Analiza Matematyczna

Analiza Matematyczna
Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Zadanie 1.
Oblicz pochodną funkcji:
(a) f (x) = xx
x
(b) f (x) = logsin4 x−cos4 x
q
sin(π + x)
(c) f (x) = sin sin x · logx2 (2x)
(d) f (x) = tg x +
(e) f (x) = x
π
2
cos(π−x)
ln x
x
(f) f (x) = tg(|x − x2 | cos(x2 ))
W punkcie (b) podaj też dziedzinę pochodnej.
Zadanie 2.
00
Rozwiąż nierówność: (xln x ) < 0.
Zadanie 3.
Dla jakich par parametrów (A, B) podana funkcja jest różniczkowalna w x0 ?



eAx + B dla x ­ 0
, x0 = 0
(a) f (x) =
Bx


dla x < 0,
x−1
x
xe
dla x > 1
Ax
(b) f (x) =
, x0 = 1
e


dla x ¬ 1,
B



Zadanie 4.
Korzystając z twierdzenia Darboux uzasadnij, że istnieje x0 ∈ 0, π2 taki, że styczna do wykresu
funkcji f (x) = arctg(x + cos x) wyznaczona w (x0 , f (x0 )) jest równoległa do prostej 3y = x.
Zadanie 5.
W jakich punktach przecinają oś 0y te styczne do wykresu funkcji y = ln(tg2 x), które są prostopadłe
do prostej 4y + x = 1?
1
Zadanie 6.
Wyznacz te styczne do wykresu funkcji y = 2x + 4−x , które są równoległe do podanej prostej:
(a) y + x ln 2 = 0;
(b) y + ln 2 = 0.
Zadanie 7.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu podanej funkcji we wskazanym punkcie
(a) f (x) = (cos(−3x))− cos(π−3x) ,
π
, f ( π9 )
9
(b) f (x) = xln x , (e, f (e))
(c) f (x) = xln x , (e3 , f (e3 ))
Zadanie 8.
2
W jakich punktach (styczności) należy wytyczyć styczne do wykresu funkcji f (x) = xln (2x) , aby nie
przechodziły one przez czwartą ćwiartkę układu współrzędnych?
Zadanie 9.
Wyznacz punkty przecięcia wykresów funkcji f (x) = log2 x oraz g(x) = logx 2. Wybierz dowolny z
nich i wykaż, że wyznaczone w nim styczne do wykresów tych funkcji odcinają wraz z osią 0y trójkąt
równoramienny.
Zadanie 10.
W jakim punkcie i pod jakim kątem krzywa y = 41−x przetnie styczną do wykresu f (x) = xlogx 2
wytyczoną w punkcie (666, f (666))?
Zadanie 11.
W punkcie (0, f (0)) wyznaczamy styczną do wykresu f (x). Jaki jest jej współczynnik kierunkowy,
d4 sin x
gdy f (x) = 4
?
dx
ex
Zadanie 12.
π
Gdzie i po co styczna do wykresu funkcji f (x) = (cos x)sin(x+ 2 ) wyznaczona w punkcie π3 , f π3
przetnie oś 0x?
Zadanie 13.
W którym z punktów przecięcia krzywych y = tg x i y = sin(2x) (−π < 6x < 3π) kąt pomiędzy nimi
jest ostrzejszy i ile wynosi?
Zadanie 14.
Prosta y = ax+b jest styczna do wykresu funkcji f (x) w punkcie (π, f (π)). Wyznacz jej współczynnik
d7 g(x)
kierunkowy, gdy f (x) =
dla g(x) = (x2 + x + 1) sin x.
dx7
Zadanie 15.
2
W jakim punkcie przetną się styczne do wykresu funkcji f (x) = xln x wytyczone w punktach (e, f (e))
i (e−1 , f (e−1 )).
2
Zadanie 16.
Wyznacz współrzędne punktów, w których wytyczono styczne do wykresu funkcji f (x) =
1
logx2 −x+1 e
,
gdy są one
(a) równoległe;
(b) prostopadłe
do prostej x + y = 2.
Zadanie 17.
Wyznacz współrzędne punktów, w których wytyczono styczne do wykresu funkcji
f (x) = arctg(1 − 2x), gdy są one
