstotliwości N kolejnych punktów na osi częstotliwości są określane
jako
fa =
mf p
N
Natomiast rozdzielczość DFT wyraża się zależnością:
Δf =
fp
N
Moc chwilowa sygnału Xp(k) jest wyrażona jako kwadrat wartości bezwzględnej
widma:
X P ( k ) = X ( k ) = X re2 ( k ) + X im2 ( k )
2
Przykład
Należy próbkować ciągły sygnał wejściowy x(t), zawierający dwie
składowe o częstotliwościach 1 kHz i 2 kHz, wyrażony jako:
x ( t ) = sin ( 2π ⋅1000 ⋅ t ) + 12 sin ( 2π ⋅ 2000 ⋅ t + 34π )
oraz wyznaczyć jego 8-punktową DFT.
Przy częstotliwości próbkowania fp, próbkujemy sygnał wejściowy w
odstępach czasowych 1/fp=Tp
Potrzebujemy 8 próbek wejściowych, umożliwiających wyznaczenie 8
punktów DFT.
- 12 -
CPS
2006
8-elementowy ciąg x[n] jest równy x(t) próbkowanemu w chwilach czasu nTp:
x [ n ] = x ( nTp ) = sin ( 2π ⋅1000 ⋅ nTp ) + 12 sin ( 2π ⋅ 2000 ⋅ nTp + 34π )
Jeśli wybierzemy szybkość próbkowania równą fp = 8000 próbek/s,
wówczas DFT określa składowe sygnału x[n] w punktach osi częstotliwości
k⋅
fp
N
,
czyli 0 kHz, 1 kHz, 2 kHz ... 7 kHz.
Wartości próbek sygnału x(n), to
x[0]= 0,3535
x[2]= 0,6464,
x[4]= 0,3535,
x[6] = -1,3535,
x[1]= 0,3535,
x[3] = 1,0607,
x[5]=-1,0607,
x[7] = -0,3535
Te wartości próbek x[n] zaznaczono jako punkty na ciągłej krzywej x(t) na
rysunkach niżej.
DFT
Dla k = 1, lub też dla składowej DFT o częstotliwości 1 kHz (kfp /N =
8000/8), równanie dla tego przykładu przyjmuje postać
7
⎛ 2π n ⎞
⎛ 2π n ⎞
⎟ − jx [ n ] sin ⎜
⎟
⎝ 8 ⎠
⎝ 8 ⎠
X (1) = ∑ x [ n ] cos ⎜
n=0
Podstawiając wartości próbek x[n] do równania i wypisując składowe
kosinusoidalne w lewej kolumnie oraz składowe sinusoidalne w prawej
kolumnie, mamy
- 13 -
CPS
X[1]=
=
0,3535 · 1,0
+ 0,3535 · 0,707
+ 0,6464 · 0,0
+ 1,0607 · -0,707
+0,3535 · -1,0
-1,0607 · -0,707
-1,3535 · -0,0
-0,3535 · 0,707
-j (0,3535 · 0,0)+
-j(0,3535 · 0,707)+
-j(0,6464 · 1,0)+
-j(1,0607 · 0,707)+
- j(0,3535 · 0,0)+
-j(-1,0607 · -0,707)+
-j(-1,3535 · -1,0)+
-j(0,3535 · -0,707)=
0,3535 +
+ 0,250
0
- 0,750
-0,3535+
+0,750
0
-0,250=
0
-j0,250 +
-j0,6464 +
-j0,750+
0
-j0,750+
-j1,3535
+j0,250=
= 4e
X[1]= 0—j4,0
2006
dla n=0
dla n=1
dla n=2
dla n=3
dla n=4
dla n=5
dla n=6
dla n=7
− j 90
Należy zauważyć, że użyte w tej analizie sinusoidy i kosinusoidy mają
częstotliwość 1kHz (linie czerwona i niebieska), jest to jeden okres w przedziale
próbkowania.
1.5
k=1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
Wynik obliczeń pokazuje, że sygnał wejściowy x[n] zawiera składową o
częstotliwości 1kHz.
- 14 -
CPS
2006
Wartość bezwzględna X(1)
X (1) = 4
Faza:
⎛ X imag (1) ⎞
= − 90 0
X φ (1) = arctg ⎜
⎜ X (1) ⎟⎟
⎝ real
⎠
Moc chwilowa
X P (1) = X (1) = 16
2
Dla k = 2 korelujemy x[n] z przebiegiem kosinusoidalnym o częstotliwości
2 kHz i z przebiegiem sinusoidalnym o częstotliwości 2 kHz.
