sA= t Akf?k) (4.321 unttl:[J`u) c.`^-`- `)(.^-1 ,`). tF-J

4. Catkowanie
numetyczne
174
4.2. Kwadraturyz ustalonymi wQzlami
EID;
hl := 0.5
175
hli
r[1] := 0.5 . (rIi-1] + s/)jl,
q := 1.0;
FoR j := 1 TO i-l
DO
BEGIN
q :- 4 . q;
i 1 ; = i - i ;
TIil]
:= Tlir+11
+ (Tti1+rl
e :- ABS(y - T[1]])
. h;
IF e <= ePs THEN
BEGT!T
r r= r-1;
y := h .T[1];
EXIT;
END;
jj
:= jj + ji;
END;
Uirrr,<l*tl-rr,
4.4
Zakladamy, 2e w bloku gl6wnym programu znajduj4 sig definicje:
CONST max = ...;
TYPE wektor : ARRAY [1.. max] OF real;
Ttirl)/(q_1.0);
r := 0;
y : = h . T [ l ] i
orazjest zdefiniowana funkcja FUN, ktora oblicza wartoj6 funkcii oodcalkowej w danym punkcie .r
END;
END;
FUN (.r: real): real;
FUNCTION
Tre(6 podprogramu:
C*iczenia
l. Wykaza6. ie wzor 14.26)okrc(laj4cy I, , jesr zloioDym wzorem parabol dla podzialu
przedaalucalkowaniana 2,czg6q.
2. W ostarnim punkcic opisalilmy krorko netodg ekstrapolacji Richardsona. Niech ,,r. ,l:
lh1 < ht) oznacz krok calkowania. z jakim zostaly obliczone wanoici r , rr.
a) Wykilzai. ie
PROCEDURE
(a, b, eps : real; vAR r : integer;
ROI.IBERG
vAR y : real i
VAR T:uektor),
{ a,b - konce przedziaLu calkosania;
eps - zadana dokladnosc,ponocniczego
jest
vektora
T,
to
DaksyBalna
:.:_:1Tl?:
ttczDa vlerszy tablicy
4.1,ktore
zostana vyznaczone;
po
sykenaniu obliczen v r zapauietana jest. liczLa
iaXtyczni.e
ryznaczonych vierszy
z tyt,
ze )ezet!
zadana doklldnosc
nre zastala oslagnieta , to r =0;
y - ostatnie obliczone T(k,b);
po sykonaniu
obliczen
zapanrecany
T^:^pgi::li:ry.uektor,
eiersz.tablicy
Jest. ostatnr.obli:zony
4.1 (patrz rys.4.4),
z dokladnoscia do stalei Dultiplikatwnej
i
l
a
1
;
FIrN - ponocnicz fun]Ccja zdefiniowana-v
bioku zevnetrznyr
1
vAR i, j, il,ii:
integeri
x,h,hL,s,q,e: reaL;
BEGIN
T [ 1 ] : = o . s . ( F U N ( a )+ r u N ( b ) ) i
h := b - a;
hl := h;
F O R i : = 2 T O r D O
BEGIN
y := T[1];
s := 0.0;
x := a + 0.5 . hlt
F o R j ; - l T o j j D o
BEGIN
s := s + FUN(X);
x := x + hl;
176
4. CalkowanienumerYczne
h\
Jr=J:---(Jr
hi-hi
Odpowiedzi.2b. r, = 0,69,14,14;
sr:0,691254; s, = 6.693214.,u1.
4.3.
( . r - . r 0 ) . . (. . y- r r
4.3. Kwadratury Gaussa
177
2) Kwadratura (4.32), o wspdlczltnnikach A2 okreilonych wzorem (4.33),
jest rzgdu 2 (1{ + l) wtedy i tylko wtedy, gclv xp sq pierwiastkanti wielotnianu
Pry* r (x) : ciqgu (4.34\.
DOWoD. ) Rozparary wiclomidn tv(,r) = o.i.,(r)
@ N r r ( x=) ( r - r " ) . . . ( , -t , r " ) . M a m y
c.'^-'- ')(.^-1 ,'). t.F-J
I(w) = I r\)w(x')&>
o,
s(n=
stopnia 2 0V+ l), gdzic
r .ttwl:,|=0
Istniejqarem wielomiany
(4.12)nieJesrdokladnr.
