docmn - ćw8 - handouts
download 
Reklamacja Transkrypt
mn - ćw8 - handouts
Kwadratury Newtona-Cotesa Metody numeryczne dr Artur Woike Ćwiczenia nr 8 Kwadratury Newtona-Cotesa dr Artur Woike Metody numeryczne Zagadnienie całkowania numerycznego Zamknięte kwadratury Newtona-Cotesa Kwadratury Newtona-Cotesa Sformułowanie zagadnienia Będziemy rozpatrywali zagadnienie przybliżonego obliczania całki oznaczonej funkcji jednej zmiennej: Z b I (f ) = f (x)dx. a Uwaga. Dlaczego stosujemy przybliżone metody całkowania: 1) Wyznaczenie funkcji pierwotnej w niektórych przypadkach może być bardzo trudne lub niemożliwe. 2) Jeżeli funkcja podcałkowa jest ookreślona jedynie za pomocą tablicy, to wtedy pojęcie funkcji pierwotnej traci sens. dr Artur Woike Metody numeryczne Kwadratury Newtona-Cotesa Zagadnienie całkowania numerycznego Zamknięte kwadratury Newtona-Cotesa Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Wartość całki oznaczonej I (f ) można interpretować geometrycznie jako pole powierzchni obszaru ograniczonego prostymi x = a, x = b, y = 0 oraz krzywą y = f (x). Uwaga. Przyjmujemy, że jeśli obszar ograniczony powyższymi krzywymi znajduje się pod prostą y = 0, to jego pole traktujemy jako pole ujemne. dr Artur Woike Kwadratury Newtona-Cotesa Metody numeryczne Zagadnienie całkowania numerycznego Zamknięte kwadratury Newtona-Cotesa Podstawowe zasady całkowania numerycznego Uwaga. Jeżeli przedział całkowania jest skończony, to na ogół funkcję podcałkową f zastępujemy pewną łatwo całkowalną funkcją interpolującą ϕ. Na przykład jeśli dane są węzły x0 , . . . , xN oraz odpowiadające im wartości f (x0 ), . . . , f (xN ) funkcji podcałkowej w węzłach, to możemy przyjąć ϕ = WN , gdzie WN jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a dla powyższych danych. dr Artur Woike Metody numeryczne Kwadratury Newtona-Cotesa Zagadnienie całkowania numerycznego Zamknięte kwadratury Newtona-Cotesa Kwadratury Do przybliżonego obliczania całek I (f ) będziemy stosować następujące wzory: I (f ) ≈ S(f ) = N X Ak f (xk ), k=0 gdzie xk ∈ ha, bi, a współczynniki Ak nie zależą od funkcji podcałkowej f . Definicja. (kwadratura) Wzór S(f ) = jej węzłami. PN k=0 Ak f (xk ) nazywamy kwadraturą, a punkty xk dr Artur Woike Kwadratury Newtona-Cotesa Metody numeryczne Zagadnienie całkowania numerycznego Zamknięte kwadratury Newtona-Cotesa Rząd kwadratury Uwaga. Za kryterium dokładności kwadratury S(f ) przyjmuje się jej zgodność z całką I (f ) w przypadku gdy funkcja podcałkowa f jest wielomianem. Definicja. (rząd kwadratury) Mówimy, że kwadratura S(f ) jest rzędu r (r 1) jeżeli spełnione są następujące warunki: 1) dla wszystkich wielomianów W stopnia mniejszego od r (deg W < r ) zachodzi równość I (W ) = S(W ); 2) istnieje wielomian Wr stopnia dokładnie r (deg Wr = r ), taki że I (Wr ) 6= S(Wr ). dr Artur Woike Metody numeryczne Kwadratury Newtona-Cotesa Zagadnienie całkowania numerycznego Zamknięte kwadratury Newtona-Cotesa Zamknięte kwadratury Newtona-Cotesa Twierdzenie. (postać zamkniętych kwadratur Newtona-Cotesa) Niech N 1 będzie dowolne. Zamknięte kwadratury NewtonaCotesa mają następującą postać: h = ∀k=0,...,N xk = ∀k=0,...,N Ak = b−a , N a + kh, Z b φk (x)dx = a (−1)N−k = h k!(N − k)! S(f ) = N X Z 0 N t(t − 1) . . . (t − N) dt, t −k Ak f (xk ). k=0 dr Artur Woike Kwadratury Newtona-Cotesa Metody numeryczne Zagadnienie całkowania numerycznego Zamknięte kwadratury Newtona-Cotesa Stosowanie kwadratur Newtona-Cotesa Zadanie 1. Wyznaczyć ”wzór trapezów” (zamknięta kwadratura NewtonaCotesa dla N = 1). Zbadać rząd tej kwadratury oraz wyznaczyć doR 2π kładne i Rprzybliżone wartości całek oznaczonych I (f ) = 0 sin xdx i I (f ) = 1e x1 dx. Przyjąć π ≈ 3.14159 i e ≈ 2.71828. dr Artur Woike Metody numeryczne Kwadratury Newtona-Cotesa Zagadnienie całkowania numerycznego Zamknięte kwadratury Newtona-Cotesa Stosowanie kwadratur Newtona-Cotesa Zadanie 2. Wyznaczyć ”wzór parabol” (zamknięta kwadratura Newtona-Cotesa dla N = 2). Zbadać rząd tej kwadratury oraz wyznaczyć dokładne i R 2π przybliżone wartości całek oznaczonych I (f ) = 0 sin xdx i I (f ) = Re 1 1 x dx. Przyjąć π ≈ 3.14159 i e ≈ 2.71828. dr Artur Woike Kwadratury Newtona-Cotesa Metody numeryczne Zagadnienie całkowania numerycznego Zamknięte kwadratury Newtona-Cotesa Praca domowa Zadanie 3. Wyznaczyć ”wzór trzech ósmych” (zamknięta kwadratura NewtonaCotesa dla N = 3). Zbadać rząd tej kwadratury oraz wyznaczyć doR 2π kładne i Rprzybliżone wartości całek oznaczonych I (f ) = 0 sin xdx i I (f ) = 1e x1 dx. Przyjąć π ≈ 3.14159 i e ≈ 2.71828. dr Artur Woike Metody numeryczne
