Slajdy - Katedra Informatyki

Literatura
Całkowanie numeryczne
Obliczenia naukowe
Wykład nr 14
Paweł Zieliński
Katedra Informatyki,
Wydział Podstawowych Problemów Techniki,
Politechnika Wrocławska
Literatura
Całkowanie numeryczne
Literatura
Literatura podstawowa
[1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, WNT, 2005.
[2] A. Bjorck, G. Dahlquist, Metody numeryczne, PWN, 1987.
[3] M. Dryja, J. i M. Jankowscy, Przeglad
˛ metod i algorytmów
numerycznych, cz. 2, WNT, 1988.
[4] Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wasowski,
˛
Metody numeryczne,
WNT 1998.
[5] J. i M. Jankowscy, Przeglad
˛ metod i algorytmów numerycznych,
cz. 1, WNT, 1988.
[6] J. Stoer, R. Bulirsch, Wstep
˛ do analizy numerycznej, PWN, 1987.
Literatura uzupełniajaca
˛
[7] Kiełbasiński, H. Schwetlick, Numeryczna algebra liniowa, WNT,
1993.
[8] A. Ralston, Wstep
˛ do analizy numerycznej, PWN, 1975.
Znaczna cze˛ ść wykładu została przygotowana na
podstawie ksiażki
˛
[5].
Literatura
Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne
Niech F = F (a, b) bedzie
˛
klasa˛ funkcji całkowalnych w
przedziale [a, b].
Całk˛e funkcji f bedziemy
˛
oznaczali przez I (I : F → R)
Z b
I(f ) =
f (x)dx f ∈ F .
a
Całk˛e I(f ) bedziemy
˛
przybliżali funkcjonałami Q
n
X
Q(f ) =
Ak f (xk ), I(f ) ≈ Q(f ),
k =0
nazywanymi kwadraturami. {xk } ∈ [a, b] sa˛ wezłami,
˛
a {Ak } sa˛
współczynnikami kwadratury Q.
Literatura
Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne
Rozpatrzmy bardziej ogólna˛ funkcje˛ Ip : F → R
Z b
Ip (f ) =
p(x)f (x)dx f ∈ F , Ip (f) ≈ Q(f),
a
gdzie p ∈ F jest nieujemna˛ funkcja˛ całkowalna˛ – waga,
˛
Definicja 1
Funkcje˛ R : F → R o wartościach R(f ) = Ip (f ) − Q(f ) nazywamy
reszta˛ kwadratury Q, Ip (f ) = Q(f ) + R(f ).
Definicja 2
Kwadratura Q jest rz˛edu r ⇔
• R(f ) = 0 (Ip (f ) = Q(f )) dla każdego wielomianu f ∈ Πr −1 ,
• istnieje ω ∈ Πr \ Πr −1 takie, że R(ω) 6= 0 (Ip (f ) 6= Q(f )).
Twierdzenie 1
Pn
Niech Q bedzie
˛
kwadratura˛ o wartościach Q(f ) = k =0 Ak f (xk ),
xk ∈ [a, b], f ∈ F , Wówczas rzad
˛ kwadratury Q nie przekracza
2n + 2.
Literatura
Całkowanie numeryczne
Zbieżność ciagu
˛ kwadratur
Rozpatrzmy ciag
˛ kwadratur {Qn }, Qn : F → R,
Qn (f ) =
n
X
(n)