*opnia : (rv + ll. Otut ,Ory"t kwadrarura
a to slainie nale2alo
udowodnrc.
2) Zal6imy, ic kwadratura(4.12),(4.33)iest rz9d! 2(,ry+ l). Niech ttl(r) bfdzie
dowolnymwielomianem
stopnianiiszegonii (i{ + l). Wielomiann (r) = ttl(r)@\. r(r) jcst
(,1.12)jest
wiclomianem
stopniamniejszego
niz 2(rV+ l). Dla wielomianu
R(r) kwadratura
dokladna z aloienia. Mamy ?rtem
l,/(r)or*i(.rld.r : t
/p(r)
A, Rlx,l
Wgzb rr naleiy wobec tego tak wybrad, aby powyiszy warunek byl spclniony dla dowolnego
wielomianu ly(r) stopnia niiszcgonii (iV + I ). Przedstawmywiclomiano, . rlr) w postaci
d!,,(r)=doP0(r)+...rar*rP,.r(r).
(.r.16)
d"r,*0
iprzyjmijmy
(4 .l 4 )
(.rl7)
t Y ( r )= d o P o ( r +
) ... + arPv(r)
gdzic stopien P"(.r)jest rowny r. bqdziccirlgicm wielomian6w ortogonalnych
na przedziale (a; b) z wag4 p(.y). Mamy wiQc
: 0
(4.321
z ustalonymi wgdami i pokazali6my,2eje2eli wsp6lczynniki,4. s4 okrerilone
wzorem
to rz4d kwadratury (4.32) wynosi co naimniej (N + I ). W nrniejszympunkcie
przy ustalonej wadzc /r(.y) i liczbie,fVrozpalrzynly problcnr wyboru wQzl6w
i wsprilczynnikow tak, aby rz4d kwadratury byl jak najwy2szy. Takzl
kwadraturg nazywrmy kvulrdrtrq Gaarra. Pottiewa2manly I (/V + l) stalych
do wyznaczania. nalc2y przypuszczai, ic mozna jc tah dobrai. aby kwadl).
rotura byla dokladna dla wielomianow stopnir mniejszego nii 2(N{
Pokaicmy, 2c taku kwadratura istnicjc,jcst jcdna i jcj rz4d wynosi 2 (N + I ).
W purrkcic 4.2.1 udowodnili6nty. ie wspdrlczynnikika2dci kwadratury rzgdu
co najnrniej (1V I l) sq okreilorre wzoranri postaci (4.33).Tak wigc problcm
sprowudza siE do odpowiedtticgo wl.roru'vqzlirw 11 w krvudraturze (4.32).
Ourriwirny najpicrw pcwnc rvlasnoiciwiclomianow ortogonalnych. ktore
sq potrzchn€ przy wyznaczaniu kwadratur Caussa.Niech ci49 rvielomianow.
(P,, P,) : /p(r)P.(,t)P"(.r)dr
ZT.O2ONE GAUSSA
sA= t Akf?k)
')(.r- .\(, )...(r - .(\)
( P , f g ) - , 4 , ( . r ) ,P , ( . r )... . ,P ' ( r )
GAUSSA I KWADRATURY
W punkcie4.2.1rozpatrywali6mykwadraturypostaci
gdzie p (.r) jest wag4. r
unttl:[J'u)
KWADRATURY
4.3.1. Kwadratury Gaussa
(4.33)
I p(x)a{x)dx
-J:)
Udowodni6, ie: l) jeieli st + Jr, to rr nie naleiy do przedzialu domkniglego o koicach sr. s::
!) jeZelis' = 5,. to rt = sr = s..
tl
b) Niehrj,J2oaaczaj{puybliionewanoicicalki/-dr,otrzymanezapomoc4wzoru
1 r
parabol dla I = l/2, l/4. Obliczy6 rr. sr, a nastgpnies3.Czy s1lepiej przybliia dokladnQ warroic
calki?
b
A1:
-
Po podstawieniurozwinig6(4.36)i (4-37)do (a.15).olrzymamy
l w . o t - 1 )= a 6 l P n .P o )+ . . . + d r ( P ! , P v ) = 0
dla
i st4d otnymujemy d, = 0. i:0,
l. .... N. Na podstawie(4.16)mamy
(4.r8)
@'+ r(-r): a"*, P'*,(r)
Tw.
l.
jednokrotne,
Wielomiany
leiqce
ortogonalne
v przedziale
(4.341 majq tylko pierwiost ki r:ec: yrt is te
Udowodnili3my atem, ie wgzly rr s4 piewiastkami wielomianu Py.1(.r).