(a) równoległe;
(b) prostopadłe
do prostej y − 5x = 4.
Zadanie 18.
Dla jakich wartości B prosta y = 2x + B jest styczna do wykresu funkcji f (x) = ln x2 − 3x + 32 ?
Zadanie 19.
Oblicz przybliżoną wartość podanego wyrażenia
(a) (tg 440 )sin 88
0
0)
(b) (cos 620 )sin(−28
ln 1, 02
(c) √
1, 96
(d) (0, 51)0,49
Zadanie 20.
Oszacuj błąd przybliżenia:
π
(a) 3 sin x cos x cos(2x) ≈ 3x − 8x3 dla x ∈ − 16
,0
(b) cos x ≈ ex (1 − x) dla 0 < 3x < 1 oraz dla 0 < x < 1
Zadanie 21.
Przybliż podaną funkcję trójmianem kwadratowym i oszacuj błąd przybliżenia:
2
(a) f (x) = e−x dla − 12 < x < 0
(b) f (x) = ln sin 2x +
π
3
π
dla x ∈ 0, 12
3
Zadanie 22.
2
Wyznacz współczynnik przy x13 dla rozwinięcia funkcji f (x) = e−x według wzoru Maclaurina z
resztą Rn z n > 13.
Zadanie 23.
Wyznacz współczynnik przy x17 dla rozwinięcia funkcji f (x) = (x2 − x) cos(2x) według wzoru Maclaurina z resztą Rn z n > 17.
Zadanie 24.
Korzystając ze wzoru Maclaurina wyznacz równanie prostej przybliżającej łuk wykresu y =
na przedziale 0 < x < 0, 1.
ln(x + 1)
ex
Zadanie 25.
Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji f (x) = 2x − 1 + ln(x2 + 4x + 4)
oraz przedziały I o własności:
x1 , x2 ∈ I ⇐⇒ odcinek łączący punkty (x1 , f (x1 )) i (x2 , f (x2 )) leży poniżej łączącego je łuku wykresu funkcji f (x).
Zadanie 26.
Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f (x) =
ln(x3 − 3x)
.
3
Zadanie 27.
Przy pomocy metod rachunku różniczkowego oblicz odległość punktu (0, 1) od krzywej xy = x2 +x+1.
Zadanie 28.
x4 + A
3
w jej ekstremach wynosi A 2 . Wyznacz A liczbowo; znajdź punkty, w których
2
x
f (x) ma ekstrema, i określ rodzaj ekstremów.
Wartość f (x) =
Zadanie 29.
Określ przedziały monotoniczności oraz punkty przegięcia funkcji f (x) =
1
ecos x
dla |x| < π.
Zadanie 30.
a
Określ przedziały monotoniczności oraz granicę lim f (x) dla f (x) = axe x w zależności od paramex→0+
tru a.
Zadanie 31.
h
i
Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x) = xx na przedziale 13 , 3 .
Zadanie 32.
Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne i punkty przegięcia funkcji f (x) = ln(x3 ) − ln3 x.
Zadanie 33.
h
i
Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x) = 2arctgx + x na przedziale 0, π3 .
4
Zadanie 34.
W ostrosłup prawidłowy o podstawie kwadratu, polu powierzchni bocznej równym S i maksymalnej
objetości wpisano kulę. Oblicz jej objętość.
Zadanie 35.
Określ przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f (x) = x2 ln(−x).
Zadanie 36.
√
√
Określ przedziały monotoniczności oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = 3 3 x + 1 − x + 1.
Zadanie 37.
Określ wszystkie ekstrema lokalne funkcji f (x) = log2 x+logx 2. Podaj równanie wyznaczające punkty
przegięcia tej funkcji (bez rozwiazywania tego równania).
Zadanie 38.
√
Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x) = x x na przedziale [2−4 , 2−2 ].
5