Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 1
Wstęp. Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami pojawiającymi się przy wykonywaniu doświadczeń losowych, czyli takich, których wyniku nie da się z góry przewidzieć, a jednocześnie
dających się powtarzać w tych samych warunkach. Impuls do rozwoju teorii prawdopodobieństwa dała analiza gier hazardowych (XVII wiek), a także, w późniejszych czasach, analiza zjawisk masowych.
Przeanalizujmy kilka przykładów doświadczeń losowych.
Przykład 1. Pojedynczy rzut moneta. Możliwe wyniki to orzeł lub reszka. Doświadczenie można
powtarzać wielokrotnie w tych samych warunkach. Czego można oczekiwać w wyniku wielokrotnego
powtórzenia tego doświadczenia?
Przykład 2. Pojedynczy rzut kostka. Możliwe wyniki to elementy zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ale ponieważ
wyników jest więcej, możemy w naturalny sposób mówić o zdarzeniach, np.: ”wypadła parzysta liczba
oczek”, ”wypadła liczba oczek mniejsza niż 4” itd.
Każdemu takiemu zdarzeniu odpowiada podzbiór możliwych wyników. Zdarzeniom będziemy przypisywać prawdopodobieństwo ich zajścia.
Przykład 3. Z talii 52 kart wybieramy losowo 5. Jaka jest szansa, że wszystkie wylosowane karty będą
czerwone (kiery lub kara)? Wynikami są wszystkie 5–elementowe podzbiory zbioru 52–elementowego.
Interesujące nas zdarzenie składa się ze wszystkich 5–elementowych podzbiorów kart czerwonych, czyli
szansa zajścia zdarzenia wynosi
26
5
52 .
5
Przykład 4. Rzucamy symetryczna moneta do chwili pojawienia się orła. Ile jest możliwych wyników? Czy jest ich przeliczalnie wiele? Jak przypisać im prawdopodobieństwa? W jaki sposób zdarzenie
”orzeł pojawi się wcześniej czy później” można przedstawić za pomocą przeliczalnej alternatywy zdarzeń?
Podstawowe oznaczenia. Zbiór zawierający wszystkie możliwe wyniki doświadczenia nazywamy zbiorem zdarzeń elementarnych i oznaczamy przez Ω.
Definicja 1. Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Zauważmy, ze jest pewna dowolność w wyborze. Moneta z Przykładu 1. może np. upaść ”na
kant” - czy uwzględniamy taka sytuacje? Kolejność kart z Przykładu 3. nie jest istotna - co by się
zmieniło, gdyby była istotna? Podzbiór zbioru nazywać będziemy zdarzeniem, jednak nie zawsze da
się przypisać prawdopodobieństwo wszystkim podzbiorom zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Można sformułować pewne minimalne, rozsądne wymagania co do klasy zdarzeń F, którym będziemy
przypisywać prawdopodobieństwo:
• jeśli rozważamy zdarzenie A ⊂ Ω, to automatycznie dopuszczamy możliwość, ze A nie zajdzie.
To jest zdarzenie A0 = Ω \ A;
1
2
• w Przykładzie 4. mamy nieskończoną alternatywę zdarzeń, czemu odpowiada branie nieskończonej sumy zbiorów;
• rozpatrywany model powinien zawierać co najmniej jedno zdarzenie.
σ-ciało podzbiorów Ω. Zdarzeniami nazywać będziemy wyłącznie podzbiory należące do F.
Przełóżmy powyższe wymagania na formalne własności matematyczne zbioru F:
(S1) ∅ ∈ F
(S2) jeżeli A ∈ F to A0 = Ω \ A ∈ F
(S3) jeżeli Ai ∈ F, dla i = 1, 2, . . . to
S∞
i=1 Ai
∈F
Definicja 2. Rodzinę zdarzeń F spełniającą warunki (S1-S3) nazywamy σ–ciałem (podzbiorów zbioru
Ω).
Prawdopodobieństwo. Aksjomaty Kołmogorowa. Możemy teraz zdefiniować miarę probabilistyczną na wprowadzonym σ-ciele.
Definicja 3. Prawdopodobieństwem nazywamy dowolna funkcję P : F → R o wartościach rzeczywistych, określoną na σ–ciele zdarzeń F ⊂ 2Ω , spełniającą warunki:
(B1) P (A) ­ 0 dla każdego A ∈ F;
(B2) P (Ω) = 1;
(B3) Jeżeli Ai ∈ F, i = 1, 2, . . . oraz Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j, to
P
∞
[
!
Ai
=
i=1
∞
X
P (Ai ).
i=1
Warunek (B1) stwierdza, ze prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest nieujemne: taka własność
ma także częstość. (B2) wziął się stad, ze prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1. (B3)
mówi, ze dla zdarzeń wykluczających się prawdopodobieństwo ich sumy równe jest sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń. Ten warunek nazywa się przeliczalna addytywnością prawdopodobieństwa.
Powyższe warunki sformułował po raz pierwszy w 1933 roku Andriej Nikołajewicz Kołmogorow jako
aksjomaty teorii prawdopodobieństwa.
Doświadczenie losowe. Matematyczny model doświadczenia losowego to trójka
(Ω, F, P ),
gdzie P jest prawdopodobieństwem, określona na pewnym σ–ciele podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Te trojkę nazywamy przestrzenią probabilistyczna.
Zadanie 1. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech A, B, A1 , A2 , . . . , An ∈
F . Pokazać że:
(W1) Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero
P (∅) = 0
(W2) Skończona addytywność. Jeżeli A1 , A2 , . . . , An wykluczają się parami (tj, Ai ∩ Aj = ∅ dla
i 6= j), to
!
P
n
[
i=1
Ai
=
n
X
P (Ai ).
i=1
(W3)
P (A0 ) = 1 − P (A)
3
(W4) Jeśli A ⊂ B, to
P (B \ A) ¬ P (B) − P (A)
(W5)
P (A) ¬ 1
(W6) Wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)