Pneprowadunie dowodu w druge strong pozoslawiamy Crylelnikowi.
(a; b).
DOWOD. Przypusimy. ie pieruiastki wielomianu &(,y) nie spelniaj4 powyiszych
warunk6w. Nish ir, ..., (. kd4 uccz- wistymi, r62nymi. o nieparzystejkrotnoici pierwiastkami
wielomianu Pr(.r) z puedzialu (a: b). Mamy n < k. Oznaczny ,/(r) = (r - {,)... (r - i-)
i pp3dstawmy ,/(r) w postaci kombinacji liniowej wielomian6w P0(r), ..., P-(,t)
Tw.
0 < | p(x\ R,(x)dx = t
,tqd'o!
(a; b), a wilc(t/. P^)> 0 Oznacza
lo. ic nrsze
Zdrugiejstrony,/(r)&(r) > 0 na pr7-cdziale
przypuszczenie
okaalo si€falszywe.
G aussa sq dodatnie.
i = 0, l, ..., :\
*yni*a,;r
A, R,lx,l : A, R,(x,)
*JpO"r"rynn*i ,{r s4 dodatnie.
Zatem w odr62nieniuod kwadratur Newtona-Cotesawsp6lczynniki
kwadraturGaussas4dodatniedla dowolnegoN i na podstawie
twierdzenia
i uwagiz p.4.1.2stwierdzamy,
ie metodakwadraturGaussajest
zbie2na
dla
ka2dejfunkcji ci4glejna (a; b).
KwadraturyGaussas4 dokladnedla wielomian6wslopnia2r'r'+ l.
Niech./e C' r*' ((a; D)) i niechZ:"* '(.r) bgdziewielomianem
interpolacyj-
Przejdziemyteraz do wyznaczeniakwadratur Gaussapodaj4c na wstgpie
kilka twierdzen.
Nie istnieje kvadrarura postaci (4.32\ r:€du tly:s:4o
A e w kn'adraturach
wielomiany stopnia 2/V
Mamy
a,lP,.P\\= o
Tw. 2. l)
2 ( , V+ l ) .
wsp6lczynniki
R , ( r ) = [ ( . r - , r " ) . . . ( , r- , v , - , ) ( . t - . t , - , ) . . . ( r - : , ) ] 1
lloczyn skalarny wielomianow ortogonalnych
,t
llszystkie
DOWOD. Rozpalmy
lY(x) = oo Po\x) + ... + a. P^(x)
ltv.Pi:
3.
ni:
ll
V.td!_
nrmcrlczn.
178
Calkowanie numeryczne
nymdlafunkcji/(.r)zwgzlami.x6,.r1,...,rp,iq,i1,...,ip,gdzte.rq,.r,,...
i i e l o m i a n uP a r l ( x ) ; i , * x 6 i , 1 1 1 , i 6 ( a ; b ) ,
. . . , r r S Qp i e r w i a s t k a m w
i, k. j = 0. l, ..., N. MamY wowczas
/(x)
- 2,ry*, (r) =
I
AN +t
(.r - .rq)...(.t - .r'X.r - -io)... (r - -i")/("*' )
- tr1*1(.r) :
/(x)
l
,*
.,
o;*r(.r)Jt('x+2)(O,
ie(a:
: 0, l, ..., nD,
(4.40)
b)
Bl4d kwadratury Gaussa wynost
(/.44\
2'd,,((d + t)!)1
-l<. < I
E(': (2/i
+3fttry;try/':{-r'({)'
gdzie .r1 s4 zerami wielomianu Pd+ r(r).
W przypadku dowolnego pzedzialu calkowania (a; b) powy2szewzory
stosuJemyw nastgpujqcysposob. W obliczanej calce dokonujemy liniowej
zamiany zmiennej calkowania
.
,-+
: b - o )
Jlodt=__;_/8(.r).L\
,
*
(4.41)
| prx1toit,1.r11t' r+:)(odr
b-a
-(u+b
\
*
t
i d o t a k p r z e k s z t a l c o n ec ja l k i s r o s u j c m y
(;
2
),
podane wy2ej wzory. Ostatecznieotrzymujemy
t
= stf\:h=
irr,r,,,
!"o,rl,^\
h
/ p 1 x y o i , , , ( x y , / . r ,( , e ( a ; 6 )
E(Jt:--Ll(rv*r'({r)
ztl
- l
gdzfeg(.r):,
Po zaslosowaniu uog6lnionego twierdzenia o wartoici Sredniejdla calek.
otrrymamy
.
t
u
\!t\ +;tt..
