Analityczne prawa śmiertelności.

6 marca 2015 - matematyka w ubezpieczeniach, notatki do wykładu.
Analityczne prawa śmiertelności.
W historii badań demograficznych i aktuarialnych podejmowano wielokrotnie próby analitycznego
opisania śmiertelności występującej w danej populacji.
• (1729) prawo de Moivre’a
założenia: X ∼ U [0, ω], ω =100 lat.
Wtedy:
s(x) = 1 − ωx ,
µx =
1
,
ω−x
0 ≤ x ≤ ω;
0 ≤ x ≤ ω;
T (x) ∼ U [0, ω − x]. (zadanie na ćwiczenia)
• (1824) prawo Gompertza
założenia: natężenie zgonów jest funkcją wykładniczą postaci:
µx = Bcx ,
gdzie x > 0, B, c - ustalone stałe takie, że B > 0, c > 1.
Wtedy:
s(x) = exp(−m(cx − 1)), gdzie m =
t px
B
ln c
;
= exp(−mcx (ct − 1)).
• (1860) prawo Makehama
założenia: natężenie zgonów jest funkcją wykładniczą, powiększoną o pewną stałą, która ma
interpretację wypadkowej intensywności zgonów (niezależnej od wieku), tj.
µx = A + Bcx ,
gdzie x > 0, B > 0, A ≥ −B, c > 1.
Wtedy:
s(x) = exp(−Ax − m(cx − 1)), gdzie m =
t px
B
ln c
;
= exp(−Ax − mcx (ct − 1)).
Uwaga: współczynników A, B, c należy szukać odpowiednio w przedziałach:
0, 001 < A < 0, 003
10−6 < B10−3
1, 07 < c < 1, 12.
1
• (1939) prawo Weibulla
założenia: natężenie zgonów jest postaci
µx = kxn ,
gdzie x > 0, k > 0, n > 0.
Wtedy:
s(x) = exp(−uxn+1 ), gdzie u =
t px
k
n+1
;
= exp(−u((x + t)n+1 − xn+1 )).
Uwagi:
- prawo Gompertza jest szczególnym przypadkiem prawa Makehama z A = 0;
- jeśli c=1, to prawo Gompetrza i Makehama mówią, że przyszły czas życia (x) ma rozkład wykładniczy.
Przytoczone prawa nie są dziś stosowane w praktyce aktuarialnej. Służą jedynie przykładom i
ilustracjom.
Przykład.
(26.10.1996) Wyznacz prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę 55-letnią co najmniej 10 lat, jeśli
analogiczne prawdopodobieństwo dla osoby 25-letniej wynosi 0,8 oraz natężenie zgonów opisuje funkcja
µx = kx
A) 0, 40 B) 0, 64 C) 0, 80
rozwiązanie:
z jednej strony 10 p25 = 0, 8
z drugiej natomiast
D) 0, 81
E) 0, 90
−
10 p25
=e
podobne obliczenia wykonamy dla
−
10 p55
=e
10
R
0
µ55+s ds
dla x > 0
10
R
0
µ25+s ds
−
=e
10
R
0
k(25+s)ds
= e−300k
10 p55
−
=e
10
R
0
k(55+s)ds
= e−600k = (e−300k )2 = (0, 8)2 = 0, 64
2