Analiza logiczna rozumowa ´n

W. Marciszewski: LOGIKA • Praca zaliczeniowa, wariant 3 • Collegium Civitas, 2002/2003
Tekst umieszczony na serwerze 29.11.2002 w miejsce wcześniejszej wersji.
Analiza logiczna rozumowań
Wiadomości pomocne w rozwiazywaniu
˛
zadań
Przepis na analiz˛e logiczna˛. Na analiz˛e logiczna˛ rozumowania czyli badanie jego poprawności
formalnej składaja˛ si˛e trzy wymienione dalej czynności. B i C sa˛ to kroki podyktowane przez algorytmy (stad
˛ potrafi je wykonać także maszyna). Krok A może wymagać pewnej inwencji w interpretowaniu zdań j˛ezyka naturalnego; o tyle odbiega on od post˛epowania algorytmicznego, które ma
charakter czysto mechaniczny.
(A) Rozpoznanie formy logicznej przesłanek i wniosku wyrażajace
˛ si˛e w zapisaniu ich jako formuł
logicznych w j˛ezyku rachunku predykatów (zawierajacym
˛
w sobie j˛ezyk rachunku zdań).
(B) Utworzenie z tych formuł jednej formuły implikacyjnej φ ⇒ ψ przez umieszczenie w poprzedniku przesłanek, połaczonych
˛
(jeśli jest wi˛ecej niż jedna) symbolem koniunkcji, oraz umieszczenie
wniosku w nast˛epniku.
(C) Zastosowanie procedury prowadzacej
˛ do odpowiedzi na pytanie, czy φ ⇒ ψ jest tautologia˛
(prawem logiki). Jeśli formuła ta jest tautologia,˛ to przyporzadkowane jej rozumowanie (przesłanki
jako odpowiednik poprzednika i wniosek – odpowiednik nast˛epnika) jest poprawne formalnie czyli
takie, że wniosek wynika logicznie z przesłanek.
Poj˛ecie formy logicznej. Forma (inaczej, struktura) logiczna formuły jest wyznaczona przez
wyst˛epujace
˛ w tej formule stałe logiczne (jak ¬, ∧ , ∨, ⇒, ⇔ , ∀, ∃, =) oraz liczb˛e i rozmieszczenie
stałych pozalogicznych i zmiennych. Np. wśród formuł
1. ∀x(P (x) ⇒ ∃yR(y, x))
2. ∀z(Q(z) ⇒ ∃xS(x, z))
3. ∃x(P (x) ⇒ ∃yR(y, x))
formuły 1 i 2 maja˛ t˛e sama˛ form˛e logiczna,˛ choć na każdym miejscu różnia˛ si˛e kształtem stałych
pozalogiczych (w 1 sa˛ to: P, R) i zmiennych indywiduowych (x, y). Formuła 3 różni si˛e od 1 forma˛
logiczna,˛ choć ma te same stałe pozalogiczne i te same zmienne na tych samych pozycjach; różni
si˛e jednak w jednym miejscu stała˛ logiczna˛ (∃ w 3 tam, gdzie ∀ w 1), co wystarcza, żeby powstała
różnica w strukturze czyli formie.
Pod form˛e 1 oraz (identyczna˛ z nia)
˛ 2 podpada nieskończenie wiele zdań j˛ezyka dysponujacego
˛
tymi samymi stałymi logicznymi lub ich odpowiednikami (tzn. słówkami o tej samej treści). Do
takich należy polski. B˛eda˛ to np. nast˛epujace
˛ zdania.
(1/2)1 Dla każdego ciała jest prawda,˛ że jeśli jest ono w ruchu, to istnieje ciało, które je porusza.
(1/2)2 Dla każdego człowieka jest prawda,˛ że jeśli rozwinał
˛ si˛e umysłowo, to istnieje ktoś, komu on
to zawdzi˛ecza.
Przykład analizy logicznej. Rozważmy nast˛epujace
˛ rozumowanie.
Przesłanka: Każde ciało, jeśli jest w ruchu, to jest poruszane przez jakieś ciało.
A wi˛ec
Wniosek: Jakieś ciało jest w ruchu i jest poruszane przez jakieś ciało.
Krok A. Terminy logiczne polskie jeśli, i, każdy, jakiś zast˛epujemy, odpowiednio, terminami logicznymi (stałymi) j˛ezyka rachunku predykatów: ⇒, ∧ , ∀, ∃. Stałe pozalogiczne, jakimi sa˛ predykaty
2
Zadania na analiz˛e logiczna rozumowań
mogłyby pozostać bez zmiany, ale dla wygody wprowadzamy skróty R i P , odpowiednio dla predykatu jednoargumentowego jest w Ruchu i dwuargumentowego Porusza. Form˛e logiczna˛ oddaja˛
teraz nast˛epujace
˛ formuły.