\at\
u + b
b - q
----.t.
)-
t:
s U ) : / L f ) + s ( Z ! v . , ):
E ( J) : I ( t
-
179
Wsp6lczynniki i bl4d kwadratury Gaussa-Legendre'a wyra2aj4 sr€ w nastgpuj4cy spos6b
(o
(4.39)
gdzie( e (a; b). Przechodzqcw (4.39) do granicy dla i,*.rr(i
otrzymamy
4.3. Kwadrctury Gaussa
(4.45)
(4.42)
a*b
b- u
,Y(, .rr - zera wielomianu P.u*'(-r). okre6lonego
+
2
2
wzorem (4.43), ,41 - wsp6lczynniki okre6lone wzorem (4.44).
Po dokonaniu zamiany zmiennej blqd kwadratury wyra2a sig wzorem
gd7rc lt:
Kwadratur Gaussawysokiegorzgdu, podobniejak kwadratur Newtona-Cotesa, u2).!vasi€ rzadko i powody tego s4 takie same (trudnoici w szacowaniu pochodnych wysokiego rzgdt oraz to, Ze pochodne te czgsto rosna
nieograniczenie; patrz p. 4.2. l). W praktyce najczgiciej stosuje sig kwadratury
zlo2one Grussa niskiego rzgdu na ka2dym podprzedziale. Dokladniej om6wimy je w p. 4.3.2.
Kwadratury Gaussa zale24 od wagi p (x). Wyprowadzimy obecnie wzory
(oddzielnie dla przedzialu skoliczonego i nieskoriczonego) z wagami, kt6re
maj4 du2e znaczenie zar6wno teoretyczne jak i praktyczne. Wzory na
wsp6lczynniki i blgdy podamy bez wyprowadzenia; wyprowadzenia te moina
znaleit np. w [al], [58].
Kwadratury dla przedzialu skoficzomgo. KwadraturQ najwy2szego rzgdu
z wag4 p(x) : I nazywamy kwadraturq Gaussa-Legendre'a.
I c i a g w i e l o m i a n 6 wo r t o l). Dla wagi p(:):
Niech (a; b) = (-l;
gonafnych lvorz4 wielotniany Legendre'a
P . @2=h . f i e - ' t '
(4.43)
',r: h+r;ff#rr':I'i)(o.
u<1<b
Kwadratur wysokiego rzgdu, o czym ju2 m6wiliSmy, uiywa sig rzadko.
W praktyce stosuje sig kwadratury zlo2one ze wzorami niskiego rzgdu na
ka2dym podpnedziale. Tablica 4l2podaje wgzly i wsp6lczynniki kwadrarur
Gaussa-Legendre'adla wartorici N : l, 2, 3,4 ((u: b): ( - l; | )).
WagQ p (.r) : I wybieramy wtedy, gdy funkcja podcalkowa jest tunkcj4
dostatecznie gladk4 na przedziale domknigtym (a; b). Om6wimy teraz
zastosowanie kwadratur Gaussa do obliczania calek na przedziale skon_
czonym, w przypadku gdy funkcja podcalkowa posiada osobliwolci. Osobliworicite mog4 polega6na tym,2e funkcja podcalkowajesi nieogranrczonana
przedziale (a: b), Saki na tym, 2e dopiero jej pochodne s4 nieograniczone.
Tak4 funkcjg podcalkow4 przedsrawiamy w posraci iloczynu p (-r)./(x), gdzie
p(.r) zawiera wszelkieosobliworicifunkcji podcalkowej,a/(x)jestjui funkcj4
dostateczniegladk4 na przedziale (a; b). Przyjpciefunkcji 2(_r) za funkcjg
4.3. Kwadrctury Gaussa
1g1
gdzie.rp sq zerami wielomianu Jrr,(x; c, p), a wsp6lczynniki ,{1 wyra2aj4 sig
wzorem (4.48).
