Wykład nr 2 (Rozwiązania ogólne równań różniczkowych

Rozwiązania ogólne
2
2–1
Rozwiązania ogólne równań różniczkowych cząstkowych liniowych pierwszego rzędu
2.1
Rozwiązania funkcyjnie niezależne. Rozwiązania ogólne
Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu
(RRCz)
f (x, y, z)ux + g(x, y, z)uy + h(x, y, z)uz = 0,
gdzie o funkcjach f , g i h zakładamy, że są klasy C 1 na obszarze Ω ⊂ R3 .
Zakładamy ponadto, że
|f (x, y, z)| + |g(x, y, z)| + |h(x, y, z)| > 0
dla każdego (x, y, z) ∈ Ω.
Analogicznie jak w przypadku równań quasiliniowych rozpatrywanych w
Wykładzie nr 1, możemy zastosować metodę charakterystyk: rozwiązanie u =
u(x, y, z) równania (RRCz) jest funkcją stałą wzdłuż krzywej całkowej układu
równań różniczkowych zwyczajnych
(U)

dx





dt



 dy


dt




dz



dt
= f (x, y, z)
= g(x, y, z)
= h(x, y, z).
W szczególności, każda całka pierwsza(1) układu (U) jest rozwiązaniem równania (RRCz).
Całki pierwsze ϕ : Ω → R i ψ : Ω → R układu (U) nazywamy funkcyjnie
niezależnymi , gdy
grad ϕ(x, y, z) × grad ψ(x, y, z) 6= 0 ∀ (x, y, z) ∈ Ω.
Przypomnijmy, że gradient jest w każdym punkcie prostopadły do poziomicy funkcji. Z definicji funkcyjnej niezależności wynika, że w żadnym
punkcie gradient funkcji ϕ nie jest równoległy do gradientu funkcji ψ. Poziomice funkcji ϕ przecinają się z poziomicami funkcji ψ wzdłuż krzywych klasy
C 1.
Często zdarza się, że całki pierwsze, rozwiązania, itp., są określone na
pewnym właściwym podobszarze obszaru Ω.
(1)
∂ϕ
Całką pierwszą układu (U) nazywamy funkcję ϕ klasy C 1 , spełniającą f ∂ϕ
∂x + g ∂y +
h ∂ϕ
∂y ≡ 0, i nie równą stałej na żadnym zbiorze otwartym.
2–2
Skompilował Janusz Mierczyński
Twierdzenie 2.1. Dla każdego (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω istnieją: otwarte i spójne otoczenie U punktu (x0 , y0 , z0 ) oraz funkcyjnie niezależne całki pierwsze
ϕ : U → R i ψ : U → R układu (U).
Dowód. Ustalmy (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω. Z twierdzenia o lokalnym prostowaniu pola
wektorowego (kliknąć tu) wynika istnienie otwartego i spójnego otoczenia U
punktu (x0 , y0 , z0 ) i zamiany zmiennych H : U → R3 , H(x, y, z) = (ξ, η, ζ),
klasy C 1 , takiej, że w nowych zmiennych układ (U) przybiera postać

dξ





dt



 dη
(2.1)


dt




dζ



dt
≡0
≡0
≡ 1.
Dla układu (2.1) funkcje ϕ̃(ξ, η, ζ) = ξ i ψ̃(ξ, η, ζ) = η są funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi. Szukane całki pierwsze (w wyjściowych współrzędnych) to ϕ := ϕ̃ ◦ H, ψ := ψ̃ ◦ H
Fakt 2.2. Niech u1 , u2 będą rozwiązaniami równania (RRCz). Wówczas dla
każdej funkcji rzeczywistej F dwóch zmiennych rzeczywistych klasy C 1 , której dziedzina zawiera iloczyn kartezjański zbiorów wartości funkcji u1 i u2 ,
funkcja złożona F (u1 , u2 ) jest rozwiązaniem równania (RRCz).
Twierdzenie 2.3. Niech ϕ i ψ będą funkcyjnie niezależnymi rozwiązaniami
równania (RRCz), i niech u będzie rozwiązaniem równania (RRCz). Wówczas dla każdego (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω istnieją: otoczenie U punktu (x0 , y0 , z0 ) i
funkcja F klasy C 1 , ϕ(U ) × ψ(U ) ⊂ dom F , takie, że
u(x, y, z) = F (ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z)) ∀ (x, y, z) ∈ U.
Dowód. Zauważmy, że układ równań liniowych