Forma logiczna przesłanki: ∀x(R(x) ⇒ ∃yP (y, x))
Forma logiczna wniosku: ∃x(R(x) ∧ ∃yP (y, x)).
Krok B. Przyporzadkowanie
˛
rozumowaniu formuły implikacyjnej, tj. postaci (φ ⇒ ψ); użyjmy ‘F’
w roli jej nazwy,
F: ∀x(R(x) ⇒ ∃yP (y, x)) ⇒ ∃x(R(x) ∧ ∃yP (y, x)).
Krok C. Procedura˛ stosowna˛ do rozstrzygni˛ecia, czy F jest prawem logiki, sa˛ tabele analityczne (zob.
rozdz. IV, odcinek 5). Stosujac
˛ t˛e procedur˛e, pytamy jakie byłyby konsekwencje, jeśliby formuła F
była fałszywa. Pierwsza˛ jest to, że F miałaby prawdziwy poprzednik i fałszywy nast˛epnik, a wi˛ec
prawdziwa byłaby negacja nast˛epnika. Mamy zatem jako założenia nast˛epujace
˛ formuły:
1. ∀x(R(x) ⇒ ∃yP (y, x))
2. ¬∃x(R(x) ∧ ∃yP (y, x)).
Wyprowadzamy z nich konsekwencje za pomoca˛ reguł kierujacych
˛
rozbiorem każdej formuły na
coraz prostsze składniki, aż dojdzie si˛e do ostatecznych elementów czyli formuł atomowych i ich
negacji; jedne i drugie nazywamy formułami elementarnymi. Wywód ten układa si˛e w drzewo
majace
˛ rozgał˛ezienia w tych miejscach, gdzie formuła˛ rozkładana˛ na składniki jest alternatywa,
implikacja lub negacja koniunkcji. Gdy dojdziemy do końca wywodu, to znaczy pozostana˛ same
formuły elementarne (nie poddajace
˛ si˛e dalszemu rozbiorowi), a na każdej gał˛ezi pojawi si˛e jakaś
para formuł elementarnych mi˛edzy soba˛ sprzecznych, znaczy to, że zaprzeczenie F musi zawsze
prowadzić do sprzeczności. Formuła zaś, której zaprzeczenie zawsze prowadzi do sprzeczności jest
tautologia˛ (zawsze to znaczy przy wszelkim doborze stałych indywiduowych, którymi zast˛epujemy
zmienne indywiduowe opuszczajac
˛ kwantyfikatory). Jeśli natomiast b˛edzie choć jedna gałaź,
˛ na
której nie pojawi si˛e sprzeczność, znaczy to, że dla pewnych indywiduów negacja formuły F jest
spełniona, a wi˛ec F nie jest tautologia.˛
Nasza przykładowa formuła, jak si˛e okazuje po sprawdzeniu, nie jest tautologia,˛ a wi˛ec nie
zapewnia poprawności formalnej rozumowaniu podpadajacemu
˛
pod zwiazany
˛
z nia˛ schemat wnioskowania.
Z a d a n i e 1 – „argumentacja chińska”
Dla zwi˛ezłego przedstawienia rozumowań w zadaniach 1-1 do 1-5 potrzebny b˛edzie predykat:
— GR tzn. jest krajem majacym
˛
gospodark˛e w rozwoju,
przysługujacy
˛ za takie cechy, jak wysoki PKB, konkurencyjność w mi˛edzynarodowej wymianie
handlowej, ustabilizowana waluta, niska inflacja, niskie bezrobocie.
W zakresie tego predykatu mieści si˛e w˛eższa klasa gospodarek, które prócz wyżej wymienionych
własności maja˛ jeszcze cechy zapewniajace
˛ trwałość rozwoju, tj. zabezpieczajace
˛ przed kryzysem i
upadkiem. Obejmiemy je predykatem:
— GRT tzn. jest krajem majacym
˛
gospodark˛e o szansach trwałego rozwoju.
Ponadto, do analizy rozumowania podawanego przez przywódców komunistycznej partii Chin,
stad
˛ nazwanego tu argumentacja˛ chińska,˛ potrzebny b˛edzie predykat:
— DM tzn. jest krajem demokratycznym,
co oznacza pluralizm polityczny, wolne wybory, podział władz, rzady
˛ prawa, niezawisłość sadów,
˛
niezależność banku centralnego, wolne media itd. Trzy wymienione predykaty wyst˛epuja˛ w argumentacji Komunistycznej Partii Chin relacjonowanej w artykule: Robert Stefanicki, „Maść tygry-
Zadania na analiz˛e logiczna˛ rozumowań
3
sia”, Gazeta Wyborcza, 9-11 listopada 2002, s. 20-21.1 Oto streszczenie argumentacji chińskiej.
