Wektory bez układu współrzędnych

Wektory bez ukªadu wspóªrz¦dnych
A. Mróz
1. Rozwa»my dwa wektory
a=
b= *
Wyznacz nast¦puj¡ce wektory:
(a)
(c)
(b)
a+b
a−b
b+a
2b − 3a
(d)
2. Sprawd¹ na przykªadzie, »e dodawanie wektorów jest ª¡czne.
ABCD. Wektor AB jest równy 3p, za± AD jest równy 4q. Wyznacz
M N w zale»no±ci od wektorów p i q, wiedz¡c, »e M i N s¡
±rodkami boków CD i BC .
3. Dany jest prostok¡t
wektory
AM , AN
odpowiednio
4. Wektory
AC = a
oraz
i
BD = b
s¡ przek¡tnymi równolegªoboku
równolegªoboku za pomoc¡ wektorów
5. Wektory
a, b i c
ABCD.
Wyra¹ boki tego
a, b.
s¡ bokami trójk¡ta. Wyra¹ ±rodkowe tego trójk¡ta za pomoc¡ wektorów
a, b i c.
6. Wyka», »e ze ±rodkowych trójk¡ta mo»na zbudowa¢ trójk¡t.
7. Wektory
wektory
AB = a i AF = b s¡ s¡siednimi bokami sze±ciok¡ta foremnego ABCDEF .
AC , AD, AE , BC oraz BD za pomoc¡ wektorów a i b.
8. W równolegªoboku
AD i AB
Wyznaczy¢ wektory
w zale»no±ci od wektorów
9. W trapezie
3|CD|.
ABCD punkty P i Q s¡ ±rodkami boków AB i AD.
CP = p i CQ = q.
Wyra¹
ABCD
dane s¡:
Przedstaw wektor
10. Na wektorach
a
AB = a, AD = b, AC = c,
b i c.
przy czym
AB||CD
i
|AB| =
za pomoc¡ wektorów
OA = a, OB = b
oraz
OC = c zbudowano równolegªo±cian. Punkt M
C i równolegªej do wektorów a i b. Wyra¹
a , b i c.
jest ±rodkiem ±ciany przechodz¡cej przez punkt
wektor
OM
przy pomocy wektorów
11. W prostopadªo±cianie z danego wierzchoªka
oraz przek¡tn¡ prostopadªo±cianu
AM .
A poprowadzono przek¡tne ±cian AK , AP i AL
Wyka», »e pomi¦dzy tymi przek¡tnymi zachodzi
nast¦puj¡cy zwi¡zek:
AK + AP + AL = 2AM .
12. W czworo±cianie
ABCD wyznacz wektor AK , gdzie K jest ±rodkiem ci¦»ko±ci ±ciany BCD,
AB = a, AC = b i AD = c.
w zale»no±ci od wektorów
13. Dana jest ¢wiartka okr¦gu
OAB
AB w stosunku 1 : 2.
a = OA, b = OB oraz c = OC .
o promieniu 1, gdzie
dzieli ªuk
O
jest ±rodkiem okr¦gu. Punkt
Oblicz iloczyny skalarne
oraz
a−
14. Oblicz dªugo±ci wektorów
a+b
15. Znajd¹ dªugo±¢ wektora
a = 6b − 8c
a−b
3 wiedz¡c, »e
wiedz¡c, »e
b
i
a ◦ b, b ◦ c
oraz
|a| = 1, |b| = 2
c
a ◦ c,
oraz
C
gdzie
(a, b) =
π
3.
s¡ wektorami jednostkowymi
wzajemnie prostopadªymi.
16. Oblicz dªugo±¢ przek¡tnych równolegªoboku zbudowanego na wektorach
b = p − 2q,
gdzie
piq
17. Wyznacz k¡t mi¦dzy wektorami
−4p + 5q
a = 2p + q
oraz
oraz
b=
π
s¡ wektorami jednostkowymi tworz¡cymi k¡t 3 .
p
i
q,
je»eli wiadomo, »e wektory
s¡ wzajemnie prostopadªe oraz
|p| = |q|.
a = 2p + q
18. Dany jest kwadrat
boków
BC
i
ABCD.
