Całki potrójne - Katedra Matematyki, Politechnika Białostocka

Całki potrójne
Całki potrójne po prostopadłościanie.
Całki potrójne po obszarach normalnych.
Zamiana zmiennych w całkach potrójnych.
Zastosowania całek potrójnych.
Małgorzata Wyrwas
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
Całki potrójne – str. 1/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Podział prostopadłościanu
Rozważmy prostopadłościan P określony w przestrzeni układu
OXY Z nierównościami:
P : a¬x¬b∧c¬y ¬d∧p¬z ¬q
oraz funkcj˛e trzech zmiennych f (x, y, z) określona˛ i ograniczona˛
w tym prostopadłościanie.
Podziałem prostopadłościanu P nazywamy zbiór ∆n złożony z
prostopadłościanów P1 , P2 , . . . , Pn , które całkowicie wypełniaja˛
P oraz maja˛ parami rozłaczne
˛
wn˛etrza (tzn. (intPi ) ∩ (intPj ) = ∅,
dla i 6= j).
Całki potrójne – str. 2/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Oznaczenia w definicji całki po prostopadłościanie
∆x , ∆y , ∆z
k
k
k
- wymiary prostopadłościanu Pk , gdzie
1 ¬ k ¬ n;
d
k
=
q
(∆xk )2 + (∆yk )2 + (∆zk )2 - długość przekatnej
˛
prostopadłościanu Pk , gdzie 1 ¬ k ¬ n;
δ = max d - średnica podziału ∆ ;
A = {A (x , y , z ), A (x , y , z ), . . . , A (x , y , z )},
n
gdzie
1¬k¬n
k
n
∗ ∗ ∗
1 1 1 1
Ak (x∗k , yk∗ , zk∗ )
2
∗
2
∗
2
∗
2
n
∗
n
∗
n
∗
n
∈ Pk dla 1 ¬ k ¬ n, A - zbiór punktów
pośrednich podziału ∆n .
Całki potrójne – str. 3/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Suma całkowa funkcji po prostopadłościanie
Niech funkcja f b˛edzie ograniczona na prostopadłościanie P oraz
niech ∆n b˛edzie podziałem tego prostopadłościanu, a A zbiorem
punktów pośrednich.
Suma˛ całkowa˛ funkcji f odpowiadajac
˛ a˛ podziałowi ∆n
oraz punktom pośrednim A nazywamy liczb˛e
n
X
f (x∗k , yk∗ , zk∗ ) · (∆xk ) · (∆yk ) · (∆zk ) .
k=1
Całki potrójne – str. 4/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Całki potrójne po prostopadłościanie
Niech funkcja f b˛edzie ograniczona na prostopadłościanie P .
Całk˛e potrójna˛ funkcji f po prostopadłościanie P definiujemy
wzorem
y
P
def
f (x, y, z)dxdydz = lim
δn →0
n
X
f (x∗k , yk∗ , zk∗ ) · (∆xk ) · (∆yk ) · (∆zk ) ,
k=1
o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie
zależy od sposobu podziału ∆n prostopadłościanu P ani od
sposobu wyboru punktów pośrednich A.
Mówimy wtedy, że funkcja f jest
całkowalna na prostopadłościanie P .
Całki potrójne – str. 5/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Całka potrójna po prostopadłościanie
Całk˛e potrójna˛ z funkcji f po prostopadłościanie P oznaczamy też
symbolem:
y
f (x, y, z)dV .
P
Całki potrójne – str. 6/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Twierdzenie o całkowalności funkcji ciagłych:
˛
Funkcja ciagła
˛ na prostopadłościanie jest na nim całkowalna.
Twierdzenie o liniowości całki:
Niech funkcje f i g b˛eda˛ całkowalne na prostopadłościanie P oraz
niech α, β ∈ R. Wtedy
y
(αf (x, y, z) + βg(x, y, z)) dxdydz = α
P
y
f (x, y, z)dxdydz + β
P
y
g(x, y, z)dxdydz .
P
Całki potrójne – str. 7/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Twierdzenie o addytywności całki wzgl˛edem obszaru całkowania
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie P , to dla
dowolnego podziału tego prostopadłościanu na prostopadłościany
P1 i P2 o rozłacznych
˛
wn˛etrzach zachodzi równość
y
P
f (x, y, z)dxdydz =
y
f (x, y, z)dxdydz +
P1
y
f (x, y, z)dxdydz .
P2
Całki potrójne – str. 8/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Twierdzenia o zamianie całki potrójnej na całk˛e iterowana˛
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie
P = ha, bi × hc, di × hp, qi, to
y
ha,bi×hc,di×hp,qi
f (x, y, z)dxdydz =
Zb
a
 d q
 
