Zastosowanie cech podzielności w matematyce

Zastosowanie cech podzielności
w matematyce
Spis treści
• Kongruencje
• Własności kongruencji
• Chioskie twierdzenie o
resztach
• Dowód twierdzenia
• Zadanie 1
• Zadanie 2
Kongruencje
W arytmetyce modularnej przystawanie
(kongruencja) oznacza utożsamianie liczb o
takiej samej reszcie z dzielenia przez n.
Przykład:
7≡15 (mod 8)
Własności kongruencji
Własności kongruencji:
- zwrotnośd – a ≡ a (mod n)
- symetrycznośd – jeżeli a ≡ b (mod n), to b ≡ a
(mod n)
- przechodniośd – jeżeli a ≡ b (mod n) i b ≡ c (mod
n), to a ≡ c (mod p)
- kongruencja sumy – jeżeli a ≡ c (mod n) i b ≡ d
(mod n), to (a+b) ≡ (c+d) (mod n)
- kongruencja iloczynu – jeżeli a ≡ p (mod n) i b ≡ q
(mod n), to a · b ≡ p · q (mod n)
Chioskie twierdzenie o resztach
Chioskie twierdzenie o resztach mówi o tym, iż
jeżeli dla dwóch liczb względnie pierwszych p i q
obliczymy n (mod p) i n (mod q) dla liczb
0<n<pq, to uzyskane przez nas pary liczb będą
różne. Twierdzenie to możemy też stosowad dla
większej ilości liczb, warunkiem jest, aby były
parami względnie pierwsze. Chioscy generałowie
używali tego twierdzenia do określania ilości
swoich żołnierzy.
Dowód twierdzenia
Załóżmy, że dwie pary reszt byłyby takie same.
Musiałyby wtedy istnied liczby a i b, dla których
a ≡ b (mod p) i a ≡ b (mod q). Skoro 0<a<pq i
0<b<pq, to |b - a| < pq. Z założenia wynika, że
b - a ≡ 0 (mod p) i b - a ≡ 0 (mod q). Jest to
niemożliwe, gdyż najmniejszą liczbą większą
od 0 która spełnia te równości jest pq. Skoro
b ‐ a < pq, oraz b ≠ a, otrzymujemy sprzecznośd.
Zadanie 1
Udowodnij, że liczba 25n-1 jest podzielna przez
31.
Rozwiązanie
Wiadomo, że 25n-1=32n-1
Skoro 32 ≡ 1 (mod 31), to 32n ≡ 1 (mod 31) gdyż
1 to element neutralny mnożenia, czyli 32n-1 = 0
(mod 31)
Wynika stąd, że 31|25n-1
Zadanie 2
Znajdź resztę z dzielenia przez 35 liczby a dla
której a ≡ 4 (mod 7) i a ≡ 3 (mod 5)
Rozwiązanie
Skoro 7*5=35, to możliwe jest tylko jedno
rozwiązanie. Szukamy takiej liczby, dla której
7|a-4 i 5|a-3. W takim razie a-3 ≡ 1 (mod 7)
Wiadomo, że 0*5 ≡ 0 (mod 7), 1*5 ≡ 5 (mod 7),
a każda kolejna liczba da wynik o 2 mniejszy. 51=4 4/2=2 (2+1)*5=15 Otrzymaliśmy a-3. W
takim razie a=18.
Koniec