Podane wzory zzle|4 od,dw6ch parametr6w a, p > _ l. Dla a = /l : 0
podane wy2ej wzory przechodz4 we wzory Gaussa-Legendre'a, przyjmujqc
za5 za c, p konkretne wartoici otzymamy wzory przybli2onego calkowania,
uwzglgdniaj4ce ewenrualne osobliwo6ci posraci (l -x)"(l
+.r), funkcji
podcalkowej w punktach -r = * l.
Rozpatrzymy jeszczeszczegolny przypadek. gdy c : A = - | 2. czyli gdy
I
p(-r): (l - rr)-r?. Kwadratury z tak4 waga nazywamy krvotlratwiurii
Gaussa-Czebyszewa.Ciqg wielomianow ortogonalnych tworz4 w tym przypa_
dku vielomiany Czebyszewa pientszego rotlzaju postaci
= + l/JJ
T0.577350
+0.906t80
T0.51E469
0
wagow4 umo2liwia usunigcie czEfui osobliwcj zarowno z sumy S(/), jak
i z blttlu n(/). Zakladamy,2c p(.t) jcst nierrjemn4,calkowaln4 funkcj4 na
przcdziale (a; b), wad4 takiego podcjiciajcst to,2e dla danej wagi2(.t)
nafe2y zbudowa6 u ielomiany ortogonalne i wyznaczyc ich pieruiastki. Dla
wiclu wag najczgScicjslosowanych w praktycc takie obliczenia zostaly ju2
wykonane. Nasze rozwa2ania ograniczymy tlo przypadku. gdy osobliwo6ci
funkcji podcalkowej wystQplu4 na kofcach przedzialu calkowania.
l). Rozpatrzymy najpierw kwadratury: uagrl
Nicch (a; b) - (-l;
Jacobitgo p(,t): (l - r)'(l + r)/, gdzic q, P> -1, zw^ie kwadraturami
Gaussa-Jacobiego.Wielomiananri ortogonalnymi z t4 wag4 sq vielomiunv
Jacohiego
14
r-lr'
-.r)""(l +.r)d'"]
-.r)'(l +r)-r;,ftI
@.47\
J ^ ( x : d .'f ) : * t t
2" nl
d-r'wyra2aj4
wzorami
sig
Wsp6lczynniki i bl4d kwadratury Gaussa-Jacobiego
(2N+a+fl+q r(N+d+4 rW+P+2) 2'-E
(N + d + P+ 2) f (N + d + P+ 2\' J N+r(.rt; a,f )' "Ir* z(.rr; a,f ) (N + 2)l
(4.48)
.
1""(,r) = cos (n arc cos .r)
a wsp6lczynniki i wgzly tych kwadratur wynosz4 odpowiednio
t :
,o
(2k+l)r
x* = cos jly
a l
n
FJl,
d l aI = : .
Wprowadaj4c
now4zmiennq
y:
J
(4.50)wyznacamyw?zlyi wsp6lczynniki.
Na podstawie
Mamy
l
3
tr=cos-t
f
,
J:=COS-,
f
/ (r -.r)'(r + x\rf(x)dx! s(, = L .tol$,)
'),-(r)=
/,,-rc-,y'r,
Zatem
zgodnie
ze wzorem
5
r
r
Ao= At= A:=j
(4.49)
\!/
gdzie - I ( { ( l, xt s4 zerami wielomianu "Iry*1(.r; a, fl), a f - oznacza
funkcjg gamma Eulera').
Kwadratura Gaussa-Jacobiego
, gdy <ai b> = ( - l; I ), ma wigc postad
t
-l + 2,r.otrzymujcmy
calkg
--;=:='aY
I
rVl--Y-
i
J.=cos-.
f (ff + d + 2)' f (N + P+ 4' f (N + a + P+ 2) (N + l)t z' N* n* P* t " r,nu,,,r,
(4.50)
Widzimy, 2e wszystkie wspolczynniki tej kwadratury s4 rowne.
W pzypadku dowolnego przedzialucalkorvania (c; b) przedzial ten za
pomoc4 liniowego przeksztalceniasprowadzamy do przedzialu ( _ l; |
).
t
Prztkladt. Obliczvc
crlkg./lll g
,^ zr penrocrts:rdrilur),(;nussa-Czcb\\/c\!l
EV)=
=
(4.46)
(4.49)
I i 9 r -. .=\ ,
',
\.rrt
I 5 - , a =liLf \( r * * ,61/ -)f\ : - . o .6r) ' ) -
-i vt-r,
(-\l
/
+{}+cos1)lr9.a!4?78
o,/l
\
a dokladna wanoii rej calki wynosi 3n. W (4.48)wyilepuje/,6,(0. a ponicwai/(.t) = |
+ r.
a wigc 6(, = 0. Pamittaj4c o bledach aokr4glei stwierdzamy. ic orrzymany wynik jcsr
dokladnietaki, jaki powinien byc.
