Topologia

Topologia
Wykład 10
Zwartość
Definicja 1. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, gdy każdy ciąg (xn ) elementów X
ma podciąg zbieżny.
Przykłady
1. Każda przestrzeń skończona jest zwarta.
2. Odcinek [0, 1] jest zwarty (lemat Bolzano-Weierstrassa) i ogólniej każdy odcinek na
R jest zwarty.
3. R nie jest zwarta
4. N nie jest zwarta w naturalnej metryce
Definicja 2. Zbiór K ⊂ X jest zwarty, gdy (K, d) jest przestrzenią zwartą.
Równoważnie, K jest zwarty, gdy każdy ciąg (xn ) elementów K ma podciąg zbieżny do
elementu K.
Stwierdzenie 1. Zwarty podzbiór dowolnej przestrzeni metrycznej jest domknięty.
Dowód. Niech (xn ) będzie ciągiem elementów zwartego zbioru K zbieżnym do pewnego
x ∈ X. Ten ciąg ma podciąg zbieżny w K, ale z jedyności granicy musi on być zbieżny do
x, czyli x ∈ K.
Stwierdzenie 2. Domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Dowód. Jeśli (xn ) jest ciągiem w K, to ma podciąg zbieżny w X. Ale z domkniętości K
jego granica należy do K.
Stwierdzenie 3. Każdy zbiór zwarty jest ograniczony.
Dowód. Przypuśćmy, że A nie jest ograniczony. Skonstruujemy ciąg (xn ) elementów A,
który nie ma podciągu zbieżnego.
Wybierzmy dowolny x1 ∈ A. Kula K(x1 , 1) nie zawiera całego A, więc istnieje x2 ∈
A \ K(x1 , 1). Suma K(x1 , 1) ∪ K(x2 , 1) nie zawiera całego A, bo mielibyśmy diam(A) ¬
d(x1 , x2 ) + 2. Zatem znajdujemy x3 ∈ A \ (K(x1 , 1) ∪ K(x2 , 1)). Mamy d(xi , xj ) ­ 1
dla i, j = 1, 2, 3, i 6= j. Indukcyjnie mając x1 , x2 , ..., xn rozmieszczone w odległościach
S
przynajmniej 1, znajdujemy xn+1 ∈ A \ ni=1 K(xi , 1). W ten sposób znajdujemy ciąg taki,
że d(xi , xj ) ­ 1 dla i, j ∈ N, i 6= j. Ten ciąg nie ma podciągu zbieżnego, bo żaden podciąg
nie spełnia warunku Cauchy’ego.
Stwierdzenie 4. Produkt dwóch zbiorów/przestrzeni zwartych jest zwarty.
Dowód. Standardowe metryki dają równoważność: (xn , yn ) jest zbieżny do (x, y) wtedy i
tylko wtedy, gdy xn → x i yn → y. Zatem jeśli (xn ) ma podciąg zbieżny xnk i (ynk ) ma
podciąg zbieżny (ynkl ), to (xnkl ynkl ) jest podciągiem zbieżnym ciągu (xn , yn ).
Wniosek 1. Produkt skończenie wielu zbiorów/przestrzeni zwartych jest zwarty.
1
Wniosek 2. [a1 , b1 ] × ... × [an , bn ] jest zwarty w Rn .
Twierdzenie 1. Zbiór K ⊂ Rn jest zwarty w metryce euklidesowej wtedy i tylko wtedy,
gdy jest domknięty i ograniczony.
Dowód. Wiemy już, że zbiór zwarty jest zawsze domknięty o ograniczony.
Niech K ⊂ Rn będzie ograniczony. Wtedy K zawiera się w pewnej kuli K(0, r) ⊂
[−r, r]×...×[−r, r]. Ponieważ ten produkt jest zwarty, a domknięty podzbiór zbioru zwartego
jest zwarty, mamy tezę.
Uwaga. Domkniętość i ograniczoność nie gwarantuje zwartości w dowolnych przestrzeniach! Przykład: X = (0, 1) jest ograniczona i domknięta w sobie, ale nie jest zwarta, bo
1
n nie ma podciągu zbieznego.
2