Oblicz k¡t mi¦dzy wektorami
CD.
19. Dla jakiej warto±ci parametru
prostopadªe, je»eli wiadomo, »e
20. Wyka», »e wektory
a wektor
λ wektory a = 3p + λq oraz b = −p + 2q
|p| = 5, |q| = 3 oraz (p, q) = 32 π .
p = a(b ◦ c) − b(a ◦ c)
21. Znajd¹ k¡t mi¦dzy wektorami
7a − 5b,
AK i AL, gdzie K i L s¡ ±rodkami2
a − 4b
aib
oraz
c
s¡ wzajemnie
s¡ wzajemnie prostopadªe.
wiedz¡c, »e wektor
jest prostopadªy do wektora
a + 3b jest
7a − 2b.
prostopadªy do wektora
22. W trójk¡cie prostok¡tnym równoramiennym poprowadzono ±rodkowe z wierzchoªków k¡tów
ostrych. Oblicz k¡t zawarty mi¦dzy nimi.
23. Znajd¹ rzut wektora
(a, b) =
24. Znajd¹ rzut wektora
i
q
na o± kierunku wektora
a = 5p − 2q
|a| = 5, |b| = 3
je»eli wiadomo, »e
na o± o kierunku wektora
|p| = 2, |q| = 1
oraz
b = −2p
je»eli wiadomo, »e
p
a = 2p − 5q na
(p, q) = π3 .
o± o kierunku wektora
q = 4.
b = −p + q,
je»eli wiadomo,
oraz
26. W danym punkcie przyªo»ono dwie siªy
i
b
s¡ wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadªymi.
25. Znajd¹ rzut wektora
»e
a
π
3.
piq
dziaªaj¡ce pod k¡tem
120◦ ,
przy czym
p=7
Znajd¹ wielko±¢ siªy wypadkowej.
27. W danym punkcie przyªo»ono dwie siªy
p i q wzajemnie prostopadªe wielko±ci 1 i 2.
jakie tworzy ona z siªami p i q.
wielko±¢ siªy wypadkowej oraz k¡ty,
Znajd¹
28. W danym punkcie przyªo»ono trzy siªy o tej samej wielko±ci tworz¡ce wzajemnie k¡ty równe
π
3 . Znajd¹ wielko±¢ siªy wypadkowej.
29. Czy w rozkªadzie wektora
mog¡ obydwa
c = αp + βq wedªug dwóch wektorów niekolinearnych p
wspóªczynniki rozkªadu α i β lub jeden z nich równa¢ si¦ zeru?
30. Rozwa»my trzy wektory
a , b i c,
przy czym
bic
s¡ kolinearne. Uzasadnij, »e
i
q
a, b i c
s¡
komplanarne.
31. Dane s¡ rozkªady wektorów
piq
wedªug trzech wektorów niekomplanarnych
p = α1 a + β1 b + γ1 c,
q = α2 a + β2 b + γ2 c.
Znajd¹ warunek konieczny i dostateczny na to, by
znaleziony warunek nie jest konieczny, gdy
a, b i c:
a, b i c
p = q.
Wska» przykªad na to, »e
s¡ komplanarne.
32. Co mo»na powiedzie¢ o wzajemnym poªo»eniu czterech wektorów w przestrzeni, je±li s¡
zwi¡zane zale»no±ci¡ liniow¡
αa + βb + γc + δd = 0,
przy czym:
(a) α = 0, β = 0, γ = 0, δ 6= 0;
(b) α = 0, β = 0, γ 6= 0, δ 6= 0;
(c) α = 0, β 6= 0, γ 6= 0, δ 6= 0;
(d) α 6= 0, β 6= 0, γ 6= 0, δ 6= 0?