«Wzorzec ustrojowy, który według pogladu
˛ (PZ) głoszonego ich zdaniem na Zachodzie jest warunkiem koniecznym gospodarki w rozwoju składa si˛e z dwóch czynników: (1) wolny rynek (co
zakłada prywatna˛ własność w przemyśle i usługach) oraz (2) demokracja (w sensie predykatu DM ).
Nie jest jednak prawda˛ – mówia˛ komuniści chińscy – że oba te czynniki sa˛ jednakowo konieczne
do zaistnienia gospodarki w rozwoju. Widać to z tego, że istnieja˛ kraje, które taki rozwój osiagn˛
˛ eły
po wprowadzeniu wolnego rynku, a bez wprowadzania demokracji (Taiwan, Korea Płd., Singapur
etc.).»
Weźmy pod uwag˛e t˛e cz˛eść pogladu
˛ PZ, której zaprzeczaja˛ komuniści chińscy, mianowicie:
[PZ.2] W każdym przypadku to, żeby kraj był demokratyczny jest warunkiem koniecznym tego,
żeby miał on gospodark˛e w rozwoju.
Zadanie 1-1
Czy jest poprawny formalnie argument, w którym z istnienia krajów majacych
˛
gospodark˛e w rozwoju (GR) lecz nie b˛edacych
˛
demokratycznymi (DM ) wywnioskowuje si˛e zaprzeczenie pogladu
˛
PZ.2? Uzasadnij odpowiedź analiza˛ logiczna˛ tego rozumowania.
Zadanie 1-2
Zachodni zwolennicy pogladu
˛ o konieczności demokracji dla rozwoju gospodarczego zarzucaja˛ argumentacji chińskiej, że nie oddaje ona należycie tego pogladu.
˛
Rozwój gospodarczy interpretuje
si˛e w tym argumencie za pomoca˛ predykatu GR, podczas gdy powinno si˛e użyć predykatu GRT .
Tak sprecyzowany poglad
˛ PZ.2 oznaczmy przez PZ.2*. W autentycznym argumencie zachodnim nie
twierdzi si˛e, że żaden rozwój gospodarczy nie jest bez demokracji możliwy, ale że nie jest możliwy
rozwój trwały.
Zbadaj, czy argument chiński ma moc przy tym wyjaśnieniu, biorac
˛ zarazem pod uwag˛e, że zbiór
gospodarek cechujacych
˛
si˛e rozwojem trwałym (zakres predykatu GRT ) zawiera si˛e w obszerniejszym zbiorze gospodarek rozwijajacych
˛
si˛e, o których nic si˛e nie twierdzi co do trwałości rozwoju
(zakres predykatu GR). Argument chiński ma w tym wariancie dwie przesłanki: (1) powyższe
twierdzenie o zawieraniu si˛e (trzeba je wyrazić symbolicznie) oraz (2) zastosowane w Z-1 twierdzenie o istnieniu krajów pozbawionych demokracji a cieszacych
˛
si˛e rozwojem gospodarzym (w sensie
GR). Zamierzona˛ konkluzja˛ jest negacja pogladu
˛ PZ.2* czyli negacja twierdzenia, że demokracja
jest warunkiem koniecznym trwałego rozwoju gospodarczego.
Zadanie 1-3
Zbadaj poprawność formalna˛ uzasadnienia pogladu
˛
PZ.2*, które zawiera si˛e w poniższych
przesłankach 1-4. Proponowane oznaczenia dwuliterowe sa˛ skrótami predykatów wyróżnionych
kursywa.˛
1. Jeśli państwo nie jest demokratyczne (DM ), to nie funkcjonuja˛ w nim mechanizmy zapobiegania korupcji (ZK).
2. Jeśli w państwie nie funkcjonuja˛ mechanizmy zapobiegania korupcji, to wzrasta interwencjonizm państwowy (IP ) [tzn. sytuacja, w której decyzje gospodarcze zamiast
1
Artykuł ten opisuje stan Chin Ludowych, którego twórca˛ jest w znacznej mierze Zemin Jiang, pierwszy
sekretarz partii komunistycznej w latach 1989-2002. Streszczone dalej rozumowanie jest rozsiane w różnych
miejscach tekstu, m.in. w nast˛epujacym.
