3 Tożsamości Warda dla QED

Tożsamości Warda dla QED
1. Notacja i terminologia
Funkcjonał działania dla QED wynosi:
(1)
S AA, y, yE = ‡ y H i ga Da - mL y ‚ x -
1
4
ab
‡ Fab F ‚ x
;
Da = ∂a + i e Aa
Cała fizyka "siedzi" w funkcjonale tworzącym dla f. Greena : Z. Mając "Z" możemy poprzez odpowiednie formuły
wyrazić dowolny element macierzy rozpraszania S.
(2)
ZA j m , x , xE =
‡ @‚ ADA‚ yE@‚ yD exp : i SAA, y, yE - i
l
2
a 2
a
‡ H∂a A L ‚ x + i ‡ I ja A + x y + y xM ‚ x>
gdzie człon z lambda to czynnik Lagrange'a ustalający cechowanie (— = 1). Pod całką funkcjonalną - w odróżnieniu od
(1) - zmienne y, y, x, x są Grassmanowskie. Funkcjonał Z zawiera również diagramy niespójne ( typu (g)(g) ),
dlatego wygodnie jest wprowadzić "W" w następujący sposób: Z= ‰i W .
Ale ciągle w funkcjonale tworzącym "W" zastają diagramy jednocząstkowo-redukowalne, aby się ich pozbyć dokonujemy transformacji Legendre'a w jej wersji funkcjonalnej:
(3)
W A j m , x , xE
gdzie
=
G AAa , y, yE + ‡ I ja Aa + x y + y xM ‚ x
Aa HxL =
dW
d ja HxL
yHxL =
dW
d x HxL
yHxL = -
Oczywiście zachodzą analogiczne formuły dla odwrotnej transformacji Legendre'a:
(4)
j a HxL = -
Dygresja
dG
d Aa HxL
x HxL = -
dG
d yHxL
x HxL =
dG
d yHxL
dW
d xHxL
Ward.nb
2
Dygresja
Gammę liczymy zwykle wykorzystując coś w rodzaju metody punktu siodłowego - w działaniu wstawiamy zmienne
AöA+ — B itd i całkujemy po fluktuacjach B...., dobierając odpowiednio człony z prądem:
(5)
exp :
i
—
:
G> = ‡ @‚ BDA‚ fE@‚ fD exp
i
—
Sn BA +
Sn = S -
gdzie
— B, y +
— f, y +
— fF +
i
—
l
2
a
‡ I ja B + x f + y fM ‚ x>
2
‡ H∂ AL ‚ x
Zmieniając zmienne łatwo się przekonać,że jest to zgodne z def gammy. Możemy rozłożyć gammę w szereg pętlowy według potęg —. Dostajemy : G = G0 + — G1 +—2 G2 +... oczywiście G0 = S ( przybliżenie drzewiaste).
Koniec dygresji
2. Tożsamości Warda
Funkcjonał działania S jest niezmienniczy ze względu na lokalną transformację cechowania, którą zapiszę w postaci
infinitezymalnej:
(6)
y = y ' H1 + i e jL
y = y ' H1 - i e jL
Am = Am ' - ∂m j
Zmieniając według tego zmienne w definicji Z, i zachowując tylko człony liniowe względem j dostaję:
(7)
ei W = ‡ @‚ A 'DA‚ y 'E@‚ y 'D exp :i SAA ', y ', y 'E + i ‡ -
l
2
H∂ A 'L2 + I j A ' + x y ' + y ' xM> *
* exp :‡ Ai lH∂ A 'L · j - i H j ∂ jL - e Ix y ' + y ' xM jE>
Rozwijając eksponentę, dostajemy:
Ward.nb
3
Rozwijając eksponentę, dostajemy:
(8)
ei W = ‡ @‚ A 'DA‚ y 'E@‚ y 'D exp :i SAA ', y ', y 'E + i ‡ -
l
2
H∂ A 'L2 + I j A ' + x y ' + y ' xM>
K1 + ‡ A i lH∂ A 'L ·j - i H j ∂ jL - e Ix y ' + y ' xM jEO
Po prawej stronie pierwsza całka z 1 daje exp(iW), po przeniesieniu na lewą stronę dostajemy ( opuszczam primy w
zmiennych całkowania):
(9)
‡ ‚ x jHxL ‡ @‚ ADA‚ yE@‚ yD exp :i SAA, y, yE + i ‡ Ai l· H∂ AL + i H∂ jL - eIx y - y xME = 0
l
2
H∂ AL2 + I j A + x y + y xM>
Ponieważ j jest dowolne,i dodatkowo korzystając ze znanego triku typu: Ÿ x ‰i S+ j x „ x =
d
Ÿ
dj
‰i S+ j x „ x dostajemy:
(10)
:i l · ∂a -i
d
d j HxL
a
+ i ∂a j a HxL - e x HxL -i
d
d x HxL
- e xHxL i
d
d xHxL
> ei W = 0
To są tożsamości Warda dla Z,przez proste zróżniczkowanie exp i podzieleniu stronami przez exp(iW) dostajemy
tożsamości Warda dla W.
(11)
i l · ∂a
dW
d j HxL
a
+ i ∂a j a HxL - e x HxL
dW
d x HxL
+ e xHxL
dW
d xHxL
= 0
Jeżeji skorzystamy ze wzorów (3) (4) to łatwo zapiszemy tożsamości Warda dla funkcjonału gamma
(12)
i l · ∂a Aa - i ∂a
dG
d Aa
+ e y
dG
dy
- y
dG
dy
=0
Człon z mnożnikiem Lagrange'a łatwo wyeliminować - nie jest nam do niczego potrzebny , przedefiniowywując
gammę - nie robimy w tym wypadku nic innego tylko usuwamy ten niefizyczny człon z przybliżenia drzewiastego
czyli z S.
Ward.nb
4
Człon z mnożnikiem Lagrange'a łatwo wyeliminować - nie jest nam do niczego potrzebny , przedefiniowywując
gammę - nie robimy w tym wypadku nic innego tylko usuwamy ten niefizyczny człon z przybliżenia drzewiastego
czyli z S.
(13)
G = -
l
2
é
2
‡ H∂ AL + G
è
Dla G dostajemy ostatecznie to co nas interesuje,czyli tożsamości Warda dla gammy.
(14)
-i ∂a
é
dG
d AaHxL
+ e yHxL
é
dG
d yHxL
- yHxL
é
dG
d yHxL
Przykład
Weźmy diagram z 2 liniami fotonowymi,który graficznie można przedstawić:
Zapisując to zwykłą notacją:
(15)
m
n
‡ A HxL P mn Hx - yL A HyL ‚ x ‚ y
Stosując (14) dostajemy to, że Pmn musi spełniać:
(16)
∂
∂ xm
P mn Hx - yL = 0
Marek Józefowski.
albo w reprezentacji pędów : k m P mn HkL = 0
= 0