Kinematyka 1

Podstawy Fizyki I - wektory, trygonometria, kinematyka 1 (ruch prostoliniowy)
Zestaw Nr 1
1.
Dane są dwa wektory takie, że: a + b = 11ˆi − ˆj + 5kˆ oraz a − b = −5ˆi + 11ˆj + 9kˆ .
Znaleźć współrzędne obu wektorów – wektora a i b, ich długości (wartość) oraz wartość kąta
zawartego pomiędzy nimi.
2.
Różnica dwóch wektorów x oraz y wynosi r1 = i + 6 j + k a ich suma r2 = 2i + 5 j + 7 k .
Znaleźć każdy z tych wektorów.
3.
Położenie dwóch punktów opisane jest w pewnej chwili poprzez dwa wektory położenia:
r1 = 4ˆi + 3ˆj + 8kˆ
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r2 = 2ˆi + 10ˆj + 5kˆ
Znaleźć współrzędne wektora r położenia punktu pierwszego względem drugiego oraz rzut
wektora r na wektor r2 położenia drugiego punktu.
4.
r
r
r
r
r
r
r
r
Przyjmując, że: a = 5i + 6 j + k oraz b = 2i + 4 j + k znaleźć:
r
a. wektor równoległy do wektora a i dwa razy dłuższy od niego,
r r
r r
c. a − b ,
r r
d. a o b ,
r r
e. a × b ,
b. a + b ,
f. określ czy wektory te są liniowo niezależne,
r
g. napisz dowolny wektor prostopadły do a leżący w płaszczyźnie XY,
r
r
h. znajdź wszystkie wektory jednostkowe prostopadłe jednocześnie do wektorów a i b i znajdź
r
r
rzut wektora a na kierunek, który wskazuje wektor b .
5.
W oparciu o iloczyn skalarny wektorów wyprowadzić wzór na twierdzenie cosinusów:
a2 + b2 - 2⋅a⋅b⋅cos(a,b) = c2.
Wskazówka: przedstawić wektor c jako różnicę wektorów a i b.
6.
Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora: r = ˆi + 2ˆj + 3kˆ .
7.
Znaleźć pole powierzchni trójkąta, którego dwa boki są wektorami:
a = ˆi + 3ˆj + 0kˆ ,
8.
b
b = −2ˆi + ˆj + 0kˆ .
Obliczyć objętość równoległościanu, którego krawędziami są wektory:
a = ˆi + 2ˆj + 3kˆ ,
9.
c
a
b = 2ˆi − ˆj + kˆ ,
c = −3ˆi + 2ˆj − kˆ .
Wykazać słuszność tożsamości wektorowej: a × ( b × c ) = ( a ° c ) ⋅ b - ( a ° b ) ⋅ c .
10. Wykazać słuszność tożsamości wektorowej: ( a × b ) ° ( c × d ) = ( a ° c )⋅( b ° d ) - ( a ° d )⋅( b ° c ).
11. Udowodnić tożsamości trygonometryczne:
a. sin 2α =
b. tg
α=
4
2
,
tgα + ctgα
cos 2 2α − 4 cos 2 α + 3
,
cos 2 2α + 4 cos 2 α − 1
c.
1 − tgα 1 − 2 sin 2 α
=
,
1 + tgα 1 + sin 2α
d.
1 + tgα
π
= tg ( + x) .
1 − tgα
4
12. Punkt materialny porusza się po płaszczyźnie w ten sposób, że wektor jego położenia jest funkcją
zależną od czasu: r(t) = (at)⋅i + (bt-ct2)⋅j, gdzie a=0.5 m/s, b=2 m/s oraz c=0.25 m/s2. Znaleźć po
upływie t = 3 s prędkość i przyspieszenie punktu , kąt pomiędzy wektorami prędkości i przyspieszenia
oraz promień krzywizny toru ruchu w miejscu, w którym znalazł się punkt materialny.
1
Podstawy Fizyki I - wektory, trygonometria, kinematyka 1 (ruch prostoliniowy)
Zestaw Nr 1
13. Poziom wody w studni obniża się ze stałą prędkością. Do studni wrzucono kamień i po czasie t1
usłyszano plusk. Po czasie T od momentu puszczenia pierwszego kamienia opuszczono drugi kamień.
