Luźne notatki (wersja 12.01.2017)

Notatki do wykładu LiTM
Andrzej Sitarz
Uniwersytet Jagielloński
1. Rachunek zdań
1.1
Co jest zdaniem logicznym ?
Przykład 1.1 — Przykładowe zdania logiczne. Zdania którym można przypisać
prawda lub fałsz:
• Trójkat
˛ o równych katach
˛
jest równoboczny,
• 3 < 2,
• 9x2R x > 0.
Przykład 1.2 — Zdania, które nie sa˛ zdaniami logicznymi. :Zdania którym nie
można przypisać prawda lub fałsz:
• Woda jest ciepła,
• Istnieje życie poza Ziemia,˛
• x = 2.
1.2
Operacje na zdaniach logicznych.
Definicja 1.2.1 Negacja:
p 1
¬p 0
0
1
Definicja 1.2.2 Koniunkcja, alternatywa i implikacja:
p^q
q=1
q=0
p=1
1
0
p=0
0
0
p_q
q=1
q=0
Definicja 1.2.3 Równoważność:
p,q
q=1
q=0
p=1
1
0
p=0
0
1
p=1
1
1
p=0
1
0
p)q
q=1
q=0
p=1
1
0
p=0
1
1
Rozdział 1. Rachunek zdań
4
1.3
Tautologie
Prawa rachunku zdań - zdania, które dla każdych wartości zdań składowych zawsze maja˛
wartość logiczna˛ 1.
(¬q ) ¬p) ) (p ) q) ,
p q ¬q ¬p
1 1 0
0
1 0 1
0
0 1 0
1
0 0 1
1
Istotne prawa:
¬q ) ¬p
1
0
1
1
(1.3.1)
p)q
1
0
0
0
T
1
1
1
1
¬(¬p) , p,
¬(p ^ q) , (¬p) _ (¬q),
¬(p _ q) , (¬p) ^ (¬q),
p _ (q _ r) , (p _ q) _ r,
p ^ (q ^ r) , (p ^ q) ^ r,
p ^ (q _ r) , (p ^ q) _ (p ^ r),
p _ (q ^ r) , (p _ q) ^ (p _ r).
(1.3.2)
(1.3.3)
(1.3.4)
(1.3.5)
(1.3.6)
(1.3.7)
(1.3.8)
Zast˛epowanie spójników (uwaga na bład
˛ na wykładzie):
(p ) q) , ((¬p) _ q)
(1.3.9)
Zbiór spójników jest zupełny jeśli każda˛ 2-argumentowa˛ funkcj˛e można opisać przy użyciu
tych spójników.
Twierdzenie 1.1 — (bez dowodu). {^, _} nie jest zupełny, {0, )} jest zupełny,
{^, ¬} jest zupełny.
Ćwiczenie 1.1 — 1. Czy {), ¬} jest zupełny ?
1.4
⌅
Dowodzenie praw rachunku zdań
p
1
1
0
0
¬(p _ q) , (¬p ^ ¬q)
q
1
0
1
0
??
¬q
0
1
0
1
¬p
0
0
1
1
¬(p _ q)
0
0
0
1
(1.4.10)
¬p ^ ¬q
0
0
0
0
L,P
1
1
1
1
(¬p ) ¬q) ) ((¬p ) q) ) q) ,
(1.4.11)
1.5 Metoda uproszczona
5
Sprawdźmy:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
¬p ¬q
0
0
0
1
1
0
1
1
¬p ) ¬q
1
1
0
1
¬p ) q
1
1
1
0
(¬p ) q) ) q
1
0
1
1
L)P
1
0
1
1
Czyli nie jest to tautologia !