Z Z

 f (x, y, z)dz  dy dx .


c
p
Całki potrójne – str. 9/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Powyższe twierdzenie b˛edzie prawdziwe także wtedy, gdy po prawej
stronie równości napiszemy dowolna˛ całk˛e iterowana˛ (jest sześć
rodzajów całek iterowanych). Całk˛e iterowana˛
Zb
a
 d q
 
Z Z

 f (x, y, z)dz  dy dx


c
p
możemy zapisywać umownie
Zb
a
dx
Zd
c
dy
Zq
f (x, y, z)dz.
p
Podobna˛ umow˛e możemy przyjać
˛ dla pozostałych całek iterowanych.
Całki potrójne – str. 10/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Przykład
Niech P = h−1, 1i × h0, 1i × h2, 4i.
Oblicz
y
(2x − y + 3z)dxdydz .
P
Całki potrójne – str. 11/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Całka potrójna po obszarach
Niech f b˛edzie funkcja˛ ograniczona˛ na obszarze ograniczonym
V ⊂ R3 oraz niech P b˛edzie dowolnym prostopadłościanem
zawierajacym
˛
obszar V . Ponadto niech f ∗ oznacza rozszerzenie
funkcji f na P określone wzorem:
∗
def
f (x, y, z) =

f (x, y, z),
0,
dla (x, y, z) ∈ V ,
dla (x, y, z) ∈ P \ V .
Całki potrójne – str. 12/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Całka potrójna po obszarach
Całk˛e potrójna˛ funkcji f po obszarze V definiujemy wzorem:
y
def
f (x, y, z)dxdydz =
V
y
f ∗ (x, y, z)dxdydz ,
P
o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje.
Mówimy wtedy, że funkcja f jest
całkowana w obszarze V .
Całka
t
f ∗ (x, y, z)dxdydz nie zależy od wyboru prostopadłościanu
P
P.
Całki potrójne – str. 13/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Obszary normalne wzgl. płaszczyzn układu współrz˛ednych
Obszar domkni˛ety V nazywamy
obszarem normalnym wzgl˛edem płaszczyzny XOY , jeżeli
można go zapisać w postaci:
1
V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Dxy ∧ g(x, y) ¬ z ¬ h(x, y)} ,
gdzie Dxy jest obszarem normalnym na płaszczyźnie XOY , a
funkcje g i h sa˛ ciagłe
˛ na Dxy , przy czym g(x, y) < h(x, y)
dla punktów (x, y) należacych
˛
do wn˛etrza obszaru Dxy a .
a
Dxy - rzut obszaru V na płaszczyzne˛ XOY .
Całki potrójne – str. 14/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Obszary normalne wzgl. płaszczyzn układu współrz˛ednych
Obszar domkni˛ety V nazywamy
obszarem normalnym wzgl˛edem płaszczyzny XOZ, jeżeli
można go zapisać w postaci:
2
V = {(x, y, z) : (x, z) ∈ Dxz ∧ p(x, z) ¬ y ¬ q(x, z)} ,
gdzie Dxz jest obszarem normalnym na płaszczyźnie XOZ, a
funkcje p i q sa˛ ciagłe
˛ na Dxz , przy czym p(x, z) < q(x, z) dla
punktów (x, z) należacych
˛
do wn˛etrza obszaru Dxz a .
a
Dxz - rzut obszaru V na płaszczyzne˛ XOZ .
Całki potrójne – str. 15/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Obszary normalne wzgl. płaszczyzn układu współrz˛ednych
Obszar domkni˛ety V nazywamy
obszarem normalnym wzgl˛edem płaszczyzny Y OZ, jeżeli
można go zapisać w postaci:
3
V = {(x, y, z) : (y, z) ∈ Dyz ∧ r(y, z) ¬ x ¬ s(y, z)} ,
gdzie Dyz jest obszarem normalnym na płaszczyźnie Y OZ, a
funkcje r i s sa˛ ciagłe
˛ na Dyz , przy czym r(y, z) < s(y, z) dla
punktów (y, z) należacych
˛
do wn˛etrza obszaru Dyz a .
a
Dyz - rzut obszaru V na płaszczyzne˛ Y OZ .
Całki potrójne – str. 16/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Całki iterowane po obszarach normalnych
Jeżeli funkcja f jest ciagła
˛ na obszarze domkni˛etym
V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Dxy ∧ g(x, y) ¬ z ¬ h(x, y)}
normalnym wzgl˛edem płaszczyzny XOY , gdzie funkcje g i h sa˛
ciagłe
˛ na Dxy , to
y
V
f (x, y, z)dxdydz =
x
Dxy