Kwadratury
r>0.
ratur
Gaussa-Czebyszewa
s4 szczeg6lnym
przypadkiem
ft rtrdCzebyszewa (patrz 6wicz. 2), tzn. kwadratur
typu (4.32), w ktorych
142
numetyczne
4. Calkowanie
4.3. Kwadrctury Gaussa
J- e - ' ' f 6 ) d . r ! s ( / ) :
2
l
wielomianem dowolnego stopnia, a wiec calk! (4.33) okre!laj4ca wspolczynniki ,41 jcst zbic2na. Wsp6lczynniki 1r i blqd rozwa2ancj kwadratury
w kt6rym wQzly -yt sq zerami wielomianu Laguerre'a lr*r(-r), a wspolczynniki ,4p wyra2aj4 sig wzorem (4.52), nazywamy kwadraturq Gaussa-Laguerre a.
2) Na przedziale ( - 6; + co) rozpatrzymy wagg p (x) : e-", dla kt6rej
ci4g wielonian6w ortogonalnych tworz4 wielomisnl Hermile a
(-t)'e"
0
I
2
0.4t5't15
2.294280
6.t89945
0.71
1093
0.27851
6
0.0r0389
O;2
I
+ 1.224745
0
0.295409
l.18t636
0
0322s48
t.145761
4.536620
9.39507t
0.603r54
0.357419
0.038888
0.000539
0;3
lt2
+ r.650680
+0.524648
0.0E1
3| 3
0.804914
0.261560
t.4ll40l
3.596426
7.0E58t0
12.540801
o.521756
0.398667
0.075942
0.m36t2
0.000032
0:4
l;3
+2.020r83
+0.95E572
0
0.0r9953
0.391619
0.945309
Dokladna warrosd calki wynosi 8! = 40320.
Na podslawie wzoru (4.52) mamy
lte(0; +€)
(4.54)
pr.ybliion4 a dokladnq warto6cie calkijesr spow@owana
rym, zr
I;ji:1,"_:1li
1u-"".ripdzy
,/ lr) nteJst ograntczonana puedzialeelkowania (0: + z ).
ZauYaimy, it * powyiszym przyktadzie dla /V = - olrzymalibyjmy
wynjk dokladny, gdyz
-,,^, .
/.ilo)(,r) = 0.
przykladu
wynika,
2e om6wionych
kwadratur
dla
. .Z .romaLonego
nieskonczonych
przedzial6w
calkowania
raczej nie naieZy stosowac, jeSli
we wzorze na bl4d niejest ograniczona
p:"h99T
naprzediiatecalkowania.
W takich przypadkach zaleca sig wykonanie obliczeri
w nastgpuJqcy sposob:
wydzielasigprzedzialskoiczony
(d;b) rilki,
/ Lx,J f ( z N +\ 4z ') ( n ) ( 4 . 5 5 )
L- ,tnt '::_J{-I \+2=11/ )+! 2
gdzie x1 s4 zerami wielomianu Hemite'a I1,l*,(r),4€(-€;
przybli2onego calkowania
1
Poslugujac sie tablic4 4.3, otzymujemy
.
E(h=1008n' ,
.d,
j;;e-"
2 x * , ( r ' r 'l+) !
fi'n.Jn)H*r(ri'
0.88622'l
l e ' x t d x = 0 , 1 1 1 0 9 3 . ( 0 , 4 1 5 7 7 5 ) s + 0 , 2 7 8 5 1(82 , 2 9 4 2 8 0 ) . + 0 , 0 t 0 3 8 9 . ( 6 , 2 E 9 9 4 5 ) ' : 2 5 6 6 7
" zapewnia zbie2no6i calki (4.33)
Podobnie jak popzednio, waga p (x) = e
okreSlaj4cej wsp6lczynniki Ar. Mamy lerzz
A, ' :
IO?0710?
Wspolczynoiki -4r
-,x,
Prrytl.d 2. Obliczyd calk€
dr *osui4c kwadnrurg Gaussa-Lagucrre.adla iV = 2.