1.5
Metoda uproszczona
(p ) (q ) r)) ) ((p ) q) ) (p ) r)) ,
(1.5.12)
Szukamy możliwych przypoprzadkowań
˛
p, q, r dla których całe wyrażenie ma wartość 0:
1. p ) (q ) r) , 1
2. ((p ) q) ) (p ) r) , 0
3. z (2): (p ) q) , 1
4. z (2): (p ) r) , 0
5. z (4): p , 1
6. z (4): r , 0
7. z (3) i (5): q , 1
8. z (5–7): p ) (q ) r) , 0
9. sprzeczność z (1)
Ćwiczenie 1.2 — 2. Prosz˛e metoda˛ uproszczona˛ spróbować udowodnić tautologi˛e
podobna˛ do (1.4.11):
(¬p ) ¬q) ) ((¬p ) q) ) p) ,
(1.5.13)
⌅
Zasada wyłaczonego środka p _ ¬p , 1:
Przykład 1.3 — Zastosowanie tertium non datur. Pokazmy, że istnieja˛ liczby niep
wymierne
a, b, takie, że ab jest wymierne. Weźmy a =
p
b = 2.
Mamy:
p
p
2
2
jest wymierne
Ponieważ:
otrzymujemy:
✓
p
2
p
p ◆ 2
2
=
p
_
2
p
2 =2
2
p
2
p
2, b =
p
2, lub a =
jest niewymierne
jest wymierne
p
2
2
,
Rozdział 1. Rachunek zdań
6
p
1.6
p
2
2
jest wymierne
_
✓
p
2
p
p ◆ 2
2
jest wymierne.
Formy zdaniowe
Forma zdaniowa p(x) gdzie x jest zmienna˛ z pewnego zakresu X jest odwzorowaniem z X
w zdania logiczne. To znaczy dla konkretnego x0 z X, p(x0 ) jest już zdaniem logicznym.
Formy zdaniowe nie sa˛ zdaniami - ale zdaniami sa:
˛
8x p(x),
9x p(x).
Przykład 1.4 — formy zdaniowe i zdania:.
•
•
•
•
1.7
student X zda egzamin LiTM
student X zda egzamin z przedmiotu Y
istnieje student który zda egzamin z każdego przedmiotu
każdy student zda egzamin z LiTM
Prawa rachunku kwantyfikatorów
¬ (9x p(x)) , 8x (¬p(x)),
¬ (8x p(x)) , 9x (¬p(x)),
8x (p(x) ^ q(x)) , (8x p(x) ^ 8x q(x)) ,
9x (p(x) _ q(x)) , (9x p(x) _ 9x q(x)) ,
8x (p(x) _ q(x)) ( (8x p(x) _ 8x q(x)) ,
9x (p(x) ^ q(x)) ) (9x p(x) ^ 9x q(x)) ,
8x (p(x) ) q(x)) ) (8x p(x) ) 8x q(x)) ,
8x (p(x) ) q(x)) ) (9x p(x) ) 9x q(x)) ,
(1.7.14)
(1.7.15)
(1.7.16)
(1.7.17)
(1.7.18)
(1.7.19)
(1.7.20)
(1.7.21)
Dowód jednego z praw:
Dowód.
¬ (9x p(x)) , 8x (¬p(x))
Jeśli lewa strona jest fałszywa, to istnieje x0 z zakresu X dla którego mamy p(x0 ) jest 1.
Ale wtedy ¬p(x0 ) jest 0 i zatem prawa strona jest fałszywa. Na odwrót, jeśli prawa strona
jest prawdziwa, to dla dowolnego x0 zdanie p(x0 ) jest 0, a zatem prawa strona też jest
prawdziwa.
⌅
Inny dowód:
Dowód.
9x (p(x) _ q(x)) , (9x p(x) _ 9x q(x)) ,
1.8 Formy zdaniowe wielu zmiennych
7
Niech lewa strona b˛edzie fałszywa, wtedy dla dowolnego x0 z zakresu X mamy p(x0 )
oraz q(x0 ) sa˛ fałszywe. A zatem skoro dla dowolnego x0 to zachodzi, to zdania po prawej
stronie też sa˛ fałszywe, czyli prawa strona też jest fałszywa.
Z kolei, jeśli prawa strona jest prawdziwa, to któreś ze zdań jest prawdziwe. Ustalmy,
że
⌅
Przykład 1.5 — iż wynikania nie da sie˛ zastapi
˛ ć równoważnościa.
˛ Niech za-
kresem x b˛edzie zbiór liczb naturalnych, p(x) : x > 5, q(x) : x < 4. Wtedy jest to
kontrprzykład na (1.7.9) i (1.7.11), (1.7.12).