Zauważmy, że na rys. przebiegi sinusoidalny i kosinusoidalny mają k = 2
pełne okresy w przedziale próbkowania.
1.5
k=2
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
Podstawienie wartości próbek x(n) do równania (3) dla k=2 daje w wyniku:
X(2)=1,414+j l,414 = 2e
j 45
Sygnał wejściowy x[n] zawiera składową o częstotliwości 2 kHz, której
względna amplituda jest równa 2 i której kąt fazowy względem kosinusoidy o
częstotliwości 2 kHz wynosi 450.
- 15 -
CPS
2006
Dla k = 3, korelujemy x[n] z przebiegiem kosinusoidalnym o częstotliwości
3 kHz i z przebiegiem sinusoidalnym o częstotliwości 3 kHz.
1.5
k=3
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
Zauważmy znów, że mają one k = 3 pełne okresy w przedziale
próbkowania. Podstawienie wartości próbek x(n) dla równania dla k = 3 daje
X(3) = 0 –j0= 0
DFT wskazuje, że x[n] nie zawiera żadnej składowej o częstotliwości 3 kHz.
Kontynuujemy analogicznie wyznaczanie DFT dla składowej w dziedzinie
częstotliwości odpowiadającej
k = 4 X(4) = 0,0—j0,0 = 0
1.5
k=4
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
- 16 -
CPS
2006
k = 5 X(5) = 0,0—j0,0 = 0
1.5
k=5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
5
6
5
6
− j 45
k = 6 X(6) = 1,414-j1,414= 2e
1.5
k=6
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
j 90
k = 7 X(7) = 0+j4 = 4e
1.5
k=7
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
- 17 -
CPS
2006
Jeśli k = 0, korelujemy x(n) z cos ( 0 ) − j sin ( 0 )
N −1
N −1
n =0
n =0
X (0 ) = ∑ x(n )[cos(0 ) − j sin (0 )] = ∑ X (n )
Wartość X(0) w dziedzinie częstotliwości określa składową stałą w widmie
sygnału x(n).
X(0) = 0,3535+0,3535+ 0,6464+1,0607+0,3535-1,0607-1,3535-0,3535= 0
Jeżeli wykreślimy wartości wyjściowe |X(k)| w funkcji częstotliwości,
otrzymamy widmo amplitudowe ciągu wejściowego x[n].
4
100
80
MODUL
3.5
FAZA
60
3
40
2.5
20
2
0
-20
1.5
-40
1
-60
0.5
0
-80
0
1
2
3
4
5
6
7
1.6
-100
0
1
2
3
4
5
6
7
4
5
6
7
4
RE
1.4
3
1.2
I
M
2
1
1
0.8
0
0.6
-1
0.4
-2
0.2
-3
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
-4
0
1
2
3
Zauważmy, że rysunek wskazuje, iż x[n], ma składowe o częstotliwościach
1 kHz k = 1) i 2 kHz (k = 2).
Ponadto, składowa o częstotliwości 1 kHz ma amplitudę dwa razy większą,
niż składowa o częstotliwości 2 kHz.
- 18 -
CPS
2006
Pytanie ?
• co oznaczają niezerowe wartości amplitud przy k = 6 i k = 7 na rys
• dlaczego amplitudy wydają się cztery razy większe, niż moglibyśmy
oczekiwać?
Przykład ilustruje dwie bardzo ważne cechy DFT:
• każda pojedyncza wartość wyjściowa X(k) jest sumą kolejnych iloczynów
ciągu próbek sygnału wejściowego z przebiegami kosinusoidalnymi i
sinusoidalnymi, których częstotliwości są tak dobrane, iż przebiegi te
mają k pełnych okresów w całkowitym przedziale N próbek
• symetrię wyjściowych składników DFT
Symetria DFT
Z rysunku można stwierdzić oczywistą symetrię w wynikach DFT.
Jeśli ciąg wejściowy x(n) jest rzeczywisty to zespolone wartości wyjściowe
DFT dla argumentów k ≥ N 2 są nadmiarowe w stosunku do wartości
wyjściowych dla argumentów od k=0 do k=N/2-1.