h(x,y)
Z
g(x,y)

f (x, y, z)dz 
 dxdy .
Całki potrójne – str. 17/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Całki iterowane po obszarach normalnych
Prawdziwe sa˛ analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych wzgl˛edem pozostałych
płaszczyzn układu. Jeżeli obszar V normalny wzgl˛edem płaszczyzny XOY można zapisać w postaci:
V :





a¬x¬b
.
g̃(x) ¬ y ¬ h̃(x)
g(x, y) ¬ z ¬ h(x, y),
to zachodzi równość
y
f (x, y, z)dxdydz =
V




h̃(x)
h(x,y)

Zb 
Z

Z

f (x, y, z)dz  dy dx




a
g̃(x)
g(x,y)
||
Zb
a
dx
h̃(x)
Z
g̃(x)
h(x,y)
dy
Z
f (x, y, z)dz.
g(x,y)
Całki potrójne – str. 18/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Przykład
Niech V b˛edzie obszarem ograniczonym powierzchniami
z = y 2 − x2 , z = 0, x = 0, y = 1 i y = x.
Oblicz
y
(x2 + y 2 )dxdydz .
V
Całki potrójne – str. 19/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Przykład
Niech V b˛edzie obszarem ograniczonym powierzchniami z = y,
z = 0 i y = 1 − x2 .
Oblicz
y
ydxdydz .
V
Całki potrójne – str. 20/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Obszar regularny w przestrzeni
Sum˛e skończonej liczby obszarów normalnych wzgl˛edem
płaszczyzn układu o parami rozłacznych
˛
wn˛etrzach nazywamy
obszarem regularnym w przestrzeni.
Całki potrójne – str. 21/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Całka po obszarze regularnym
Niech obszar regularny V = V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vn oraz
intVi ∩ intVj = ∅, dla i 6= j oraz niech funkcja f b˛edzie
całkowalna na V . Wtedy
y
f (x, y, z)dxdydz =
V
y
f (x, y, z)dxdydz
V1
+
y
f (x, y, z)dxdydz + . . . +
V2
y
f (x, y, z)dxdydz .
Vn
Całki po obszarach regularnych maja˛ te same własności co całki po
prostopadłościanach, tzn. liniowość, addytywność wzgl˛edem obszaru
całkowania.
Całki potrójne – str. 22/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Wartość średnia funkcji f na obszarze U
Wartościa˛ średnia˛ funkcji f na obszarze V nazywamy liczb˛e
1 y
fśr :=
f (x, y, z)dxdydz ,
|V | V
gdzie |V | oznacza obj˛etość obszaru V .
Twierdzenie: Jeżeli funkcja f jest ciagła
˛ na obszarze normalnym
V , to w tym obszarze istnieje punkt (x0 , y0 , z0 ), taki że
fśr = f (x0 , y0 , z0 ) .
Całki potrójne – str. 23/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Przykłady
Niech
V = {(x, y, z) : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6 x ∧ 0 6 z 6 x + y}.
Oblicz wartość średnia˛ funkcji
f (x, y, z) = x + y + z .
W punkcie (x, y, z) prostopadłościanu
V = {(x, y, z) : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6 2 ∧ 0 6 z 6 3}.
temperatura określona jest wzorem
T (x, y, z) = y sin πx + z .
Oblicz średnia˛ temperatur˛e w tym prostopadłościanie.
Całki potrójne – str. 24/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Współrz˛edne walcowe w całkach potrójnych
Położenie punktu A(x, y, z) w przestrzeni można opisać trójka˛ liczb
(ϕ, ̺, h), gdzie:
ϕ – oznacza miara kata˛ mi˛edzy rzutem promienia wodzacego
˛
punktu A na płaszczyzn˛e XOY , a dodatnia˛ cz˛eścia˛ osi OX,
0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π,
̺ – oznacza odległość rzutu punktu A na płaszczyzn˛e XOY od
poczatku
˛ układu współrz˛ednych, 0 ¬ ̺ < ∞,
h – oznacza odległość (dodatnia dla z > 0 i ujemna˛ dla z < 0)
punktu P od płaszczyzny XOY , −∞ < h < ∞.
Trójk˛e liczb (ϕ, ̺, h) nazywamy
współrz˛ednymi walcowymi punktu przestrzeni.
Całki potrójne – str. 25/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Zależność mi˛edzy współrz˛ednymi walcowymi i kartezjańskimi