Odgłos plusku doszedł po czasie t2 od momentu jego puszczenia. Przyjmując, że prędkość dźwięku
w powietrzu wynosi c i jest większe od prędkości opuszczania się lustra wody znaleźć:
a). prędkość obniżania się lustra wody,
b). odległość lustra wody od powierzchni ziemi w momencie puszczenia drugiego kamienia.
14. Po peronie w kierunku stojącego pociągu biegnie pasażer z prędkością 8 m/s. Gdy znajdował się on
w odległości L od ostatniego wejścia do pociągu od jego strony, pociąg ruszył z przyspieszeniem a=1
m/s2. Sprawdzić, czy dla L=30 m pasażer utrzymując stałą prędkość jest w stanie dogonić pociąg. Ile
musi wynosić L maksimum, dla którego pasażer doścignie pociąg.
15. Ciężarówka poruszając się z prędkością v=120 km/h przemknęła obok patrolu drogowego. Po upływie
10 s patrol ruszył z przyspieszeniem a=1 m/s2 za ciężarówką. Znaleźć:
a) czas, po którym patrol doścignie ciężarówkę,
b) drogę, którą przebędzie ciężarówka zanim doścignie ją samochodu patrol,
c) maksymalną odległość podczas pościgu pomiędzy samochodem patrolu i ciężarówką.
16. Facet mieszka w wieżowcu. Pewnego dnia zaobserwował spadający wazon z balkonu na wyższym
piętrze. Mając pod ręką stoper zmierzył czas t=0.2 s przelotu wazonu wzdłuż okna balkonowego
o wysokości L=2.5 m. Przyjmując poziom kondygnacji bloku na 3 m obliczyć z jakiego piętra ponad
mieszkaniem faceta wypadł wazon.
17. Samochód poruszający się z prędkością v=100 km/h uderzył czołowo w pionową ścianę. Strefa zgniotu
samochodu wyniosła 0.5 m. Znaleźć opóźnienie z jakim porusza się samochód. (35g jest to
maksymalne, krótkotrwałe przyspieszenie jakie może przeżyć człowiek, g - przyspieszenie ziemskie 9.81 m/s2).
18. Z miast A i B odległych od siebie o d=200 km wyjeżdżają jednocześnie dwaj motocykliści jadąc aby się
spotkać. Prędkość motocyklisty A wynosi vA=80 km/h, zaś prędkość motocyklisty B wynosi vB=90
km/h. Jednocześnie z miasta A wyrusza w kierunku miasta B helikopter, który w momencie znalezienia
się nad motocyklistą z miasta B zawraca i porusza się w kierunku motocyklisty z miasta A. Gdy z kolei
znajdzie się nad motocyklista z miasta A ponownie zawraca i porusza się w kierunku motocyklisty B.
Manewry te wykonywane są tak długo, aż spotkają się motocykliści. Jakie drogi pokonają motocykliści
oraz helikopter poruszający się z prędkością 180 km/h podczas tych manewrów?.
19. Punkt startuje po linii prostej poruszając się w ten sposób, że w ciągu każdej następnej sekundy jego
odległość od miejsca startu ulega podwojeniu. W ciągu czasu 10 s ciało przebyło drogę 10 m. Jaką
drogę przebyło to ciało w ciągu 4-tej sekundy swojego ruchu?.
20. Dwa ciała jednocześnie rozpoczynają poruszać się wzdłuż tej samej linii prostej. Jedno wyrzucono do
góry z prędkością v0. A drugie puszczono swobodnie z wysokości H ponad pierwszym ciałem. Znaleźć
zależność od czasu wzajemnej odległości pomiędzy tymi ciałami do chwili ich zderzenia się. Gdzie ono
nastąpiło oraz kiedy?. Ruch odbywa się w jednorodnym polu grawitacyjnym – (ruch odbywa się ze
stałym przyspieszeniem (opóźnieniem) ziemskim – g [m/s2]).
2