˛
«Pekin przejmuje neoautorytarna˛ doktryn˛e z sukcesem przetestowana˛
już przez „azjatyckie tygrysy” — silne państwo i ograniczenie wolności obywatelskich sa˛ koniecznym warunkiem szybkiego wzrostu gospodarczego.» (Ostatni akapit w odcinku „Gensek Jiang szuka drogi środka”).
4
Zadania na analiz˛e logiczna rozumowań
przedsi˛ebiorców podejmuja˛ politycy i urz˛ednicy, a ci sa˛ niekompetentni w sprawach gospodarczych i nie maja˛ motywacji do dbania o dobro przedsi˛ebiorstw].
3. Jeśli wzrasta interwencjonizm państwowy, to nast˛epuje znaczace
˛ ograniczenie wolnego rynku
(OR).
4. Jeśli nast˛epuje znaczace
˛ ograniczenie wolnego rynku, to nie nast˛epuje trwały rozwój gopodarki (GRT ).
Zadanie 1-4
Zbadaj poprawność innej wersji argumentacji na rzecz PZ.2*. Jest to nast˛epujace
˛ rozumowanie.
[Wskazówka. Do przeprowadzenia analizy logicznej wystarczy tu posłużenie si˛e j˛ezykiem rachunku
zdań, a wi˛ec bez wprowadzania predykatów. Zwroty „brak” i „żeby nie było” należy oddać symbolem negacji. Litera „W” wskazuje na wniosek.]
1. Brak demokracji wystarcza do zaistnienia korupcji.
2. Korupcja wystarcza do tego, żeby nie było wolnego rynku.
3. Wolny rynek jest konieczny do trwałego rozwoju gopodarczego.
W: Demokracja jest konieczna do trwałego rozwoju gospodarczego,
Zadanie 1-5
Czy argument zwolenników tezy PZ.2* b˛edzie poprawny formalnie, gdy przesłank˛e 2 z zadania 1-4
zastapimy
˛
zdaniem „korupcja jest konieczna do tego, żeby nie było wolnego rynku”?
Z a d a n i e 2 – „zniżki studenckie”
Rozpatrzmy argumenty za różnymi odpowiedziami na pytanie:
Czy studenci powinni mieć zniżki komunikacyjne?
Przez zniżki komunikacyjne rozumie si˛e prawo do ulgowych biletów na określone środki komunikacji, np. koleje i środki komunikacji miejskiej. Załóżmy, że zakres zniżek komunikacyjnych jest
dokładnie określony i taki sam bierze si˛e pod uwag˛e w każdej argumentacji. Problem pozostaje
jednak niedookreślony, gdyż nie jest rozstrzygni˛ete, czy chodzi o wszystkich studentów czy tylko
niektórych oraz jaki jest tytuł owego uprawnienia do biletów ulgowych. W zależności od tego, jakiego sprecyzowania dostarczy si˛e w argumentacji, powstana˛ różne argumenty; jedne z nich okaża˛
si˛e formalnie poprawne, inne nie.
Zadanie 2-1
1. Wszyscy studenci sa˛ ubodzy.
2. Wszystkim ubogim należa˛ si˛e zniżki komnikacyjne
W: Wszystkim studentom należa˛ si˛e zniżki komunikacyjne.
St( ) ... jest studentem
U b( ) ... jest ubogi
Km( ) ... należa˛ si˛e zniżki komunikacyjna
Zadanie 2-2
1. Wszyscy studenci sa˛ ubodzy.
2. Pewnym ubogim należa˛ si˛e zniżki komnikacyjne
W: Pewnym studentom należa˛ si˛e zniżki komunikacyjne.
Zadanie 2-3
1. Wszyscy studenci sa˛ ubodzy.
2. Tylko ubogim należa˛ si˛e zniżki komnikacyjne
Zadania na analiz˛e logiczna˛ rozumowań
5
[Tzn. ubóstwo jest warunkiem koniecznym zasługiwania na pomoc; nie przesadza
˛
si˛e w tym zdaniu, czy jest
warunkiem wystarczajacym.]
˛
W: Wszystkim studentom należa˛ si˛e wszelkie zniżki komunikacyjne.
Zadanie 2-4
1. Wszyscy studenci socjologii sa˛ w przyszłości potrzebni krajowi.
2. Niektórzy potrzebni krajowi zasługuja˛ na zniżki.
W. Niektórzy studenci socjologii zasługuja˛ na zniżki.
Sc( ) ... jest studentem socjologii
Kr( ) ... jest w przyszłości potrzebny krajowi
Zz( ) ... zasługuje na zniżki
Zadanie 2-5
Czy wśród rozumowań od 1-1 do 2-4 sa˛ takie, które maja˛ t˛e sama˛ form˛e logiczna?
˛ Jeśli takie
znajdujesz, to wskaż je i uzasadnij odpowiedź.