33. Dany jest wektor
a = 2p + 4q,
prostopadªymi. Wyznacz wektor
pªaszczy¹nie wektorów
gdzie
b
p
i
q√
s¡ wektorami jednostkowymi
5 prostopadªy do wektora a
o dªugo±ci
wzajemnie
i le»¡cy w
p i q.
34. Dane s¡ trzy wektory niekomplanarne
a , b i c.
Sprawd¹, czy wektory
narne, gdy
(a) p = a + b + c, q = b + c, r = −a + c;
(b) p = a − b − c, q = c,
r = a − b + c.
p, q, i r
s¡ kompla-
35. Wyznacz iloczyny wektorowe
a × b, b × c, c × a, b × a, c × b, a × c
a, b i c3
wiedz¡c, »e
s¡ wersorami wzajemnie prostopadªymi tworz¡cymi ukªad prawoskr¦tny.
36. Upro±¢ wyra»enia:
(a)
(a − c) × (a + b − c),
(b)
a × (2b − c + a) + (2c + b) × (a − 2c),
gdzie
a, b i c
37. Oblicz
s¡ wersorami wzajemnie prostopadªymi tworz¡cymi ukªad prawoskr¦tny.
|a × b|,
38. Wyka», »e
gdzie
aib
s¡ wektorami takimi, »e
a × b = b × c = c × a,
39. Dla dowolnych wektorów
a, b
|a| = 2, |b| = 5
dla dowolnych wektorów
oblicz skalar
40. Uzasadnij, »e dla dowolnych wektorów
oraz
a ◦ b = 6.
a, b i c takich,
»e
a + b + c = 0.
(a × b)2 + (a ◦ b)2 .
a, p, q, r,
wektory
a × p, a × q
oraz
a×r
s¡ kom-
planarne.
41. Wektory
a, b, c maj¡ wspólny pocz¡tek, gdzie a i b s¡ bokami trójk¡ta, za± c jego ±rodkow¡.
a × b + b × c + c × a = 0.
Wyka», »e
42. Oblicz pole równolegªoboku zbudowanego na wektorach
aib
gdzie
s¡ dwoma wzajemnie prostopadªymi wersorami.
43. Oblicz pole równolegªoboku
oraz
p = 2a + 3b i q = a − 4b,
(a, b) =
ABCD, gdzie AB = a + 2b, AD = a − 3b, za± |a| = 5, |b| = 4
π
6.
44. Wiedz¡c, »e pole równolegªoboku zbudowanego na wektorach
równolegªoboku zbudowanego na wektorach
p i q jest równe 2 oblicz pole
a = 2p − q i b = 2p + 3q.
45. Oblicz pole równolegªoboku zbudowanego na wektorach p i q wiedz¡c, »e pole równolegªoboku
zbudowanego na wektorach
a = 2p + 4q i b = p − q
jest równe
12.
46. Oblicz obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach:
(a)
a = p − 3q + r, b = 2p + q − 3r, c = p + 2q + r,
gdzie
p, q i r s¡ wersorami wzajemnie
prostopadªymi;
(b)
a = 3p + 5q, b = p − 2q, c = 2p + 7q,
gdzie
|p| =
1
2,
|q| = 3 i (p, q) = 34 π .
47. Wykorzystuj¡c wªasno±ci iloczynu mieszanego, sprawd¹, czy wektory
narne, je»eli
p, q i r
a, b
i
c
s¡ kompla-
nie s¡ komplanarne:
(a)
a = −3p + 2q − 2r, b = p − 4q + r, c = 4p + 2q − 6r;
(b)
a = p + 2q − r, b = 2p + 2q + 2r, c = 3p + 8q − 7r.
48. Obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach p,
q i r jest równa 3.
Oblicz obj¦to±¢
czworo±cianu zbudowanego na wektorach
a = p + q − r,
b = 2p − q + r,
c = p + 2q − 3r.
49. Oblicz obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach
p, q
i
r,
obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach
a = p + q + r,
jest równa 48.
b = 2p − q − r,
c = p + q − 3r
je»eli wiadomo, »e