Jednokładność i podobieństwo 1. Do paraboli 52 +

Jednokładność i podobieństwo
1. Do paraboli y  x  2 x  5 należą punkty A, W, B takie, że W jest wierzchołkiem tej
paraboli, odcięta punktu A wynosi –1, punkt B leży we wnętrzu pierwszej ćwiartki układu
współrzędnych a jego rzędna wynosi 5.
2
a) Oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta AWB. Narysuj ten trójkąt i jego obraz w J
1
2
( 0, 0 )

.
1
1


 1

b) Zbadaj, czy AWB  PRS, gdzie P   ,2  , R  1,2  , S    ,4  .
2
2


 2

2. Na planie o skali 1:150 mieszkanie ma powierzchnię 50 cm2. Jaka jest rzeczywista
powierzchnia tego mieszkania? Wynik podaj w metrach kwadratowych.
3. Okrąg o jest obrazem okręgu
w jednokładności o środku S=(5,2) i
skali
. Znajdź środek i promień okręgu o.
4. Znajdź równanie okręgu, który jest obrazem okręgu o równaniu
w jednokładności o środku S=( ) i skali
.
5. W jednokładności o skali
obrazem rombu ABCD jest romb EFGH o polu
.
Oblicz pole rombu ABCD.
6. Znajdź wzór funkcji, której wykres otrzymamy, przekształcając wykres funkcji
przez jednokładność o środku w punkcie S=( ) i skali
.
7. Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu
jest okrąg o równaniu
, a skala tej
jednokładności jest liczbą ujemną.
8. Trójkąt ABC ma obwód równy 33 cm, a jego pole wynosi 18 cm2. Oblicz obwód trójkąta
DEF podobnego do trójkąta ABC wiedząc, że pole trójkąta DEF jest równe 2 cm2.
9. Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych ABC i DEF wynosi . Wiedząc, że podstawa AB
trójkąta ABC jest o 7 cm krótsza od podstawy DE trójkąta DEF, oblicz
i
.
10. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa ma długość 40 cm. W trójkąt ten wpisano
koło, które jest styczne do ramion trójkąta w punktach D i E. Wiedząc, że
,
oblicz:
a) pole trójkąta ABC
b) pole koła wpisanego w ten trójkąt.
11. W trapezie ABCD odcinki AB i DC są podstawami. Na ramieniu AD zaznaczono punkt
E, a na ramieniu BC – punkt F w taki sposób, że trapez EFCD jest podobny do trapezu ABFE.
Wiedząc, że
i
, oblicz stosunek:
a) wysokości trapezów EFCD i ABFE
b) pól trapezów EFCD i ABFE.
12. Równoległobok ABCD na rysunku obok ma boki długości 4 i 6. Prosta EF odcina
równoległobok AEFD podobny do równoległoboku ABCD. Znajdź długość odcinka AE.
13. Z pewnego prostokąta odcięto kwadrat i otrzymano prostokąt podobny do danego
prostokąta. Oblicz stosunek długości boków danego prostokąta.
14. Dany jest punkt A=(1,1) oraz punkty:
,
,
Oblicz pole trójkąta BCD.
15. Równoległobok o bokach długości 3 i 8 podzielono na dwa podobne do siebie
równoległoboki. Jakie długości ma ją boki tych równoległoboków?
16. Działka budowlana o powierzchni 300 m2 ma na pewnym planie powierzchnię 75 cm2.
Jaka jest skala tego planu?
17. Staw ma powierzchnię 2,5 ha. Jaka jest powierzchnia tego stawu na mapie w skali 1:5
000?
18. Prosta równoległa do jednego z boków trójkąta dzieli go na dwie części o równych
polach. W jakim stosunku prosta ta dzieli prostopadłą do niej wysokość trójkąta?
19. W trójkącie ABC kąt ACB jest prosty, a CD jest wysokością. Trójkąt ADC ma pole 54, a
trójkąt DBC ma pole 96. Oblicz długości boków trójkąta ABC.
20. Oszacuj wymiary mapy Polski w skali 1:1 000 000. W Polsce mieszka ponad 38 mln
osób. Czy wobec tego na mapie Polski położonej na podłodze zmieści się 38 osób?
21. Oblicz długość boku zaznaczonego kwadratu.
22. Pole trójkąta ABC wynosi 20, bok AB ma długość 8. Oblicz długość boku zaznaczonego
kwadratu.
23. Znajdź wzór funkcji, której wykres otrzymamy, przekształcając wykres funkcji
przez jednokładność o środku w punkcie S=(
) i skali
24. Podaj równanie okręgu, który jest jednokładny do okręgu
.
w
jednokładności o skali
i środku jednokładności
.
25. Narysuj dwa okręgi o1( A1;1,5cm) i o2(A2;3cm) tak aby |A1A2|=6 cm. Znajdź środek S
takiej jednokładności, która przekształca okrąg o1 na okrąg o2. Wyznacz odległość punktu S
od środków okręgów.
26. Dane są odcinki AB oraz CD, gdzie A(4,1), B(2,5),C(0,1),D(-2,3). Wyznacz taką
jednokładność , by (AB)=CD.