1.8
Formy zdaniowe wielu zmiennych
Niech p(x, y) b˛edzie forma˛ zdaniowa˛ zmiennych x, y:
8x 8y p(x, y) , 8y 8x p(x, y),
9x 9y p(x, y) , 9y 9x p(x, y),
8x 9y p(x, y) ( 9y 8x p(x, y),
(1.8.22)
(1.8.23)
(1.8.24)
Przykład 1.6 — iż wynikania nie da sie˛ zastapi
˛ ć równoważnościa.
˛ Niech x, y
b˛eda˛ liczbami naturalnymi, i p(x, y) : x < y.
2. Teoria Mnogości
2.1
Zbiory i operacje na zbiorach
2.2
Iloczyn kartezjański zbiorów
2.3
Zbiór potegowy
˛
2.4
Operacje na rodzinach zbiorów
3. Relacje
Definicja 3.0.1 Niech A, B b˛eda˛ zbiorami. Relacja˛ R nazywamy dowolny podzbiór
iloczynu kartezjańskiego R ✓ A ⇥ B.
Przykład 3.1 Relacja pusta R = 0.
/
3.1
Operacje na relacjach
Definicja 3.1.1 Relacja˛ odwrotna˛ R 1 nazywamy relacj˛e w B ⇥ A zdefiniowana˛ nast˛e-
pujaco:
˛
1
(b, a) 2 R
, (a, b) 2 R.
Definicja 3.1.2 Jesli mamy relacje R ✓ A ⇥ B i S ✓ B ⇥C, to złożeniem tych relacji
nazywamy relacj˛e RS ⇢ A ⇥C:
(a, c) 2 RS , 9b2B : (a, b) 2 R ^ (b, c) 2 S .
Twierdzenie 3.1 Składanie relacji jest łaczne,
˛
to znaczy:
(RS )T = R(S T ).
Dowód. Niech relacje b˛eda˛ odpowiednio:
R ✓ A ⇥ B,
S ✓ B ⇥C,
T ✓ C ⇥ D.
Mamy:
(a, d) 2 (RS )T , 9c2C : (a, c) 2 RS ^ (c, d) 2 T
, 9c2C : (9b2B : (a, b) 2 R ^ (b, c) 2 S ) ^ (c, d) 2 T
, 9c2C : 9b2B : (a, b) 2 R ^ (b, c) 2 S ^ (c, d) 2 T
, 9b2B : 9c2C : (a, b) 2 R ^ (b, c) 2 S ^ (c, d) 2 T
, 9b2B : (a, b) 2 R ^ (b, d) 2 S T
, (a, d) 2 R(S T )
⌅
Twierdzenie 3.2 Dla dowolnych relacji R ✓ A ⇥ B i S ✓ B ⇥C:
(RS )
1
=S
1
R
1
Przykład 3.2 Przykłady relacji i relacji odwrotnych:
.
Rozdział 3. Relacje
12
3.2
Typy relacji
Szczególnym typem relacji sa˛ relacje określone na zbiorze A ⇥ A.
Definicja 3.2.1 Relacj˛e R ✓ A ⇥ A nazywamy zwrotna,
˛ jeśli:
8a2A (a, a) 2 R.
Definicja 3.2.2 Relacj˛e R ✓ A ⇥ A nazywamy symetryczna,
˛ jeśli:
(a, b) 2 R ) (b, a) 2 R.
Definicja 3.2.3 Relacj˛e R ✓ A ⇥ A nazywamy antysymetryczna,
˛ jeśli:
(a, b) 2 R ^ (b, a) 2 R ) a = b.
Definicja 3.2.4 Relacj˛e R ✓ A ⇥ A nazywamy przechodnia,
˛ jeśli:
(a, b) 2 R ^ (b, c) 2 R ) (a, c) 2 R.
Definicja 3.2.5 Relacj˛e R ✓ A ⇥ A nazywamy spójna,
˛ jeśli:
(a, b) 2 R _ (b, a) 2 R.
3.3
Relacje równoważności
Definicja 3.3.1 Mówimy, iż R jest relacja˛ równoważności, jesli jest zwrotna, syme-
tryczna i przechodnia.
