Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu. Def.1 Równaniem
Transkrypt
Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu. Def.1 Równaniem
Równania różniczkowe zwyczajne I rzędu. Def.1 Równaniem różniczkowym zwyczajnym I rzędu nazywamy równanie postaci: , w którym występuje istotnie, pozostałe zaś argumenty mogą, lecz nie muszą występować. Uwaga: r.r.- skrót od „równanie różniczkowe” Def.2. Rozwiązaniem (całką) r.r. nazywamy każdą funkcję spełniającą dane równanie, dla każdego x z pewnego przedziału. Def.3. Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) r.r. nazywamy każdą funkcję postaci , która dla każdej wartości C jest rozwiązaniem tego r.r. Def.4. Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) r.r. nazywamy każdą funkcję postaci , którą otrzymujemy z całki ogólnej poprzez przyjęcie C=C0. Def.5. Zagadnieniem Cauchy’ego I rzędu nazywamy poszukiwanie takiego rozwiązania szczególnego, które spełnia tzw. warunki początkowe postaci: . Oznacza to poszukiwanie takiej funkcji, której wykres przechodzi przez z góry zadany punkt Def.6. Rozwiązaniem osobliwym (całką osobliwą) r.r. nazywamy takie rozwiązanie, którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przy żadnej wartości stałej C. Sposób rozwiązania równania różniczkowego zależy od jego postaci. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. dy f ( x) g ( y ) dx gdzie f(x), g(y) są określone i ciągłe odpowiednio w przedziałach . Rozwiązanie tego równania polega na sprowadzeniu go do postaci: dy f ( x)dx g ( y) zakładając, że Całkujemy każdą ze stron równania względem zmiennej y (po lewej stronie) i względem x ( po prawej stronie). Otrzymujemy wówczas równanie: dy g ( y) f ( x)dx C gdzie C jest dowolną stałą. Przykład (1) dy y0 dx dy x2 y: y 0 dx dy dx 2 y x x2 dy dx y x2 C 1 ln y C lub x y e 1 C x lub ln y 1 ln C x y Ce 1 x C0 C0 Jeśli rozwiązanie ogólne przedstawimy w postaci: , to ewentualne równanie osobliwe y=0 (można sprawdzić podstawiając y=0 do wyjściowego równania) zostanie ujęte w tym rozwiązaniu. Przykład (2) Zagadnienie Cauchy’ego. dy 2 y 3 0, dx y (0) 1 dy 2y 3 dx dy 2dx y 1,5 ln y 1,5 2 x C y (0) 1 ln 1 1,5 2 0 C0 C0 ln 1 2 1 y e 2 x 1,5 2 Równanie różniczkowe jednorodne ze względu na . dy y f , x 0 dx x gdzie f jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale i zależy tylko (!) od ilorazu Sprowadza się to równanie do równania o zmiennych rozdzielonych poprzez podstawienie: Stąd oraz Po otrzymaniu rozwiązania r.r. względem u powracamy do ilorazu i wyznaczamy funkcję y. Przykład (3) dy x 2 y 2 , x 0, y 0 dx xy y 1 dy x y dx x 2 Po podstawieniu j.w. du 1 u 2 ux dx u du 1 u 2 x u dx u du 1 u 2 u 2 x dx u dx udu x dx udu x u2 ln x C 2 y 2 2 x 2 (ln x C ) Równanie różniczkowe liniowe. dy p ( x) y q( x) dx liniowe względem y i y’. Funkcje p(x) i q(x) są ciągłe w pewnym wspólnym przedziale. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne. dy p( x) y 0 dx Rozwiązaniem tego równania jest Jeśli to zmienne dają się rozdzielić: dy p( x)dx y dy y p( x)dx ln y p( x)dx p ( x ) dx y Ce ,C 0 Przykład (4) ex 2 2 dy xy 0 e x dx 2 dy xye x 0 dx 2 dy xye x : y 0 dx 2 dy xe x dx y dy x2 xe dx y 1 2 ln y e x ln C , C 0 2 1 x2 1 x2 e ln Cy e y Ce 2 2 Jeśli rozszerzymy C na cały zbiór liczb rzeczywistych, to ostatnia równość będzie całką ogólną dla dowolnego C. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne. Jedną z metod rozwiązania tego równania jest metoda „uzmiennienia stałej C” w rozwiązaniu ogólnym r.r. liniowego jednorodnego. Stała C zostaje zastąpiona funkcją argumentu x, ozn. C(x). p ( x ) dx y C( x)e Po zróżniczkowaniu stronami względem x i wstawieniu do r.r. liniowego niejednorodnego wyznacza się funkcję C(x). Przykład (5) dy x2 xy xe dx Rozwiązując r.r. liniowe jednorodne dy xy 0 dx otrzymujemy jego niezerowe rozwiązanie: y Ce x2 2 Dokonujemy uzmiennienia stałej C i rozwiązujemy r.r. liniowe niejednorodne: y C ( x )e x2 2 2 2 x dy dC x2 e C ( x) xe 2 dx dx 2 2 2 x x 2 dC x2 2 e C ( x) xe xC( x)e 2 xex dx 2 2 x dC x2 x2 e xe e 2 dx x2 2 C ( x) xe dx e x2 2 C1 Całka ogólna r.r liniowego niejednorodnego jest równa: y (e x2 2 C1 )e x2 2 x2 2 y e C1e , C1 R x2