f



f
f
· ux + g · uy + h · uz = 0
· ϕx + g · ϕy + h · ϕz = 0
· ψx + g · ψy + h · ψz = 0
jest spełniony dla wszystkich (x, y, z) ∈ Ω. Jako że (f, g, h) jest wszędzie w
Ω niezerowy, musi zachodzić
u
x
ϕx
ψx
uy uz ϕy ϕz = 0.
ψy ψz Rozwiązania ogólne
2–3
Z funkcyjnej niezależności wynika, że w każdym punkcie co najmniej jeden z
minorów
ϕ ϕ ϕ
ϕ
y
x ϕz x ϕy z
, , ψy ψz ψx ψz ψx ψy musi być niezerowy.
Wykazaliśmy więc, że pochodna odwzorowania Φ : Ω → R3 ,
Φ(x, y, z) := (u(x, y, z), ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z)),
ma w każdym punkcie (x, y, z) ∈ Ω rząd 2. Teza jest wnioskiem z twierdzenia
o rzędzie (patrz Dodatek 2.3).
W świetle powyższego twierdzenia, wyrażenie F (ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z)), gdzie
ϕ i ψ są (ustalonymi) funkcyjnie niezależnymi rozwiązaniami równania (RRCz),
zaś F jest dowolną funkcją klasy C 1 , nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania (RRCz).
2.2
Praktyczne metody szukania rozwiązań funkcyjnie
niezależnych
Układ (U) można zapisać w postaci symetrycznej :
dy
dz
dx
=
=
.
f (x, y, z)
g(x, y, z)
h(x, y, z)
Przykład 1. Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe
(2.2)
xux + yuy + xy(z 2 + 1)uz = 0.
W postaci symetrycznej ma ono postać:
dx
dy
dz
=
=
.
x
y
xy(z 2 + 1)
Nakładając całkę nieoznaczoną na dwa wyrażenia po lewej stronie otrzymujemy, po standardowych przekształceniach, że funkcja
y
ϕ(x, y, z) =
x
jest całka pierwszą układu równań różniczkowych zwyczajnych
(2.3)


 dx



dt



 dy


dt




dz



dt
=x
=y
= xy(z 2 + 1),
2–4
Skompilował Janusz Mierczyński
zatem jest rozwiązaniem wyjściowego równania różniczkowego cząstkowego.
Rozważmy teraz
dz
dx
=
.
x
xy(z 2 + 1)
Ale y/x = C1 , czyli y = C1 x. Podstawiając to do powyższej równości otrzymujemy, po standardowych przekształceniach
C1 x dx =
dz
,
z2 + 1
co daje
C1 2
x = arc tg z + C2 .
2
Lecz C1 = y/x, więc
1
xy − arc tg z = C2 .
2
Zatem
1
ψ(x, y, z) = xy − arc tg z
2
jest całka pierwszą układu (2.3), zatem rozwiązaniem równania (2.2).
Przypominam, że równaniu różniczkowemu cząstkowemu w postaci symetrycznej
dx
dy
dz
=
=
f
g
h
odpowiada układ równań różniczkowych zwyczajnych

dx





dt



 dy


dt




dz



dt
=f
=g
= h.
Można wziąć kombinację liniową równań z powyższego układu
d(ax) d(bx) d(cx)
+
+
= af + bg + ch,
dt
dt
dt
a, b, c ∈ R,
otrzymując
dx
dy
dz
d(ax + by + cz)
=
=
=
.
f
g
h
af + bg + ch
W niektórych przypadkach ułatwia to znalezienie całek pierwszych.
Rozwiązania ogólne
2–5
Przykład 2. Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe w postaci symetrycznej
dx
dy
dz
=
=
.
y+z
y
x−y
Z równości
d(x + z)
dy
=
x+z
y
otrzymujemy, że
ϕ(x, y, z) =
jest rozwiązaniem.
Zaś z równości
x+z
y
d(x − y)
dz
=
z
x−y
otrzymujemy, że
ψ(x, y, z) = (x − y)2 − z 2
jest rozwiązaniem.
2.3
Dodatek: Twierdzenie o rzędzie
Poniższy wynik można traktować jako uogólnienie zarówno twierdzenia o
funkcji odwrotnej, jak i twierdzenia o funkcji uwikłanej.
Twierdzenie o rzędzie. Niech F : U → Rn , gdzie U ⊂ Rm jest obszarem,
będzie odwzorowaniem klasy C 1 o tej własności, że rząd pochodnej DF jest
na U stale równy p ¬ min{m, n}. Ustalmy punkt x0 ∈ U , i oznaczmy A :=
DF(x0 ). Ponadto, niech X oznacza obraz A, i niech Y będzie podprzestrzenią
dopełniczą w Rn podprzestrzeni X. Wówczas istnieją:
(i) homeomorfizm H : V → W klasy C 1 , gdzie V jest otoczeniem punktu
x0 , W ⊂ Rm jest otwarty(2) , taki, że odwzorowanie odwrotne H−1 : W →
V też jest klasy C 1 ;
(ii) odwzorowanie ϕ : A(W ) → Y (3) , klasy C 1 ,
To, że obraz otwartego podzbioru Rm przez odwzorowanie ciągłe i różnowartościowe
jest otwartym podzbiorem Rm , jest treścią twierdzenia Brouwera o niezmienniczości obszaru, zwanego też niekiedy twierdzeniem Brouwera o niezmienniczości obszaru, dalece
nietrywialnego wyniku
(3)
Z faktu, że A jest odwzorowaniem liniowym o obrazie X, wynika, że A(W ) jest otwartym podzbiorem X.
(2)
2–6
Skompilował Janusz Mierczyński
o tej własności, że
(F ◦ H−1 )(ξ) = Aξ + ϕ(Aξ)
dla każdego ξ ∈ W .