Definicja 3.3.2 Klasa˛ równoważności (klasa˛ abstrakcji) a 2 A wzgl˛edem relacji rów-
noważności R nazywamy podziór A, [a]:
[a] ⇢ A,
x 2 [a] , (a, x) 2 R.
Twierdzenie 3.3
a, b 2 A,
[a] \ [b] = 0/ , (a, b) 2 R.
Twierdzenie 3.4
a, b 2 A,
[a] \ [b] = 0/ _ [a] = [b] 2 R.
Twierdzenie 3.5
[
[a] = A.
a2A
Twierdzenie 3.6 Jeśli
A=
[
i
Ai ,
Ai \ A j = 0,
/ i 6= j,
3.4 Relacje porzadku
˛
13
to istnieje relacja równoważności taka, że każdy Ai jest klasa˛ równoważności.
Definicja 3.3.3 Jeśli A zbiór, R relacja równoważności, to zbiorem ilorazowym A/R
nazywamy zbiór klas abstrakcji:
x 2 A/R , x = [a], a 2 A.
3.4
Relacje porzadku
˛
Definicja 3.4.1 Relacje R nazywamy cz˛eściowego porzadku
˛
jeśli jest zwrotna, anty-
symetryczna i przechodnia.
Przykład 3.3 Zbiór P(A) jest cz˛eściowo uporzadkowany
˛
wzgl˛edem relacji ✓.
Przykład 3.4 Każda rodzina zbiorów jest cz˛eściowo uporzadkowana
˛
wzgl˛edem relacji
✓.
Definicja 3.4.2 Relacje R nazywamy liniowego porzadku
˛
jeśli jest zwrotna, antysy-
metryczna, spójna i przechodnia.
Przykład 3.5 Zbiór P(A) nie jest liniowo uporzadkowany
˛
wzgl˛edem relacji ✓.
Przykład 3.6 Rodzina zbiorów Ai i=1,2,... , taka że Ai ✓ Ai+1 jest liniowo uporzadko˛
wana wzgl˛edem relacji ✓.
3.5
Funkcje
Definicja 3.5.1 Relacj˛e f ⇢ A ⇥ B nazywamy funkcja,
˛ jeśli:
i)8a2A 9b2B : (a, b) 2 f ,
ii)(a, b) 2 f ^ (a, b0 ) 2 f ) b = b0 .
Piszemy b = f (a) jeśli (a, b) 2 f , oraz f : A ! B.
Definicja 3.5.2 Funkcja f : A ! B posiada funkcj˛e odwrotna˛ jeśli relacja f 1 jest
funkcja.˛
Twierdzenie 3.7 Złożenie funkcji, f : A ! B, g : B ! C, które oznaczamy:
g f : A ! C,
jest funkcja.˛
Definicja 3.5.3 Funkcja f : A ! B jest injekcja˛ jeśli:
f (a1 ) = f (a2 ) ) a1 = a2 .
Rozdział 3. Relacje
14
Definicja 3.5.4 Funkcja f : A ! B jest surjekcja˛ jeśli:
8b2B 9a2A b = f (a).
Definicja 3.5.5 Funkcja f : A ! B jest bijekcja˛ jeśli jest injekcja˛ i surjekcja.
˛
Ćwiczenie 3.1 Czy złożenie injekcji jest injekcja˛ ?
Czy złożenie suriekcji jest suriekcja˛ ?
Czy złożenie bijekcji jest bijekcja˛ ?
⌅
3.6
Obrazy i przeciwobrazy
Definicja 3.6.1 Funkcja f : X ! Y zbiory A ✓ X, B ✓ Y . Obrazem zbioru A przez
funkcj˛e f :
y 2 f (A) , 9x 2 A : y = f (x).
Definicja 3.6.2 Funkcja f : X ! Y zbiory A ✓ X, B ✓ Y . Przeciwobrazem zbioru B
przez funkcj˛e f :
x2 f
1
(B) , f (x) 2 B.
Twierdzenie 3.8
f (A [ B) = f (A) [ f (B),
f (A \ B) ✓ f (A) \ f (B),
f (A) \ f (B) ✓ f (A \ B).
