Topologia

Topologia
Wykład 2
Zbieżność w przetstrzeniach metrycznych oraz zbiory otwarte i
domknięte.
1. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych
Definicja 1. Ciąg (xn ) elementów przestrzeni (X, d) jest zbieżny, gdy limn→∞ d(xn , x) = 0.
Punkt x nazywamy wtedy granicą ciągu (xn ). Oznaczamy limn xn = x lub xn → x.
Równoważnie, xn → x, gdy dla każdego > 0 istnieje n0 takie, że dla wszystkich n > n0
zachodzi xn ∈ K(x, ). Tę definicję będzie się w przyszłości wygodnie uogólniać.
Twierdzenie 1. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Dowód. Wystarczy wziąć kulę K(x, 1), gdzie x jest granicą rozważanego ciągu (xn ), znaleźć
n0 , począwszy od którego wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w K(x, 1), a nastepnie
zauważyć, że cały ciąg zawiera się w kuli K(x, r), gdzie r = max{1, d(x, x1 ), ..., d(x, xn0 )}.
Twierdzenie 2. Każdy ciąg zbieżny (w przestrzeni metrycznej) ma dokładnie jedną granicę.
Dowód. Gdyby były dwie granice x i y, to dla r = 21 d(x, y) kule K(x, r), K(y, r) nie
mogłyby być rozłączne, gdyż każda zawiera prawie wszystkie elementy ciągu. Inaczej, jeśli
xn → x i xn → y, to
0 ¬ d(x, y) ¬ d(x, xn ) + d(xn , y) .
| {z }
| {z }
−→ 0
−→ 0
n→∞
n→∞
Twierdzenie 3. Każdy ciąg stały jest zbieżny.
Twierdzenie 4. Każdy podciąg ciągu zbieżnego do x jest zbieżny do tej samej granicy x.
Dowody oczywiste.
Twierdzenie 5. Jeżeli każdy podciąg ciągu (xn ) zawiera podciąg zbieżny do x, to xn → x.
Dowód. Przypuśćmy niewprost, że (xn ) nie jest zbieżny do x mimo, iż spełnia założenie.
Wtedy istnieje r takie, że nieskończenie wiele wyrazów ciągu (xn ) nie należy do K(x, r).
Te wyrazy tworzą podciąg, który nie zawiera podciągu zbieżnego do x.
Przykłady
1. W metryce dyskretnej zbieżne są tylko ciągi stałe.
2. W metryce ρ na N ∪ {0} z poprzedniego wykładu każdy podciąg ciągu N jest zbieżny
do zera.
3. W metryce „węzeł kolejowy” ciąg punktów (0, n1 ) jest zbieżny do (0, 0), ale (1, n1 ) nie
jest zbieżny do (1, 0), ani ( n1 , 1) nie jest zbieżny do (0, 1). Oczywiście, wszystkie są
zbieżne w metrykach: taksówkowej, euklidesowej i maksimum. Jak jest z „rzeką”, gdy
wyróznioną prostą jest 0X?
1
4. Co można powiedzieć o ciagach funkcji fn (x) =
przestrzeni C([0, 1])?
1
n x,
gn (x) = nx, hn (x) = xn w
Definicja 2. Ciąg (xn ) spełnia warunek Cauchy’ego (jest Cauchy’ego, jest podstawowy),
gdy dla każdego > 0 istnieje n0 ∈ N takie, że dla dowolnych m, n > n0 zachodzi
d(xm , xn ) < .
Twierdzenie 6. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego.
Dowód. Ustalmy > 0. korzystając z definicji zbieżności znajdźmy n0 dla 21 (zamiast ).
Dla m, n > n0 mamy
d(xm , xn ) ¬ d(xm , x) + d(x, xn ) < + = .
2 2
Odwrotne twierdzenie nie zachodzi, choć jesteśmy przyzwyczajeni do równoważności
warunku Cauchy’ego i zbieżności w R (nawet w Rn ). Przykład: xn = − n1 w metryce „mur”.
2. Punkty skupienia.
Na analizie definiowano punkt skupienia ciągu jako granicę zbieżnego podciągu. Przy
tym pozwalano, by punktami skupienia były ±∞ mimo, że nie są to elementy przestrzeni
R. My wprowadzimy ogólniejszą definicję.
Definicja 3. Punkt x jest punktem skupienia zbioru A w przestrzeni metrycznej (X, d),
gdy dla każdego > 0 zachodzi
A ∩ K(x, ) \ {x} 6= φ.
Twierdzenie 7. x jest punktem skupienia zbioru A ⇐⇒ A zawiera ciąg (xn ) taki, że
xn 6= x dla każdego n oraz limn xn = x.
Dowód. (⇒)
Dla kolejnych n wybieramy xn z przekrojów A ∩ K(x, n1 ) \ {x} .
(⇐) Dla > 0 znajdujemy n0 z definicji zbieżności. Dla n > n0 mamy xn ∈ K(x, ), a z
własności tego ciągu xn 6= x i xn ∈ A.
Definicja 4. Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A nazywamy pochodną zbioru A
i oznaczamy Ad .
Przykłady W naturalnych metrykach mamy:
1. Nd = φ
2. Qd = R
3. Rd = R
Ale jeśli rozpatrzymy w N ∪ {0} metrykę ρ, to pochodną będzie {0}. Fakt bycia punktem
skupienia i pochodna zależą od przyjętej metryki!!!
3. Zbiory otwarte i domknięte.
Wygodnie jest poklasyfikować zbiory na różne sposoby, by wiedzieć, których zbiorów
można użyć do jakich celów. Np. czasem chcemy, by zbiór zawierał swoje wszystkie punkty
skupienia (to będą domknięte). A czasem, by zawierał tylko swoje punkty skupienia (ale
niekoniecznie wszystkie – to będa otwarte). To zrobimy poniżej.
2
Definicja 5. Zbiór A jest otwarty (w przestrzeni metrycznej (X, d)), gdy dla każdego x ∈ A
istnieje > 0 taki, że K(x, ) ⊂ A.
Zbiór A jest domknięty, gdy jego dopełnienie jest zbiorem otwartym.
Zobaczmy, że druga z definicji faktycznie realizuje obietnicę zawierania wszystkich punktów skupienia.
Twierdzenie 8. Zbiór A jest domknięty ⇐⇒ A zawiera wszystkie swoje punkty skupienia,
tzn Ad ⊂ A.
Dowód. (⇒) Jeśli x 6∈ A, to z otwartości X \ A istnieje kula K(x, ) zawarta w X \ A, czyli
rozłączna z A. Zatem x nie jest punktem skupienia A. Stąd Ad ⊂ A.
(⇐) Weźmy dowolny x ∈ X \ A. Wtedy z założenia
x nie jest punktem skupienia A, czyli
dla pewnego > 0 mamy A ∩ K(x, ) \ {x} = φ. Stąd K(x, ) ⊂ X \ A, co oznacza, że x
zawiera się w X \A wraz z pewną kulą. Zatem X \A jest otwarty, czyli A jest domknięty.
Na następnym wykładzie: pojęcia wnętrza, domknięcia, brzegu i klasyfikacja punktów,
własności rodzin zbiorów otwartych i domkniętych, topologia, wspomnienie o ogólnym wprowadzaniu topologii (bez metryki - wspomnienie o zbieżności punktowej funkcji), równoważność i lipschitzowska równoważność metryk, może też zbiory gęste, brzegowe, nigdziegęste.
3