x


= ̺ cos ϕ
W : y = ̺ sin ϕ


z = h
Przekształcenie W, które każdemu punktowi (ϕ, ̺, h)
przyporzadkowuje
˛
punkt (x, y, z) określony powyższymi
wzorami, nazywamy
przekształceniem walcowym.
Jakobian przekształcenia walcowego JW = ̺.
Całki potrójne – str. 26/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Twierdzenie - współrz˛edne walcowe w całce potrójnej
Niech
obszar Ω we współrz˛ednych walcowych b˛edzie obszarem
normalnym
funkcja f b˛edzie ciagła
˛ na obszarze V , który jest obrazem
obszaru Ω przy przekształceniu walcowym, tzn. V = W(Ω).
Wtedy
y
V
f (x, y, z)dxdydz =
y
f (̺ cos ϕ, ̺ sin ϕ, h) · ̺ dhd̺dϕ .
Ω
Całki potrójne – str. 27/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Przykład
Niech V b˛edzie obszarem ograniczonym paraboloida˛
z = 9 − x2 − y 2 i płaszczyzna˛ z = 0.
Oblicz
y
x2 dxdydz .
V
Całki potrójne – str. 28/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Przykład
q
Niech V b˛edzie obszarem ograniczonym stożkiem z = 2 x2 + y 2
i płaszczyzna˛ z = 8.
Oblicz
y
(x2 + y 2 )dxdydz .
V
Całki potrójne – str. 29/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Współrz˛edne sferyczne w całkach potrójnych
Położenie punktu A(x, y, z) w przestrzeni można opisać trójka˛ liczb
(ϕ, ψ, ̺), gdzie:
ϕ – oznacza miara kata˛ mi˛edzy rzutem promienia wodzacego
˛
punktu A na płaszczyzn˛e XOY , a dodatnia˛ cz˛eścia˛ osi OX,
0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π,
ψ – oznacza miara kata˛ mi˛edzy promieniem wodzacym
˛
punktu A,
płaszczyzna˛ XOY , − ¬ ψ ¬ ,
̺ – oznacza odległość punktu A od poczatku
˛ układu
π
2
π
2
współrz˛ednych, 0 ¬ ̺ < ∞.
Trójk˛e liczb (ϕ, ψ, ̺) nazywamy
współrz˛ednymi sferycznymi punktu przestrzeni.
Całki potrójne – str. 30/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Zależność mi˛edzy współrz˛ednymi sferycznymi i kartezjańskimi