Twierdzenie 3.9
f
1
f
1
f
1
(A [ B) = f
(A \ B) = f
(A \ B) = f
1
1
1
(A) [ f
(A) \ f
(A) \ f
1
(B),
1
(B),
1
(B).
4. Liczby naturalne
Definicja 4.0.1 Rodzin˛e zbiorów N nazywamy zbiorem induktywnym jeśli:
0/ 2 N ,
Element:
X 2 N ) X [ {X} 2 N .
X [ {X} = X 0 ,
okreslamy nast˛epnikiem elementu X.
Twierdzenie 4.1 Jeśli N , M sa˛ zbiorami induktywnymi to N \ M też jest zbiorem
induktywnym. Podobnie, Jeśli Ni jest rodzina zbiorów induktywnych to jej przeci˛ecie
też jest zbiorem induktywnym.
Twierdzenie 4.2 Istnieje najmniejszy zbiór induktywny.
Dowód. Weźmy dowolny zbiór induktywny N i rodzin˛e jego podzbiorów, które sa˛
induktywne. Oznaczmy przeci˛ecie tej rodziny jako N. Z twierdzenia powyżej jest to zbiór
induktywny. Z konstrukcji, nie istnieje żaden inny zbiór induktywny istotnie zawarty w N,
a N \ M 6= 0/ jest też zbiorem induktywnym zawartym w N. A zatem N jest najmniejszym
zbiorem induktywnym który nazywamy zbiorem liczb naturalnych.
⌅
Twierdzenie 4.3 — Zasada indukcji. Jeśli dla zbioru N ✓ N wiadomo iż 0/ 2 N
oraz X 2 N implikuje X 0 2 N to X = N.
Dowód. Z założenia N jest induktywny, a N jest najmniejszym zbiorem induktywnym,
wi˛ec N = N.
⌅
Definicja 4.0.2 Elementy N oznaczamy jako 0 (0),
/ 1 = 00 , 2 = 10 itd. Na N wprowa-
dzamy relacj˛e:
m  n () m ✓ n.
Twierdzenie 4.4 Dla dowolnych elementów m, n 2 N zachodzi:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
m 2 n ) m ✓ n,
m2
/ m,
(m ✓ n) ^ (m 6= n) ) m 2 n,
m = n albo m 2 n albo n 2 m,
m ✓ n ^ n ✓ m ) m = n,
relacja  jest relacja˛ porzadku
˛
liniowego.
Przykładowy dowód (ii). Oznaczmy przez M zbiór m 2 N takich, że (ii) zachodzi. Na
pewno 0 2 M (bo nic nie należy do zbioru pustego). Załóżmy, że m 2
/ m. Bierzemy
m0 = m [ {m}. Przeprowadźmy dowód nie wprost. Jeśli m0 2 m0 to albo m0 2 m albo
Rozdział 4. Liczby naturalne
16
m0 = m. W pierwszym przypadku, korzystamy z (i) i wtedy m0 = m [ {m} ✓ m. To
zachodzi jednak jedynie wtedy gdy m 2 m co daje sprzeczność z założeniem indukcyjnym.
Druga możliwość to m0 = m [ {m} = m co znów prowadzi do m 2 m i sprzeczności. Zatem
M jest induktywny a co za tym idzie M = N.
⌅
Twierdzenie 4.5 — Definicja funkcji za pomoca˛ indukcji. Niech X,Y b˛eda˛ dowol-
nymi zbiorami. F : X ! Y zadana˛ funkcja,˛ oraz G : N ⇥ X ⇥ Y ! Y zadana˛ funkcja.˛
Wtedy istnieje dokładnie jedna funkcja
f : X ⇥ N ! Y,
spełniajaca:
˛
f (x, 0) = F(x),
f (x, n0 ) = G(x, n, f (n, x)).
Definicja 4.0.3 Dla liczb naturalnych definiujemy działania:
• dodawanie: n + 0 = n oraz n + m0 = (n + m)0
• mnożenie: n · 0 = 0 oraz n · m0 = n · m + n
Ćwiczenie 4.1 Jako zbiory X,Y bierzemy X = Y = N. Prosz˛e sprawdzić, czy biorac
˛
F(n) = n oraz G(m, n, k) = k0 otrzymamy dodawanie, natomiast biorac
˛ F(n) = 0 oraz
G(m, n, k) = m + k otrzymamy mnożenie.
