zestaw nr 24.

24. Podstawowe pojęcia rachunku
prawdopodobieństwa, przestrzeń
probabilistyczna, klasyczna definicja
prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo
geometryczne, zmienne losowe.
1
Przestrzeń propabilistyczna
Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem
zdarzeń elementarnych, F jest rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki:
1. F 6= ø
2. A ∈ F ⇒ A0 ∈ F
3. Ai ∈ F i = 1, 2, . . . ⇒
S∞
i=1
Ai ∈ F
oraz P : F → [0, 1] jest funkcją o następujących własnościach:
1. P (Ω) = 1 (miara unormowana)
S∞
2. dla A1 , A2 , . . . ∈ F parami rozłącznych P (
i=1
Ai ) =
P∞
i=1
P (Ai ).
(F-nazywamy σ-ciałem)
2
Prawdopodobieństwo klasyczne
Niech Ω będzie zbiorem skończonym, Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }, F = 2Ω oraz niech
wszystkie zdarzenia elementarne {ωi } i = 1, 2, . . . będą równie prawdopodobne
(P ({ωi }) = P ({ωj }) = n1 , i, j = 1, . . . , n). Wtedy mamy model klasyczny, a
prawdopodobieństwo liczymy ze wzoru:
=
P (A) =
A
=
Ω
1
2.1
Przykład
Rzucamy dwa razy sumetryczną kostką sześcienna. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 4 oczek?
Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (5, 6), . . . , (6, 6)}
=
Ω= 36
F = 2Ω
A-wyrzucenie w sumie 4 oczek
A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
=
A= 3
1
3
=
P (A) =
36
12
3
Prawdopodobieństwo geometryczne
Niech Ω ⊂ Rk , Ω ∈ B(Rk ) oraz 0 < λk (Ω) < ∞. Wtedy miarę prawdopodobieństwa określoną na F = B(Ω) wzorem P (A) = λλkk (A)
nazywamy prawdopodobień(Ω)
stwem gemetrycznym
3.1
Przykład
Z odcinka[0,2] losujemy dwie liczby. Obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, że
ich suma będzie większa od 1.
Ω = [0, 2] × [0, 2], F = B(Ω), P (A) =
A = {(x, y) ∈ Ω : x + y > 1}
1∗1∗ 1
P (A) = 1 − 4 2
2
λ2 (A)
4
4
Zmienna losowa
Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią propablilistyczną. Zmienną losową nazywmy
funkcje: X : Ω → R spełniającą jeden z równoważnych warunków:
1. {ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F
2. {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a} ∈ F
3. {ω ∈ Ω : X(ω) > a} ∈ F
4. {ω ∈ Ω : X(ω) ≥ a} ∈ F
5. ∀A∈B(R) X −1 (A) ∈ F
Zmienna losowa to funkcja mierzalana określona na Ω, działająca w R.
4.1
Przykład
Rzucamy 3 racy monetą.
Ω = {(O, O, O), (O, R, O), (O, O, R), (R, O, O), (O, R, R), (R, O, R), (R, R, O), (R, R, R)}
F = 2Ω
X-liczba orłów
X(ω) = {0, 1, 2, 3}
5
Rozkład Zmiennej losowej
Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, X - zmienną losową. Rozkładem zmiennej X nazywamy funkcję Px : B(R) → [0, 1] określony wzorem:
∀A∈B(R) Px (A) = P {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A} = P (X −1 (A))
5.1
Przykład
Px ({0}) = P (X −1 ({0}) = P ({(R, R, R)}) = 81
Px ({1}) = P (X −1 ({1}) = P ({(O, R, R), (R, O, R), (R, R, O)}) =
Px ({2}) = P (X −1 ({2}) = P ({(O, O, R), (R, O, O), (O, R, O)}) =
Px ({3}) = P (X −1 ({3}) = P ({(O, O, O)}) = 81
6
3
8
3
8
Dystrybuanta
Niech µ będzie rozkładem. Dystrybuantą rozkładu µ nazywamy funkcję Fµ :
R → [0, 1] określoną wzorem Fµ (t) = µ((−∞, t]). Jeśli µ = Px , czyli µ jest
rozkładem zmiennej X, to dystrybuantę oznaczamy FX i nazywamy dystrybuantą
rozkładu zmiennej X. Definiujemy ją wtedy równoważnym wzorem: FX (t) =
Px ((−∞, t]) = P (X −1 (−∞, t]) = P (X ≤ t).
3
6.1
Przykład
4