• k-ta wartość wyjściowa DFT będzie miała taką samą amplitudę, jak
(N—k)-ta wartość wyjściowa DFT.
• Kąt fazowy m-tej wartości wyjściowej DFT jest równy kątowi
fazowemu (N—k)-tej wartości wyjściowej DFT, ze znakiem ujemnym.
Możemy stwierdzić, że (* -ozn. sprzężenia)
X (k ) = X ∗ ( N − k )
- 19 -
CPS
2006
Przykład
W rozważonym przykładzie, zauważmy na rys. 4 że X(5), X(6) i X(7) są
odpowiednio wartościami zespolonymi sprzężonymi z X(3), X(2) i X(1).
• część rzeczywista X(k) charakteryzuje się właściwością zwaną symetrią
parzystą, jak to pokazano na rysunku
• część urojona DFT charakteryzuje się symetrią nieparzystą, jak to
pokazano na rysunku
Zatem, aby otrzymać DFT sygnału x[n], wystarczy wyliczyć pierwszych N/2
wartości X(k), gdzie 0 ≤ k ≤ N 2 − 1 ;
• Jeśli rzeczywista funkcja wejściowa jest parzysta x(n)=x(-n), to X(k)
jest zawsze rzeczywista i parzysta
• Jeśli rzeczywista funkcja wejściowa jest nieparzysta, czyli x(-n)=x(-n),
to XRe(k) jest zawsze równa zeru, zaś XIml(k) jest niezerowa.
Liniowość DFT
DFT ma bardzo ważną właściwość znaną jako liniowość. Właściwość ta
mówi, że DFT sumy dwóch sygnałów jest równa sumie transformat każdego z
sygnałów. Jeśli wstawimy
xsuma ( n ) = x1 ( n ) + x2 ( n )
do równania (2), aby otrzymać Xsumal(k), wówczas
- 20 -
CPS
2006
N −1
X suma ( k ) = ∑ ( x1 [ n ] + x2 [ n ]) e − j 2π kn / N =
n =0
N −1
= ∑ x1 [ n ] e
− j 2π kn / N
n=0
N −1
+ ∑ x2 [ n ] e− j 2π kn / N =
n=0
= X1 ( k ) + X 2 ( k )
Wartości widma amplitudowego DFT
Przykład
Rezultaty |X(1)|=4, |X(2)|=2 mogą zdezorientować, ponieważ składowe
sygnału wejściowego x[n] miały amplitudy równe, odpowiednio, 1 i 0,5.
Jeśli rzeczywisty sygnał wejściowy zawiera składową sinusoidalną o
amplitudzie A0 i całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek
wejściowych, wówczas amplituda wyjściowa DFT dla tego szczególnego
przebiegu sinusoidalnego wynosi Mγ gdzie
M r = A0
N
2
Jeśli sygnałem wejściowym DFT jest przebieg zespolony o amplitudzie A0 (tj.
A0e jωt ) i całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek, wówczas amplituda
wyjściowa DFT wynosi Mc gdzie
M c = A0 N
Jeśli sygnał wejściowy DFT zawiera składową stałą równą D0, to amplituda
wyjściowej składowej stałej X(0) DFT będzie równa.
D0N
- 21 -
CPS
2006
Patrząc na poprzedni przypadek rzeczywistego sygnału wejściowego dla
składowej o częstotliwości 1000 Hz A0=1 i N=8, zatem
M r = 1⋅
8
=4
2
jak pokazano w przykładzie.
Czasem w literaturze widzimy DFT zdefiniowaną jako
2
X (k ) =
N
N −1
∑ x [n] e
− j 2π nk / N
n =0
Czynnik skalujący 2/N sprawia, że amplitudy X(k) są równe wartości amplitudy
wejściowej sinusoidy w dziedzinie czasu, za cenę obliczenia dodatkowego
dzielenia przez N.
Istnieją komercyjne pakiety oprogramowania wykorzystujące zależności:
1
X (k ) =
N
1
x2 [ n ] =
N
N −1
∑ x [ n]e
− j 2π nk / N
n =0
N −1
∑ X ( k )e
k =0
j 2π nk / N
2
dla prostej i odwrotnej DFT.
Czynniki skalujące 1 N wydają się nieco dziwne, ale są one używane, aby nie
było zmiany skali przy transformowaniu w każdym z kierunków.
Opracowano na podstawie:
R. G. Lyons „Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów” 1999