⌅
5. Algebry Boole’a
Definicja 5.0.1 (S, 1, 0, +, ⇥, ) nazwyamy algebra Boole’a, jeśli: 0 2 S i 1 2 S a +, ⇥
sa˛ łacznymi
˛
i przemiennymi działaniami spełniajacymi
˛
reguły rozdzielności:
a ⇥ (b + c) = (a ⇥ b) + (a ⇥ c),
a + (b ⇥ c) = (a + b) ⇥ (a + c),
dla dowolnych a, b, c 2 S.
Ponadto:
a ⇥ 1 = a,
a⇥a = 0
dla dowolnych a, b.
(a + b) = a ⇥ b,
a + 0 = a,
a + a = 1,
(a ⇥ b) = a + b,
Najmniejsza algebra Boole’a składa si˛e z S = {0, 1}.
Twierdzenie 5.1 Dla dowolnego a 2 S zachodzi:
a ⇥ a = a,
a + a = a.
Dowód.
a = a ⇥ 1 = a ⇥ (a + a) = (a ⇥ a) + (a ⇥ a) = a ⇥ a + 0 = a ⇥ a.
a = a + 0 = a + (a ⇥ a) = (a + a) ⇥ (a + a) = (a + a) ⇥ 1 = a + a.
⌅
Ćwiczenie 5.1 Prosze sprawdzić, czy dla dowolnego a:
a + 1 = 1,
a ⇥ 0 = 0.
⌅
Twierdzenie 5.2 Niech X bedzie zbiorem a S algebra˛ Boole’a. Wtedy zbiór funkcji
X ! S z naturalnie zdefiniowanymi operacjami jest też algebra˛ Boole’a.
6. Elementy teorii mocy
Niech A b˛edzie zbiorem a P(A) rodzina jego podzbiorów. Wprowadzamy nastepujac
˛ a˛
relacj˛e na P(A):
Definicja 6.0.1 Dwa zbiory X,Y sa˛ w relacji równoliczności wtedy i tylko wtedy gdy
istnieje bijekcja z X w Y .
Twierdzenie 6.1 Relacja równoliczności jest relacja˛ równoważności.
Definicja 6.0.2 Klas˛e abstrakcji zbioru X wzgledem tej relacji nazywamy moca˛ zbioru
i oznaczamy |X|.
Twierdzenie 6.2 Dla dowolnych liczb naturalnych m, n zachodzi:
• |m| = |n| , m = n
• |m| 6= |N|
Dowód. Na poprzednim wykładzie pokazalismy, że nie istnieje bijekcja z n do n0 oraz
jesli m 6= n to nie istnieje bijekcja z m w n. Podobnie pokazalismy, iż nie istnieje surjekcja
z m w N.
⌅
Twierdzenie 6.3 Dla dowolnego zbioru A zachodzi, iż nie istnieje bijekcja z A w P(A).
Dowód. Przeprowadźmy dowód nie wprost. Niech f bedzie taka˛ hipotetyczna˛ bijekcja˛ z
A w P(A). Określmy nastepujacy
˛ zbiór:
A0 = {a 2 A : a 2
/ f (a)}.
Jest to dobrze okreslony podzbiór A a zatem skoro f jest surjekcja˛ to istnieje takie a0 2 A,
iż A0 = f (a0 ). Zobaczmy teraz czy a0 należy do tego zbioru.
Z jednej strony:
a0 2 A0 ) a0 2 f (a0 ) ) a0 2
/ A0 .
Z kolei:
a0 2
/ A0 ) a0 2
/ f (a0 ) ) a0 2 A0 .
Czyli otrzymujemy sprzeczność.
⌅
Twierdzenie 6.4 Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.
Dowód. Jeśli taki zbiór by istniał to wszystkie jego pozdbiory byłyby jednocześnie jego
elementami. Wtedy łatwo moglibyśmy określić surjekcj˛e z tego zbioru na zbiór jego
podzbiorów co jest sprzeczne z powyższym twierdzeniem.