(n)
Ak f (xk ) (n = 0, 1, . . .).
k =0
(0)
x0
(1)
x0
(2)
x0
..
.
(0)
(1)
x1
(2)
x1
..
.
(2)
x2
..
.
A0
(1)
A0
(2)
A0
. . ..
. .
(1)
A1
(2)
A1
..
.
(2)
A2
..
.
lim Qn (f ) = Ip (f ) ∀f ∈ C[a, b].
n→∞
..
.
Literatura
Całkowanie numeryczne
Zbieżność ciagu
˛ kwadratur
Zajmijmy sie˛ zbieżnościa˛ {Qn } do całek funkcji ciagłych.
˛
Twierdzenie 2
∀f ∈C[a,b] limn→∞ Qn (f ) = Ip (f ) ⇔
• ∀f ∈Π limn→∞ Qn (f ) = Ip (f ),
• ∃K >0 ∀n∈N∪{0}
(n)
k =0 |Ak |
Pn
≤ K.
Twierdzenie 3
(n)
Jeżeli Ak ≥ 0 (k = 0, 1, . . . , n; n = 0, 1, . . .), to nastepuj
˛ ace
˛
zdania sa˛ równoważne
• ∀f ∈C[a,b] limn→∞ Qn (f ) = Ip (f )
• ∀f ∈Π limn→∞ Qn (f ) = Ip (f ).
Literatura
Całkowanie numeryczne
Kwadratury interpolacyjne
Zakładamy, że dane sa˛ parami różne wezły
˛
x0 , x1 , . . . , xn ,
xi ∈ [a, b] oraz funkcja f ∈ F .
Interpolujemy funkcje˛ f za pomoca˛ wielomianu Ln ∈ Πn
Ln (x) =
n
X
f (xk )λk (x),
λk (x) =
k =0
ω(x)
,
(x − xk )ω 0 (xk )
gdzie ω(x) = (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ). Tak wiec
˛
f (x) = Ln (x) + rn (x)
gdzie rn (x) =
dla każdego x ∈ [a, b],
1
(n+1) (ζ)
(n+1)! ω(x)f
dla f ∈ C n+1 [a, b].
Literatura
Całkowanie numeryczne
Kwadratury interpolacyjne
Całkujac
˛ f otrzymujemy
Z b
Z
n
X
p(x)f (x)dx =
f (xk )
a
=
k =0
n
X
b
Z
p(x)λk (x)dx +
a
b
p(x)rn (x)dx
a
Ak f (xk ) + Rn (f ) = Ip (f ),
k =0
Rb
Rb
Ak = a p(x)λk (x)dx, Rn (f ) = a p(x)rn (x)dx.
Łatwo zauważyć, że jeśli f ∈ Πn , to Rn (f ) = 0. Stad
˛ rzad
˛ Qn
jest co najmniej n + 1.
Lemat 1
Rzad
˛ ρ kwadratury interpolacyjnej spełnia nierówność
n + 1 ≤ ρ ≤ 2n + 2.
Twierdzenie 4
P
Kwadratura Qn (f ) = nk =0 Ak f (x) ma rzad
˛ co najmniej n + 1 ⇔
Qn jest kwadratura˛ interpolacyjna.
˛
Literatura
Całkowanie numeryczne
Kwadratury Newtona-Cotesa
Definicja 3
Rb
Kwadraturami Newtona-Cotesa przybliżajacymi
˛
a p(x)f (x)dx
sa˛ nazywane kwadratury Qn (f ) = I(Ln ), gdzie Ln jest
wielomianem Lagrange’a interpolujacym
˛
funkcje˛ f opartym na
równoodległych wezłach.
˛
Zakłada sie˛ również, że waga p ≡ 1
w [a, b].
Z
I(f ) =
b
f (x)dx
a
Qn (f ) =
n
X
k =0
Ak f (xk ), xk = a + kh, k = 0, . . . , n h =
b−a
.
n
Literatura
Całkowanie numeryczne
Kwadratury Newtona-Cotesa
Współczynniki Ak kwadratury Newtona-Cotesa sa˛ postaci