x


= ̺ cos ϕ cos ψ
S : y = ̺ sin ϕ cos ψ


z = ̺ sin ψ
Przekształcenie S, które każdemu punktowi (ϕ, ψ, ̺)
przyporzadkowuje
˛
punkt (x, y, z) określony powyższymi
wzorami, nazywamy
przekształceniem sferycznym.
Jakobian przekształcenia sferycznego JW = ̺2 cos ψ.
Całki potrójne – str. 31/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Twierdzenie - współrz˛edne sferyczne w całce potrójnej
Niech
obszar Ω we współrz˛ednych biegunowych b˛edzie obszarem
normalnym
funkcja f b˛edzie ciagła
˛ na obszarze V , który jest obrazem
obszaru Ω przy przekształceniu sferycznym, tzn. V = S(Ω).
Wtedy
y
f (x, y, z)dxdydz =
V
y
f (̺ cos ϕ cos ψ, ̺ sin ϕ cos ψ, ̺ sin ψ) · ̺2 · cos ψ d̺dψdϕ .
Ω
Całki potrójne – str. 32/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Przykład
Niech
V
b˛
e
dzie
obszarem
ograniczonym
półsfera˛
q
z = 4 − x2 − y 2 i płaszczyzna˛ z = 0. Oblicz
y
V
q
z 2 x2 + y 2 + z 2 dxdydz .
Całki potrójne – str. 33/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Przykład
Niech V b˛edzie obszarem ograniczonym powierzchnia˛
q
1
2
2
z =
2 1 − x − y i płaszczyzna˛ z = .
2
y
dxdydz
Oblicz
.
2
2
2
x +y +z
V
Całki potrójne – str. 34/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Zastosowania całek potrójnych w geometrii
Obj˛etość obszaru
Obj˛etość obszaru V ⊂ R3 wyraża si˛e wzorem:
|V | =
y
dxdydz .
V
Całki potrójne – str. 35/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Zastosowania całek potrójnych w mechanice
Masa obszaru
Masa obszaru V ⊂ R3 o g˛estości obj˛etościowej masy ̺ wyraża si˛e
wzorem:
M=
y
̺(x, y, z)dxdydz .
V
Całki potrójne – str. 36/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Momenty statyczne
Momenty statyczne wzgl˛edem płaszczyzn układu współrz˛ednych
obszaru V ⊂ R3 o g˛estości obj˛etościowej masy ̺ wyrażaja˛ si˛e
wzorami:
M Sxy =
y
z̺(x, y, z)dxdydz ,
V
M Sxz =
y
y̺(x, y, z)dxdydz ,
V
M Syz =
y
x̺(x, y, z)dxdydz .
V
Całki potrójne – str. 37/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Współrz˛edne środka masy
Współrz˛edne środka masy obszaru V ⊂ R3 o g˛estości
obj˛etościowej masy ̺ wyrażaja˛ si˛e wzorami:
M Syz
xC =
,
M
M Sxz
yC =
,
M
M Sxy
zC =
.
M
Całki potrójne – str. 38/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Momenty bezwładności
Momenty bezwładności wzgl˛edem osi OX, OY , OZ obszaru
V ⊂ R3 o g˛estości obj˛etościowej masy ̺ wyrażaja˛ si˛e wzorami:
Ix =
y
(y 2 + z 2 )̺(x, y, z)dxdydz ,
V
Iy =
y
(x2 + z 2 )̺(x, y, z)dxdydz ,
V
Iz =
y
(x2 + y 2 )̺(x, y, z)dxdydz .
V
Całki potrójne – str. 39/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Moment bezwładności wzgl˛edem punktu O(0, 0, 0)
Moment bezwładności wzgl˛edem punktu O(0, 0, 0) obszaru
V ⊂ R3 o g˛estości obj˛etościowej masy ̺ wyraża si˛e wzorem:
IO =
y
(x2 + y 2 + z 2 )̺(x, y, z)dxdydz .
V
Całki potrójne – str. 40/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Podsumowanie
Całki potrójne po prostopadłościanie.
Całki potrójne po obszarach normalnych.
Wartość średnia funkcji f na obszarze.
Współrz˛edne walcowe w całkach potrójnych.
Współrz˛edne sferyczne w całkach podwójnych.
Zastosowania całek potrójnych.
Całki potrójne – str. 41/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010
Dzi˛ekuj˛e za uwag˛e ;)
Całki potrójne – str. 42/42
AUTOMATYKA I R OBOTYKA , SEM . II,
rok. akad. 2009/2010