⌅
Rozdział 6. Elementy teorii mocy
20
Definicja 6.0.3 Zbiór jest przeliczalny jeśli jest równoliczny z m lub N.
Twierdzenie 6.5 Podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.
6.1
Liczby kardynalne i operacje na nich
Dla danej rodziny zbiorów liczby kardynalne to wszystkie moce tych zbiorów. Oznaczamy:
|N| = ¿0 oraz |P(N)| = c. Dla m 2 N oznaczamy |m| = m.
Definicja 6.1.1 Na liczbach kardynalnych definiujemy nast˛epujace
˛ operacje:
• mnożenie: |A| · |B| = |A ⇥ B|,
• dodawanie |A| + |B| = |A [0 B|,
• pot˛egowanie |A||B| = |AB |
gdzie [0 oznacza sum˛e rozłaczn
˛ a˛ a (przypomnienie) AB oznacza zbiór wszystkich
funkcji z B do A.
Twierdzenie 6.6 Powyższe definicje sa˛ poprawne (to znaczy nie zależa˛ od wyboru
reprezentanta klasy abstrakcji relacji równoliczności) oraz:
• oba działania sa˛ łaczne
˛
i przemienne,
• zachodzi rozdzielność mnożenia wzgl˛edem dodawania,
• (|A||B| )|C| = |A||B⇥C| ,
0
• |A||B| · |A||C| = |A||B[ C| .
Dowód. Pokażemy ostatnia˛ tożsamość. Lewa strona jest moca˛ iloczynu kartezjańskiego:
AB ⇥ AC ,
czyli jej elementami sa˛ pary funkcji ( f , g) gdzie f : B ! A a g : C ! A. Skonstruujemy
teraz bijekcj˛e
(
f (x) x 2 B
F : AB ⇥ AC ! AB⇥C ,
F(( f , g))(x) =
g(x) x 2 C
co jest dobrze określona˛ funkcja.˛ Funkcja odwrotna jest skonstruowana w oczywisty
0
sposób: jeśli F 2 AB[ C to odpowiednia para funkcji
F|B , F|C 2 AB ⇥ AC .
⌅
Definicja 6.1.2 Na liczbach kardynalnych wprowadzamy relacj˛e |A|  |B| jeśli istnieje
injekcja z A do B. Jeśli |A|  |B| oraz |A| 6= |B| to |A| < |B|. Jesto to relacja cz˛eściowego
porzadku.
˛
Twierdzenie 6.7 Dla dowolnego zbioru A:
|A| < |P(A)| = 2|A| .
6.1 Liczby kardynalne i operacje na nich
W szczególności mamy:
21
¿0 < c = 2¿0 .
Twierdzenie 6.8 — Cantor-Bernstein. Jeśli |A|  |B| oraz |B|  |A| to |A| = |B|.
Twierdzenie 6.9 — Lemat Banacha. Jeśli f : A ! B i g : B ! A sa˛ injekcjami to
istnieja˛ rozłaczne zbiory A1 [ A2 = A i B1 [ B2 = B takie, że f (A1 ) = B1 oraz g(B2 ) =
A2 .
Twierdzenie 6.10 Dla liczby kardynalnych zachodza˛ nastepujace
˛ tożsamości:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
m < ¿0 ,
¿0 + m = ¿0 ,
¿0 · m = ¿0 ,
¿0 + ¿0 = ¿0 ,
¿0 · ¿0 = ¿0 ,
c + ¿0 = c,
c + c = c,
c · ¿0 = c,
c · c = c.
Twierdzenie 6.11
|(0, 1)| = |R| = c.
Dowód. Korzystamy z c = 2¿0 . Zbiór 2N to zbiór ciagów
˛
o wyrazach 0, 1. Możemy
stworzyć odwzorowanie:
f ({an }) = Â an 2 n 1 .
n
jest to jednak funkcja, która nie jest różnowartościowa - jednak możemy ja˛ zmodyfikować
dajac
˛ znak dla ciagów
˛
skończonych. Wtedy:
2¿0  |R| = |[0, 1]|  2¿0 .
⌅