Z b
 x = a + th 
ω(x)
t ∈ [0, n]
dx =
Ak =
0


a (x − xk )ω (xk )
dx = hdt


ω(x) = Πnj=0 (x − xj )






n+1
n


Z n


ω(a
+
th)
=
h
Π
(t
−
j)
j=0
ω(a + th)
0
n
= h
dt =
0
 ω (x) = Πj=0 (xk − xj )

0 h(t − k )ω (a + kh)




j6=k


 0

ω (a + kh) = k !(n − k )!hn (−1)n−k
Z n
Z
hn+1 Πnj=0 (t − j)
h(−1)n−k n n
= h
dt
=
Π (t − j) dt.
n
n−k
k!(n − k)! 0 j6j=0
0 (t − k )hk !(n − k )!h (−1)
=k
Literatura
Całkowanie numeryczne
Kwadratury Newtona-Cotesa
Twierdzenie 5
Reszta kwadratury Newtona-Cotesa wyraża sie˛ wzorem

 f (n+1) (ζ) R b ω(x)dx
(n = 1, 3, 5, . . . a < ζ < b)
(n+1)! a
Rn (f ) =
R
(n+2)
(ζ) b
 f
xω(x)dx (n = 2, 4, 6, . . . a < ζ < b)
(n+2)!
a
Jeżeli f ∈ Πn+1 , n parzyste, Rn (f ) = 0.
Wniosek 1
Niech ρ oznacza rzad
˛ kwadratury Newtona-Cotesa, wówczas
n + 1 (n = 1, 3, 5, . . .)
ρ=
n + 2 (n = 2, 4, 6, . . .)
Literatura
Całkowanie numeryczne
Kwadratury Newtona-Cotesa
n = 1 wzór trapezów I(f ) = Q1 (f ) + R1 (f ), f ∈ C 2 [a, b]
Q1 (f ) =
(b − a)3 00
h3 00
b−a
(f (a)+f (b)), R1 (f ) = −
f (ζ) = − f (ζ),
2
12
12
a < ζ < b, h = b − a.
n = 2 wzór Simpsona I(f ) = Q2 (f ) + R2 (f ), f ∈ C (4) [a, b]
b−a
(f (a) + 4f ((a + b)/2) + f (b)),
6
b − a 5 f (4) (ζ)
h5
R2 (f ) = −
= − f (4) (ζ),
2
90
90
b−a
a < ζ < b, h =
.
2
Q2 (f ) =
Literatura
Całkowanie numeryczne
Kwadratury Newtona-Cotesa
Qn (f ) =
(n)
xk
n
X
(n)
(n)
Ak f (xk ) = (b − a)
k =0
n
X
(n)
(n)
Bk f (xk ),
k =0
= a + khn , k = 0, 1, . . . , n, hn = b−a
n .
1
(n)
(n)
(n)
(n)
Bk =
A , Bk = Bn−k , k = 0, 1, . . . , n.
b−a k
Niech f ≡ 1
Qn (f ) = Qn (1) = (b − a)
n
X
(n)
Bk
= I(f ) = I(1) = b − a.
k =0
Pn
(n)
Stad
˛ dla dowolnego n, suma k =0 Bk = 1. Dla n > 9 niektóre
P
(n)
współczynniki sa˛ ujemne. Zatem nk =0 |Bk | > 1.
P
(n)
Oznaczmy σn = nk =0 |Bk |. σn rośnie szybko. Np. σ10 ≈ 3.1,
σ15 ≈ 8.3, σ20 ≈ 560.
Literatura
Całkowanie numeryczne
Kwadratury Newtona-Cotesa
Bład
˛ bezwzgledny
˛
obliczeń Qn (f ) można oszacować
nastepuj
˛ aco:
˛
C2−t σn , σn → ∞, n → ∞.
Wady kwadratur Newtona-Cotesa
(n)
• Dla n > 10 współczynniki Ak
moga˛ być ujemne. Wielkość
n | → ∞. Zatem nie jest spełnione założenie
|A
k =0
k
twierdzenia 2 (b). Moga˛ wiec
˛ istnieć funkcje ciagłe,
˛
dla
których kwadratury moga˛ być rozbieżne.
Pn
• Błedy
˛ zaokragle
˛ ń moga˛ zniekształcać wynik.
Powyższe wady można znacznie zniwelować dzielac
˛ przedział
całkowania na kilka mniejszych podprzedziałów i stosujac
˛ w
każdym z nich kwadratury z małym n.
Literatura
Całkowanie numeryczne
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Złożony wzór trapezów. Niech f ∈ C 2 [a, b], xk = a + kh,
k = 0, 1, . . . , n, h = b−a
n .
Z b
Z
n−1
n−1 X xk +1
X
h3 00
h
(f(xk ) + f(xk+1 )) − f (ζk )
f (x)dx =
f (x)dx =
2
12
a
xk
k=0
k =0
= h
n
X
00
f (xk ) −
k =0
00
min f (ζk ) ≤
k
n−1
n−1
h3 X
12
1
n
00
f (ζk ) = Tn (f ) + RnT (f )
k =0
n−1
X
k =0
00
00
f (ζk ) ≤ max f (ζk )
k
1 X 00
00
f (ζk ) = f (ζ), ζ ∈ (a, b).
n
k =0
Literatura
Całkowanie numeryczne
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Tn (f ) = h
n
X
00
f (xk )
k =0
n−1
RnT (f ) = −
h3 X 00
nh3 00
f (ζk ) = −
f (ζ), ζ ∈ (a, b).
12
12
k =0
Literatura
Całkowanie numeryczne
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Złożony wzór Simpsona. Niech f ∈ C 4 [a, b], xk = a + kh,
k = 0, 1, . . . , n, h = b−a
n . m jest liczba˛ podziałów 2m = n.
Z b
Z
m−1
x
X
2k +2
f (x)dx =
f (x)dx
a
k =0
=
x2k
m−1
X
k =0
h5 (4)
2h
(f (x2k ) + 4f (x2k +1 ) + f (x2k +2 )) −
f (ζk )
6
90
s
(f ).
= Sm (f ) + Rm
Sm (f ) =
m−1
2h X
(f (x2k ) + 4f (x2k +1 ) + f (x2k +2 ))
6
k =0
s
Rm
(f ) = −
m−1
h5 X (4)
mh5 (4)
f (ζk ) = −
f (ζ), ζ ∈ (a, b).
90
90
k =0
Literatura
Całkowanie numeryczne
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
W pewnych przypadkach korzystajac
˛ z oszacowania reszty
kwadratury można wyznaczyć liczbe˛ podprzedziałów m, na
które należy podzielić przedział całkowania, aby osiagn
˛ ać
˛
zadana˛ dokładność .
Jeżeli jest to niemożliwe lub oszacowanie jest zawyżone,
wówczas należy obliczać wartości kolejnych kwadratur
Qm1 (f ), Qm2 (f ), Qm3 (f ), . . .. Obliczenia należy wykonywać aż
spełniony bedzie
˛
warunek
|Qmk (f ) − Qmk −1 (f )|
< .
|Qmk (f )|