Zakres materiału na egzamin poprawkowy z matematyki 2011

Zakres materiału na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie II
Technikum Zespołu Szkół w Krzepicach 2011
Lp.
Dział
I.
Planimetria.
1.
Podstawowe pojęcia geometryczne.
2.
Współliniowość punktów. Nierówność trójkąta.
3.
Kąty i ich rodzaje.
4.
Wzajemne połoŜenie prostej i okręgu.
5.
Wzajemne połoŜenie dwóch okręgów.
6.
Kąty w okręgu. Kąty środkowe, wpisane i dopisane.
7.
Okrąg opisany na trójkącie.
8.
Okrąg wpisany w trójkąt.
9.
Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie Talesa.
10.
Trójkąty i ich punkty szczególne. Twierdzenie o dwusiecznej kąta.
11.
Trójkąty przystające.
12.
Trójkąty podobne.
II.
Wielomiany
1.
Dodawanie, odejmowanie i mnoŜenie wielomianów.
2.
Rozkładanie wielomianów na czynniki.
3.
Wielomiany jednej zmiennej.
4.
Dzielenie wielomianów przez dwumian x – a.
5.
Pierwiastki wielomianów jednej zmiennej.
6.
Rozwiązywanie równań wielomianowych. Pierwiastki całkowite wielomianu.
III.
WyraŜenia wymierne
1.
WyraŜenia wymierne.
2.
MnoŜenie i dzielenie wyraŜeń wymiernych.
3.
Dodawanie i odejmowanie wyraŜeń wymiernych.
4.
Rozwiązywanie równań wymiernych.
5.
Wielkości odwrotnie proporcjonalne.
6.
Wykres funkcji f ( x) = a , a ≠ 0, x ≠ 0 i jego przekształcanie.
x
7.
Zastosowanie wyraŜeń wymiernych w zadaniach praktycznych.
IV.
Ciągi
1.
Ciąg liczbowy.
2.
Ciąg arytmetyczny.
3.
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
4.
Ciąg geometryczny.
5.
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
6.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach tekstowych.
7.
Obliczenia procentowe a ciąg geometryczny.
Przykłady zadań
Planimetria
Zadanie 1. Dla jakiej wartości a punkt M 1 należy do symetralnej odcinka KL, jeżeli: |KM1|=3a–2,
|LM1|=2a+1
Zadanie 2. Dla jakiej wartości a kąty α i β, o podanych niżej miarach, są odpowiednio kątami
środkowym i wpisanym, opartymi na tym samym łuku: a) α = 3a – 350, β = 2a + 250?
Zadanie 3. Ile boków ma wielokąt, który ma 20 przekątnych?
Zadanie 4. Dane są okręgi: o(S, 3m – 1) i o(P, m + 3). Długość odcinka SP wynosi 6. Dla jakiej wartości
parametru m okręgi te są styczne wewnętrznie?
Zadanie 5. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC, ∠AOB=1620, a
promień OA okręgu tworzy z bokiem AC kąt miary 280. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.
Zadanie 6. Dwa boki czworokąta ABCD opisanego na okręgu mają długości |AB|=8cm, |BC|=7cm,
natomiast 3|CD|=2|AD|. Oblicz długości pozostałych boków i obwód czworokąta.
Zadanie 7. Ramiona trapezu mają długości 5cm i 7 cm, a jedna z podstaw jest trzy razy dłuższa od
drugiej. Obwód trapezu wynosi 24 cm.
a) Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion.
b) Czy na tym trapezie można opisać okrąg? Czy można w ten trapez wpisać okrąg?
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 8. Punkty A i B należą do okręgu o środku O. Z punktu P leżącego na zewnątrz okręgu
poprowadzono styczne do okręgu odpowiednio w punktach A i B. Wiedząc, że ∠OAB=400,
oblicz miary kątów czworokąta AOBP, oraz trójkąta OPA.
Zadanie 9. Dany jest okrąg o środku w punkcie A i promieniu 6 cm. Jaki warunek spełnia promień
okręgu o środku w punkcie B, gdzie AB = 8 cm , jeżeli dane okręgi:
a) są styczne wewnętrznie,
b) są rozłączne zewnętrznie?
