Fizyka laboratorium 3

Rozdzial 1
Fizyka laboratorium 3
1.1. Różnice skończone
Przyjrzyjmy sie, równaniu różniczkowemu zwyczajnemu pierwszego rzedu,
postaci:
,
f (y, t) =
dy(t)
dt
(1.1)
Równanie (1.1) opisuje zmiane, funkcji y przy zmianie parametru t, Jeżeli parametr
t bedzie
oznaczal czas, równanie to opisuje wyrażona, przez funkcje, f zmiane, funkcji
,
y w czasie. Rozwiazaniem
analitycznym jest tego równania jest funkcja y(t). która
,
podstawiona do równania (1.1) przeksztalca je w tożsamość.
Zamieniajac
, odpowiednio przyrost dy na ∆y oraz dt na ∆t otrzymujemy:
∆y
dy
lim
=
∆y→0,∆t→0
∆t
dt
(1.2)
Równanie (1.1) w rachunku różnic skończonych zapisać możemy w postaci:
f (y, t) =
∆y
∆t
(1.3)
Mnożac
, obie strony przez ∆t otrzymujemy wyrażenie na zmiane, funkcji y w przedziale czasu ∆t:
∆y = f (y, t)∆t
(1.4)
Znajac
(poczatkowa
wartość y) możemy obliczyć nowa, wartość
, warunki poczatkowe
,
,
y po uplywie czasu ∆t jako:
∆y = f (y, t)∆t
(1.5)
yn+1 = yn + f (yn , yn )∆t
1
1.2. Calkowanie równań różniczkowych
1.2. Calkowanie równań różniczkowych
Równanie (1.1) przedstawia funkcje, y zależna, od czasu t. Równanie to można rozwia,
zać poprzez calkowanie po parametrze t. Ponieważ bedziemy
rozwi
azywali
równanie
,
,
dla kolejnych kroków czasowych wprowadzimy nastepuj
ace
,
, oznaczenia: yn+1 – wartość y w n + 1 kroku czasowym, yn – wartość y w n-tym kroku czasowym:
Z tn+1
f (y, t)dt
(1.6)
yn+1 = yn +
tn
Równanie to opisuje przyrost funkcji y w przedziale czasu od tn do tn+1 . Cala idea
metody numerycznej skupia sie, na przybliżeniu różnicowym calki po prawej stronie równania. Dokladność, z jaka, wyznaczymy wartość calki, ma znaczenie dla staże otrzymane
bilności rozwiazania
numerycznego równania (1.1). Należy pamietać,
,
,
rozwiazanie
jest
tylko
przybliżeniem
rozwi
azania
dok
ladnego.
,
,
1.3. Schemat różnicowy Eulera
Najprostszym sposobem na przybliżenie calki z równania (1.6) jest calkowanie metoda, prostokatów.
,
f(y,t)
fn
t
t
n
n+1
t
Rysunek 1.1. metoda prostokatów
,
Stosujac
, te, metode, otrzymamy najprostszy schemat różnicowy, zwany metoda, Eulera:
yn+1 = yn + f (y, t)h + O(h2 )
(1.7)
gdzie h ↔ ∆t
Możemy wyprowadzić schemat metody Eulera siegaj
ac
,
, do definicji pochodnej:
y(t + h) − y(t)
h→0
h
0
y (t) = lim
(1.8)
możemy wiec
, rezygnujac
, z granicy możemy zapisać przybliżenie:
0
y (t) ≈
y(t + h) − y(t)
h
(1.9)
2
1.4. Metoda Midpoint
czyli po przeksztalceniu
0
y(t + h) − y(t) ≈ hy (t)
czyli:
0
y(t + h) ≈ y(t) + hy (t)
(1.10)
(1.11)
0
Przechodzac
, do wprowadzonej notacji y (t) = f (y, t) możemy zapisać schemat w
postaci:
y(t + h) ≈ y(t) = hf (y, t)
(1.12)
yn+1
styczna
f ’(xn )
f(xn+1)
f(xn)
h=xn+1-xn
xn
xn+1
Rysunek 1.2. metoda Eulera
1.3.1. Rzad
dokladności metody
,
Dla sprawdzenia rzedu
dokladności metody dokonamy rozwiniecia
funkcji y w szereg
,
,
Taylora:
y(t + h) =
∞
X
y (n)
n=0
n!
