Zadania dla uczniów klas trzecich

IX SZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY
I ETAP
ZADANIA KWALIFIKACYJNE DLA KLAS TRZECIH
TERMIN ODDANIA ZADAŃ DO 28 PAŹDZIERNIKA 2011r.
Zadanie1.(4pkt)
Wykaż, że liczba 3 + 32 + 33 + … + 32001 + 32002 jest podzielna przez 12.
Zadanie2. (4pkt.)
W trójkącie prostokątnym
dane są długości przyprostokątnych
i
Na przeciwprostokątnej
odłożono odcinek
o długości .
Oblicz długość odcinka
.
Zadanie3. (4pkt)
Udowodnij, że jeżeli długości a, b, c boków trójkąta spełniają warunek :
c
a
+
= 1, to jeden z kątów tego trójkąta ma miarę 60° .
a+b b+c
Zadanie 4. (4pkt)
Dla jakich wartości parametru p ε R jeden z pierwiastków równania
(12p + 6)x2 + 16px + 9p = 0
jest sinusem, a drugi kosinusem tego samego kąta rozwartego?
Zadanie 5.(4pkt)
Punkty A = (2;-2) i B = (8; 4) są końcami podstawy trójkąta równoramiennego ABC.
Wierzchołek C leży na prostej x - 3y + 34 = 0:
Znajdź równanie okręgu wpisanego w trójkąt ABC:
Zadanie6(4pkt)
Udowodnij, że punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
z przeciwprostokątną dziel tą przeciwprostokątną na odcinki , których iloczyn jest równy
polu tego trójkąta.
Zadanie7. (4pkt)Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych (x ,y) spełniające równanie
xy+5x+2y+3=0.
Zadanie 8. (4pkt)
Wykaż, że jeżeli liczby a, b, c są dodatnie i różne od 1 i tworzą ciąg geometryczny, to
1
1
1
liczby log n , log n , log c n , ( n ∈ N \ {0,1}) tworzą ciąg arytmetyczny.
a
b
Powodzenia.