Zadanie 10. Suma miar kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku jest równa 2340.
Zatem kąt środkowy ma miarę:
A. 1170 B. 1260
C. 780 D. 1560
Zadanie 11. W dowolnym trójkącie w stosunku 1:2 dzielą się:
A. wysokości
B. symetralne C. dwusieczne D. środkowe
Zadanie 12. Jeżeli długości boków trójkąta są równe odpowiednio: 5; 12; 13, to w tym trójkącie
A. wszystkie kąty są ostreB. jeden z kątów ma miarę 900
C. jeden z kątów jest rozwarty D. najmniejszy kąt ma miarę większą niż 450
Zadanie 13. Dane są okręgi o(O; 8) oraz o(S; 2,5) takie, że |OS|=5. Okręgi te
A. są styczne zewnętrznieB. są rozłączne wewnętrznie
C. są styczne wewnętrznie
D. przecinają się w dwóch punktach
Zadanie 14. Oblicz miary kąta wpisanego i kąta środkowego opartych na tym samym łuku, równym 1/10
długości okręgu.
Zadanie 15. Dla jakich wartości x punkty A, B, C są wierzchołkami trójkąta, jeśli: |AB|=2x; |AC|=x+3;
|BC|=x-1
Wielomiany
Zadanie 16. Od wielomianu W(x)=2x4-x3+5x-1 odjęto pewien wielomian G(x) i otrzymano wielomian
H(x)=-3x4-x3-2x2+4x-1. Podaj wielomian G(x) .
Zadanie 17. Masz dane wielomiany w(x), g(x), h(x): w(x)=x+2; g(x)=-x2+ax+b; h(x)=-x3+2x2+14x+12.
Wyznacz a, b tak aby wielomian w(x) · g(x) − h(x) był wielomianem zerowym.
Zadanie 18. Masz wielomiany w(x) = 6x5 − 3x3 − x2 + 4x − 2 i g(x) = 2x2 − 4. Podziel w(x) przez g(x).
Zadanie 19. Jednym z pierwiastków wielomianu w(x)=2x3-14x+12 jest liczba 2. Oblicz pozostałe
pierwiastki tego wielomianu.
Zadanie 20. Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x)=x3-3x2-x+3.
Zadanie 21. Zapisz wielomian w postaci iloczynowej: W(x)=x3-4x2-2x+8.
Zadanie 22. Sprawdź, czy liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), jeżeli:
a) W(x) = x3 – 5x2 + 7x – 3, a = 1,
b) W(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2, a = −1,
c) W(x) = x3 – 8x2 + 21x – 18, a = 2,
d) W(x) = x4 + 2x3 – 3x2 − 4x + 4, a = −2.
Zadanie 23. Wyznacz pierwiastki wielomianu:
a) W(x)=(x-2)(x+3)(x-4)
b) W(x)=(x+5)(2x-6)(x-7)
c) W(x)=(x-12)(x+23)(x-14)
WyraŜenia wymierne
Zadanie 24. Dana jest funkcja F ( x) =
funkcji f ( x) =
1
− 3 . Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Przesuwając wykres
x−2
1
wzdłuż osi X i osi Y, sporządź wykres funkcji F.
x
Zadanie 25. Uprość wyrażenie
i wyznacz jego dziedzinę.
Zadanie 26. Piechur przebył trasę długości 12 km. Gdyby szedł ze średnią prędkością mniejszą o 2 km/h,
to pokonałby tę trasę w czasie dłuższym o pół godziny. Oblicz średnią prędkość piechura.
Zadanie 27. Uprość wyrażenie
i wyznacz jego dziedzinę.
Zadanie 28. Turysta pokonał trasę długości 18 km. Gdyby szedł ze średnią prędkością większą o 2 km/h,
to pokonałby tę trasę w czasie dłuższym o półtorej godziny. Oblicz średnią prędkość turysty.
Zadanie 29. Rozwiąż równania:
x−3
x2 − 4
= 0,
=0
x+2
x+2
Ciągi liczbowe
Zadanie 30. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym: a n = 3n − 1 Oblicz a3; a7; a10.