00
0
hn = y(t) + y (t)h +
y (t) 2
y (n) n
h + ... +
h
2!
n!
(1.13)
Widać, że metoda Eulera obcina rozwiniecie
po pierwszej pochodnej czyli: y(t+h) ≡
,
0
yn+1 , y(t) ≡ yn , y (t)h ≡ f (y, t)h
Obciecie
rozwiazania
do wyrazu h w potedze
1 wlacznie
oznacza, że metoda różni,
,
,
,
cowa ma dokladność pierwszego rzedu
wzgledem
rozwiniecia
w szereg Taylora. Blad
,
,
,
,
2
obciecia
wynosi
O(h
)
,
1.4. Metoda Midpoint
Nazwa metody wynika z faktu, że tn + h/2 jest punktem środkowym pomiedzy
,
tn w którym wartość funkcji y(t) jest znana, oraz punktem tn+1 w którym szukamy
3
1.4. Metoda Midpoint
wartości funkcji y(t). Jest to metoda zaliczana do metod Runge-Kutta (inaczej zwana
metoda Runge-Kutta drugiego rzedu).
,
Metoda ta bazuje na metodzie Eulera wykorzystujac
, kolejna, pochodna, przy rozwinieciu
w
szereg
Taylora.
,
nastepnie:
,
y(t + h) − y(t)
h
0
y (t + ) ≈
2
h
(1.14)
h
0
y(t + h) ≈ y(t) + hy (t + )
2
(1.15)
co możemy zapisać jako:
y(t + h) ≈ y(t) + hf
h
h
y(t + ), t +
2
2
(1.16)
Nie możemy skorzystać z równania (1.16) ponieważ nie znamy wartości y w punkcie
h
jest rozwiniecie
w szereg Taylora i przybliżenie tej wartości.
t + . Rozwiazaniem
,
,
2
h
h
h 0
y t+
(1.17)
≈ y(t) + y (t) = y(t) + f (y(t), t)
2
2
2
Co po podstawieniu do (1.16) daje:
y(t + h) ≈ y(t) + hf
h
h
y(t) + f (y(t), t) , t +
2
2
(1.18)
Ogólnie schemat metody MidPoint możemy zapisać jako:
k1 = f (yn , tn )
h
h
k2 = f yn + k1 , tn +
2
2
yn+1 = yn + hk2 + O(h3 )
(1.19)
(1.20)
(1.21)
4
1.5. Metoda Runge–Kutta
Przybli•ona styczna
w punkcie tn+h/2
wynik Euler yn+1
k1 = f ( y n , t n )
h
y n + k1
2
wynik MidPoint
y n+1
yn
h/2
h/2
tn
t n+1
Rysunek 1.3. metoda MidPoint
1.5. Metoda Runge–Kutta
Ogólnie metode, możemy zapisać w postaci:
yn+1 = yn + h
X
am k m
(1.22)
m
gdzie: am – wspólczynniki wagowe, km styczne obliczone w kolejnych krokach tn ≤
x ≤ tn+1 . Wagi spelniaja, warunek:
X
am = 1
(1.23)
m
1.5.1. Metoda RK4
Schematycznie metode, możemy zapisać w nastepuj
acy
sposób:
,
,
k1 = f (yn , tn )
h
h
k2 = f yn + k1 , tn +
2
2
h
h
k3 = f yn + k2 , tn +
2
2
k4 = f (yn + hk3 , tn + h)
co zgodnie ze wzorem (1.22) daje:
yn+1 = yn +
h
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
6
(1.24)
5
1.5. Metoda Runge–Kutta
Przybli•ona styczna
w punkcie tn+h/2
yn +
wynik Euler yn+1
k1 = f ( y n , t n )
h
k1
2
k
2
h
h
k = f (y + k , x +
3
n 2 2 n 2
y n+1
3
yn
k 4 = f ( y n + hk , t n + h )
3
1
h/2
tn
h
h
= f (y + k , x +
2
n 2 1 n 2
h/2
t n+1
Rysunek 1.4. metoda RK4
6