/e
t=0
H,(.r):
Wsp6leynniki .4.
0.853553
0.t4u47
0; I
I
0.585786
3.414214
l
4
(4.53)
A,1',lr)
Wgzly -rr
0
0
I
lr* r(.r),4e (0; o).
gdzic-ri s4 zeramiwielornianuLaguerre'a
Wz6r przybli2onego
calkowania
I
Wpzly xr
I
(4.s2)
K*adratury Caus-Hemile,a
k
2
l
wyra2aj4sigwobcclegowzoraml
0
(4.56)
Kwadratury Gaussa-Laguerrc'a
Waga p (.r) = e-' zapewnia zbie2noli ""tt<i /r, {-r) W (x) dx, gdy W (x) iest
I e-'f (x\dx! s(r:
.trIGo)
4t3
(4.51)
{ ( N+ l ) ! ) ,
.. ..| ((N I.l)t)'
/ ^ = i , - , ( t ^ ) L , - , ( x ^ j ' t ' t l ' _- - 1 2 1 !
tr , rt r' . r , ( r )
+2r.
f
t=0
w kt6rym wgzly -xasq zerami wielomianu lla*,(.r),
a wsp6lczynniki 11 sq
okre5lone wzorem (4.55), nazywamy kvadraturq Gorrro-H"r.it"
u.
W. tablicy 4/3 podano wgzly i wsp6lczynniki d*o"h
ostatnio rozpat_
rzonych kwadratur, gdy r'r': 1,2, 3, 4.
czony.
l) Bez zmniejszenia og6lnoSci rczwaiaa mo2emy zaloiyc, 2e tym
przedzialemjest (01 co). Rozpatzymy wagg pG): e-', dla kt6rej ci4giem
wielomianow ortogonalnych na pzedziale (0; co) sa wielomiany Laguerre'u
')
r,(x):(-r)^e'fi6'e
183
x
wsrystkie wsp6lczynniki ,,lp s4 r6wne. Gdy np. wartosci funkcji /(x) sa
uynikami pomiar6w i s4 one obarczone blgdami, kt6re sQduze w por6wnaniu
z blgdem metody, w6wczas moze byc wskazane zastosowanie kwadratury
Czebyszewa. Mo2na latwo wykazai (patrz iwicz. I ), 2e je2eli wsp6lczynniki
,,11s4 r6wne, to oczekiwany bl4d sumy S(, jest najmniejszy.
Kwadratury dla pzedzialu nieskoiczonego. Om6wimy teraz zastosowanie kwadratur Gaussa do obliczania calek na przedziale nieskoriczonym, przy
zaloZeniu zbie2noici tych calek. Rozpatrzymy pzypadki, gdy pnedzial
calkowania jest: l) jednostronnie nieskoriczony, 2) obustronnie nieskofi-
+cc). Wzor
]a:*rr**lkowania
4.3. Kwadraturv
184
4. Calkowanie numeryczne
mniejsza od
aby wartos6 bezwzglgdna calki w pozostalej czqsciprzedzialu byla
pewnej stalcj dodatnicj I'
- do obliczenia calki na przedziale (a; b) stosuje sig wzor przeznaczony
do obliczen na pnedzirlc skoticzonym
4.3,2.
s, t Atl,
',n: ,(+)""ir,$ftH1u1
"r'"*)(i,)
o tyilr simym rorklxdTic
iZakladamy. it blg<ty r:, s4 niczaleinynli zmicnn)mi losowynri
riwnomicrn:/m na przedzirlc{-o: u)
* a d4i4 do rozkhdu ilormrlnego
a) Pokuca, 2c rozklad) mitnnl'i loso*cj S. g(ly tr
Zwigkszaj4cliczbppodprzedzialowmozemy zatem dowolnie zmniejszyi bl4d.
Z
b) Uthwtxlrri6. ir t: .r\i4gr nlinimum przy warrrnku f
Dla,V : I l r =
4' = 'i >'l) lcTcli sszystkie
Dl
t
(n -
parzyste).na podstawic tablicy 4.2 otrzyntu.leml"
nastppuj4cywzor zlo2ony
najnniejszc prowatlri r|rr
wspirlczynniki ,.lr sq rriwnc (obronle ,t, w tcn sposoh i" ot f,st
sriltystycznie(lobrcgo zachowlnia sig blgd! sumy \)'
/ "
\-
(4.57)
ire(a: b)
. : r.' . 'A.' , .
