ZAJĘCIA 07. Pojęcie zbioru. Podzbiory. Zawieranie się zbiorów

ZAJĘCIA 07.
Pojęcie zbioru. Podzbiory. Zawieranie się zbiorów. Równość zbiorów.
ZBIÓR
Zbiór jest pojęciem pierwotnym, a więc nie definiujemy go. Czasami zamiast mówić "zbiór"
będziemy uŜywać pojęcia "mnogość". Pojęciem pierwotnym jest takŜe element zbioru.
Zbiory oznaczamy duŜymi literami alfabetu, elementy zbioru - małymi literami.
UŜywamy teŜ następujących symboli:
∉- czytamy: naleŜy do;
∉- czytamy: nie naleŜy do;
Zapis: a ∈A czytamy: "element a naleŜy do zbioru A" lub "a jest elementem zbioru A".
Zapis: a ∉A czytamy: "element a nie naleŜy do zbioru A" lub "a nie jest elementem zbioru A".
Zbiór skończony jest to zbiór, który zawiera wszystkie elementy a1, a2, ..., an i oznaczamy ujmując
elementy zbioru skończonego w nawias klamrowy: Z={a1, a2, ..., an}
Zbiór pusty jest to taki zbiór, do którego nie naleŜy Ŝaden element. Zbiór pusty oznaczamy
symbolem Ø
Zbiór nieskończony jest to taki zbiór, który nie jest skończony ani pusty.
Zbiór liczb naturalnych jest przykładem zbioru nieskończonego.
Zbiór wszystkich ułamków zwykłych jest przykładem zbioru nieskończonego.
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} jest zbiorem skończonym, dziesięcioelementowym, jego elementami są
liczby naturalne mniejsze od 11.
Zbiór A moŜna teŜ przedstawić graficznie:
Zbiór moŜemy określić poprzez własność W(x). Zapisujemy go wówczas jako: {x
A:W(x)}. Dla
przykładu zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od 1 i mniejszych od 10 moŜemy
zapisać jako {x ∈ R: 1 < x < 10}.
JeŜeli zbiory A i B mają po tyle samo elementów, to mówimy, Ŝe są równoliczne. Łatwo sprawdzić
równoliczność zbiorów skończonych. Wystarczy policzyć ich elementy. Dla przykładu zbiór
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} jest równoliczny ze zbiorem B={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}, poniewaŜ oba zbiory
mają po 10 elementów. Ale jak sprawdzić równoliczność dwóch zbiorów nieskończonych A i B?
Postępujemy w takim przypadku w następujący sposób:
Tworzymy pary elementów tych zbiorów tak, aby:
•
pierwsze elementy par były elementami zbioru A, nie pomijamy przy tym Ŝadnego elementu
zbioru A (mówimy, Ŝe elementy wyczerpują ten zbiór)
•
drugie elementy par były elementami zbioru B, które wyczerpują ten zbiór
JeŜeli kaŜde dwie róŜne pary nie mają tego samego poprzednika ani tego samego następnika,
to mamy pewność, Ŝe zbiory A i B są równoliczne.
PRZYKŁAD
Sprawdźmy, czy zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych parzystych.
Zgodnie z powyŜszą zasadą bierzemy kaŜdy z elementów pierwszego zbioru oraz z drugiego
zbioru i tworzymy pary: (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10),... (kolejna liczba naturalna, kolejna
liczba parzysta) PoniewaŜ kaŜdy element tych zbiorów wykorzystujemy tylko raz tworząc pary,
udowodniliśmy,
Ŝe
zbiory
te
są
równoliczne.
JeŜeli dwa zbiory są równoliczne, to mówimy, Ŝe mają tę samą moc (liczbę kardynalną).
Moc zbioru A oznaczamy następująco:|A| lub
. Dla zbiorów skończonych moc zbioru to nic
innego jak liczba jego elementów.
Intuicja podpowiada nam, Ŝe liczb naturalnych jest dwa razy więcej niŜ liczb parzystych, ale
tak nie jest, co wyŜej udowodniliśmy. Liczb naturalnych jest dokładnie tyle samo co liczb
parzystych! Podobnie moŜna wykazać, Ŝe prosta ma tyle samo punktów co płaszczyzna!
MoŜna wykazać, Ŝe zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb
rzeczywistych. To wydaje się na pierwszy rzut oka zdroworozsądkowe, ale czy aby na pewno?
To przecieŜ oznacza, Ŝe liczb rzeczywistych jest więcej niŜ naturalnych. Ile ich jest?
Nieskończenie wiele. Ale przecieŜ liczb naturalnych równieŜ jest nieskończenie wiele!
"Nieskończenie wiele" i "nieskończenie wiele" to nie to samo? Badanie mocy zbiorów (liczb
kardynalnych) nieskończonych jest ciekawym doświadczeniem i wprawia w zdumienie.
Rzeczywiście okazuje się, Ŝe "nieskończoności" róŜnią się od siebie. Warto wiedzieć,
Ŝe najmniejszą liczbą kardynalną nieskończoną jest moc zbioru liczb naturalnych.
Podwaliny pod teorię mnogości stworzył niemiecki matematyk - Georg Cantor (1845-1918).
ZAWIERANIE SIĘ ZBIORÓW. PODZBIORY. RÓWNOŚĆ ZBIORÓW
JeŜeli kaŜdy element zbioru A naleŜy do zbioru B , to mówimy, Ŝe zbiór A zawiera się w zbiorze B
i oznaczamy: A ⊂ B
Zawieranie się zbioru A w zbiorze B moŜna zilustrować tak jak na poniŜszym rysunku.
PRZYKŁAD
•
A={1,2}, B={1,2,3}, A ⊂ B, poniewaŜ elementy "1" i "2" zbioru A są
elementami zbioru B. Zbiór B nie zawiera się w zbiorze A, bo
element "3" nie jest elementem zbioru A. Przykład ten został
przedstawiony na ilustracji.
•
Zbiór {a,g} zawiera się w zbiorze {a,h,g}
•
Zbiór kwadratów zawiera się w zbiorze prostokątów, a zbiór prostokątów zawiera się
w zbiorze czworokątów.
JeŜeli A ⊂ B, to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B, a zbiór B nazywamy nadzbiorem
zbioru A.
Z definicji zawierania się zbioru w zbiorze wynika, Ŝe:
•
Ø ⊂ A (zbiór pusty jest podzbiorem kaŜdego innego zbioru)
•
A ⊂ A (zbiór A jest podzbiorem samego siebie)
JeŜeli zbiór A nie jest podzbiorem zbioru B, to moŜemy uŜyć zapisu A ⊄ B
Znaleźć wszystkie podzbiory zbioru A={a,b,c}
Rozwiązanie: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A, Ø
Zbiory A i B są równe i zapisujemy A=B wtedy i tylko wtedy, gdy kaŜdy element zbioru A jest
elementem zbioru B i kaŜdy element zbioru B jest elementem zbioru A.
Dla przykładu zbiory {1,2} oraz {2,1} są równe, gdyŜ zawierają dokładnie takie same elementy
(kolejność wypisywania elementów zbioru nie ma znaczenia).