2n + 1
Zadanie 31. „Odgadnij” wzór na wyraz ogólny (an) ciągu: 3; 6; 9; 12; ...
Zadanie 32. Jaką liczbę należy wstawić w miejsce x, aby uzyskać ciąg arytmetyczny: 3; x; 11; 15.
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 33. Pomiędzy podane dwie liczby 2 i 14 wstaw trzy inne tak, aby powstał ciąg arytmetyczny.
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 34. W ciągu arytmetycznym dane są a3=2 i a6=32. Oblicz sumę 12 początkowych wyrazów tego
ciągu.
Zadanie 35. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym: an = 5 − 2 n Oblicz cztery początkowe wyrazy tego ciągu.
1 1 1
2 3 4
Zadanie 36. „Odgadnij” wzór na wyraz ogólny (an) ciągu: 1; ; ; ;...
Zadanie 37. Jaką liczbę naleŜy wstawić w miejsce x, aby uzyskać ciąg arytmetyczny: -2; 2; x; 10. Odpowiedź
uzasadnij.
Zadanie 38. Pomiędzy podane dwie liczby 12 i 28 wstaw trzy inne tak, aby powstał ciąg arytmetyczny.
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 39. W ciągu arytmetycznym dane są a3 = 0 i a10 = -7. Oblicz sumę 12 początkowych wyrazów tego
ciągu.
Zadanie 40. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an = 3n − 1 . Oblicz a7 i a14.
2n + 1
Zadanie 41. W ciągu arytmetycznym r=3, a a3=6. Wyznacz a1 oraz a7.
Zadanie 42. Pomiędzy dwie liczby 7 i 56 wstaw dwie inne tak, aby powstał ciąg geometryczny.
Zadanie 43. Wyznacz ciąg geometryczny, w którym a3=2, a8=64.
Zadanie 44. Wpłacasz do banku 1000 zł przy oprocentowaniu 12% rocznie. Jaki będzie stan Twojego konta po
upływie sześciu miesięcy, jeŜeli odsetki są dopisywane co miesiąc i dalej procentują?
Zadanie 45. Moneta kupiona przez kolekcjonera za 165 zł co roku zyskiwała na wartości 8%. Jaka wartość
będzie miała ta moneta po 10 latach, jeśli utrzyma się tempo wzrostu wartości monety?
Zadanie 46. Oblicz kapitał końcowy po 4,5 roku od kwoty 4200 zł ulokowanej na lokacie w banku z roczną
stopą oprocentowania wynoszącą 4,5%. Przyjmując, Ŝe kapitalizacja odsetek nastąpiła na koniec
okresu oszczędzania.
Zadanie 47. Oblicz kapitał końcowy po 5 latach od kwoty 3500 zł ulokowanej na lokacie w banku z roczną
stopą oprocentowania wynoszącą 8%. Przyjmując, Ŝe kapitalizacja odsetek następuje co pół roku.
Zadanie 48. Oblicz kapitał końcowy po 4 latach od kwoty 4500 zł ulokowanej na lokacie w banku z roczną
stopą oprocentowania wynoszącą 10%. Przyjmując, Ŝe kapitalizacja odsetek następuje co kwartał.
Zadanie 49. Oblicz wartość odsetek uzyskanych od kwoty 2000 ulokowanej na 2 lata, jeŜeli bank
oferuje oprocentowanie 8% w skali roku, a kapitalizacja następuje co kwartał.
Egzamin będzie składał się z części pisemnej i ustnej.
W części pisemnej naleŜy spodziewać się ok. 5 (pięciu) zadań o skali trudności na ocenę
dopuszczającą jeŜeli egzamin ma być zdany na taka ocenę.
W części ustnej naleŜało będzie odpowiedzieć na 3 (trzy) pytania. Dotyczące definicji pojęć,
twierdzeń i własności oraz zastosowań praktycznych. Pytania moŜna sformułować z tematów z
zakresu materiału podanego na początku. Korzystaj z podręcznika, tam są zadania i pytania.
Opracował: M. Kmiecik