Wskazowka.
Gaussa
wynosil
't, : 'l > 0' gdzic 'l jcst ustalon4 liczb4'
. V ( 0 .a ) . g d z t eo - =
zloione
Kwadratury
Niech przedzial calkowania (a; b) kdzie skoriczony. M6wiliimy ju2 w poprzednim punkcie, 2e kwadratur Gaussa wysokiego rzgdu u2ywa sig rzadko.
w praktyce za! stosuje sig kwadratury zlo2one ze wzorrmi niskiego rzgdu
w kaZdym podprzedziale.
Rozpatrzmy kwadratury Gaussa-Legendre'a. Podzielimy przedzial calkowania (u; D) na n rownych czgSci.Je2elido obliczenia calki zastosujemy
kwadraturg zlo2on4 ze wzorami rzgdu (2iV + 2) na ka2dym podprz€dziale, to
.: ((a; b))' b9dzie
na podstawie (4.46) blqd otrzymanego wyniku, gdy/e Cr\
C*icrenil
t" przyczymlt'l <r'
blQdem
l- Niah bcdadanewielkofui
/;(i= l. ..,') obarcTone
achowanlcslf bledusumywr/oncj
Rozpatrrymy
przy wrrunku f
185
Gaussa
r
mcbd9 mnoinik(iw L'Brangc'a' Lzn rrilininalizo$rc
7151959wa<1
,'4,-r)
I
\
|
u
"r(.'),t
/'
If\),tx:L
)-o
r-)hl
: f s l . ) . 1, A , - A l .
l
2. Napisadwarunki.jakic powinny spelniai wgzly r, dlu kwrdratury Czebl.'szc\vr
I p r . r ttfx t d xt S ( n = . {t / { r , ) .
. a=
r
\a|
l
J p(\)'ir
nie wyiszcgo niz (N+
aby byla ona dokladna dla wszystkich wielohian6w stopnia
wyznaczye rc wgzly, Prz)'jmuJQc:
=,1'
2;
a) przedzialcalkowania(- I ; I )' wa89P(r) = l. N
: c ". /V = l l'
b) pnedzial calkowania(- o; + !). wag9p (r)
t
s(,/):,/l f, lJ\o + hO - ti,h +2i)) + | kt+ /r(t + l/V5+ 2i))l
(4.58)
przy czym h :
l)
LF \{ r/ t\ :-
-.
nl
r\ 'hi ---,-,-r: l1
bl4d tego wzoru w)'nosl
r/ ' r ) {\ '\ .r}r .
2.10m1
i
e1u,hl
(4.59)
r' l:'
w s k a z 6 w k a. Skouystad z taktu' ie wz6r ma byd dokladny dla wielorninn6s
I
ndpisa'wzoryTloionc:
6wiczenia
tablicy4.2i w]'nik6wz popncdniego
3. Na podstawic
= | i 2 orlz wagiP(-r)= l'
dla N = 2. Czebyszew!.
Caussa-Legendre'a
-dh'v
a
wanoii calki / c " cosr r/r zupomoc4wzoruCaussa'Hermi(c
.1,Obliczy6
przybli2onq
blad tcgoprzybliienia
osTzcowat
(4.57)dla /V= 4, a nastQpnic
r' = 0:
2. a) Dla /V= | wQzlvr, : = + {. oru 'v = 2 wqzlvri ' = + 1
odpowiedzi.
v2
v'-l
= :'ug'tv t,, = 1 !J' t' = 6
- +
b) dla d : I wczly.r,.:
{' atu,v
\/2
6
4 . S ( / ) = 1 . 3 8 0 3 9l 0
n :( / ) l < 2 . 1 0
4.4.
UWAGI
KONCOWE
Podamy teraz pewne zaleceniaco do wyboru om6wionych w tym rozdziale
kwadratur, gdy przedzialcalkowania jest skoriczony' a funkcja podcalko!va
jest dana analitycznie i nie ma osobliwoSci.
Jak wiemy, blqd E(f) kwadratury mo2na przedstawicw postaci
E(t) -- c,.l''(a)
{4 . 6 0 1
gtlzie r jest rzgdem kwadratury, C' nie zaleLy od.f, i nale2y do przedzialu
calkorvania.