2 - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Liczby zespolone
Materiały pomocnicze do ćwiczeń – termin T5
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Tomasz Rutkowski, dr inż.
Wprowadzenie
Powszechnie używamy liczb. Znamy liczby naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste.
Te trzy ostatnie zbiory z działaniami dodawania i mnożenia posiadają właściwości, które
klasyfikują je do obiektów zwanych w matematyce ciałami. Nas ciała liczb interesują między
innymi ze względu na możliwości obliczenia pierwiastków wielomianów. Weźmy
przykładowo wielomian:
p( x ) = x 2 − 5 x + 6
Jest to moniczny (jedynka przy wyrazie o najwyższej potędze) wielomian drugiego rzędu
(dwójka jest najwyższą potęgą wyrazów wielomianu). Dla tego prostego przykładu, aby
obliczyć, jakie wartości mają pierwiastki tego wielomianu, czyli dla jakich liczb r zachodzi
równość:
p( x ) = 0
(1)
możemy skorzystać, ze znanych ze szkoły średniej wzorów Viète’y:
p( x ) = ( x − r1 )( x − r2 ) = x 2 − (r1 + r2 )x + r1 r2 ⇒ r1 + r2 = 5
r1 r2 = 6
Nietrudno stąd podać wartości pierwiastków r1 = 2 oraz r2 = 3 . I teraz możliwe jest
przedstawienie wielomianu w postaci czynnikowej:
p( x ) = x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 )( x − 3 )
W ogólnym przypadku rzeczywistego wielomianu drugiego rzędu:
∆
p( x ) = ax 2 + bx + c
(2)
w którym współczynniki a ,b ,c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i zakładamy, że a ≠ 0
możemy również korzystając z wiedzy wyniesionej ze szkoły średniej wyznaczyć pierwiastki
równania (1). Wiemy, że równanie dowolnej kanonicznej paraboli z kierownicą x = x0 ma
postać:
2
y( x ) = d ( x − x0 ) + e
(3)
w którym d określa „szerokość” i „skierowanie” ramion paraboli a e „pionowe
przesunięcie” paraboli. Jeżeli będziemy mogli wyrazić d ,e , x0 w zależności od a ,b ,c to
będzie to oznaczało, że dowolny wielomian postaci (2) można przedstawić wykresem jako
parabolę (3). Ponieważ:
2
y( x ) = d ( x − x0 ) + e = dx 2 − 2dx0 x + dx02 + e
więc:
d =a
− 2 dx0 = b ⇒ x0 = − b (2 a )
dx02 + e = c ⇒ e = c − b 2 (4 a )
Stąd dowolny wielomian (2) może być przedstawiony jako parabola:
2
b
b2 

p( x ) = a  x +  +  c − 
2a  
4a 

Z czego łatwo uzyskać znany ze szkoły średniej wynik – pierwiastki równania (1) w postaci:
x=
− b ± b 2 − 4 ac
2a
Stamtąd też znamy odpowiedź, że jeżeli b 2 − 4 ac ma wartość ujemną, to pierwiastki
równania wielomianowego (3) nie istnieją. Dokładnie mówiąc, nie istnieją pierwiastki tego
równania w dziedzinie liczb rzeczywistych. Weźmy dla przykładu wielomian:
p( x ) = x 2 + 4
Rysunek 1. Interpretacja graficzna wielomianu p( x ) = x 2 + 4
Jest to parabola z kierownicą x = 0 dla której p(0 ) = 4 . Wielomian p( x ) nigdy nie osiąga
wartości mniejszej od tej liczby. Formalnie pierwiastki równania (1) tego wielomianu są dane
r1,2 = ± − 4 = ±2 − 1 . Liczymy je wprowadzając nowy obiekt matematyczny - symbol j
zwany jedynką urojoną określony jako:
∆
j 2 = − 1 lub j = − 1
(4)
Możemy zatem dla tego drugiego prostego przykładu napisać r1,2 = ± − 4 j = ±2 j i podać
postać czynnikową rozważanego w nim wielomianu
p( x ) = ( x + 2 j )( x − 2 j )
W ten sposób znaleźliśmy się blisko liczb nazywanych liczbami zespolonymi, które znalazły
szerokie zastosowanie w technice. Liczby zespolone nie są liczbami w znaczeniu potocznym,
takimi jakich używamy w codziennych rachunkach lub pomiarach. Wszelako są one
niezmiernie użyteczne w technice.
Definicja liczby zespolonej
Liczbą zespoloną c nazywamy parę uporządkowaną (a ,b ) liczb rzeczywistych a i b .
Zapisujemy to:
c = (a ,b )
(5)
Mówimy, że liczba zespolona składa się z dwóch części: części rzeczywistej (realis) a i
części urojonej (imaginalis) b .
Piszemy:
Re{z} = a
Im{z} = b
Dla tak określonej liczby zespolonej definiuje się pojęcie równości oraz podstawowe
działania arytmetyczne. Podamy teraz tylko definicje równości liczb zespolonych, natomiast
definicje działań pokażemy dla różnych postaci liczb zespolonych.
Znajomość liczb zespolonych pozwala podać podstawowe twierdzenie algebry, które
wykorzystaliśmy w zasadzie w rozważanych wyżej prostych przykładach, poszukując dla
wielomianu stopnia drugiego dwóch pierwiastków równanie wielomianowego postaci (1).
Podstawowe twierdzenie algebry
Każde wielomianowe równanie n-tego rzędu posiada dokładnie n pierwiastków zespolonych.
Podane twierdzenie, jest niezmiernie silnym narzędziem algebraicznym. Mówi ono, że każdy
wielomian postaci:
∆ n
p( x ) = an x n + a n−1 x n−1 + K + ai x i + K + a1 x + a0 = ∑ ai x i
i =0
można zawsze przedstawić w postaci:
∆
n
p( x ) = an ( x − rn )( x − rn−1 ) ⋅ K ⋅ ( x − r2 )( x − r1 ) = a n ∏ ( x − ri )
i =1
gdzie liczby ri są pierwiastkami równania wielomianowego n-tego rzędu, będącymi liczbami
rzeczywistymi lub zespolonymi.
Podstawy liczb zespolonych
Dwie liczby zespolone c1 = (a1 ,b1 ) i c2 = (a2 ,b2 ) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:
a1 = a2 i b1 = b2
(6)
Postać definicyjna liczb zespolonych jest w praktyce obliczeniowej wykorzystywana rzadko.
W obliczeniach korzysta się z innych postaci zapisu liczb zespolonych. Te postacie to: postać
algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza.
Postać algebraiczna liczby zespolonej
Dla zdefiniowania postaci algebraicznej liczby zespolonej wykorzystuję się symbol j
określony wzorem (4). Liczbę zespoloną c w postaci algebraicznej przedstawia się
następująco:
(7)
c = a + jb
Dwie liczby zespolone c = a + jb i c ∗ = a − jb nazywamy liczbami zespolonymi
sprzężonymi. Liczby zespolone sprzężone mają, jak widać, identyczne części rzeczywiste i
przeciwne części urojone.
Podamy teraz definicje podstawowych działań dla liczb zespolonych w notacji algebraicznej:
• dodawanie i odejmowanie
c1 ± c2 = (a1 + jb1 ) ± (a2 + jb2 ) = (a1 ± a2 ) + j(b1 ± b2 )
(8)
• mnożenie
c1c2 = (a1 + jb1 )(a2 + jb2 ) = (a1a2 − b1b2 ) + j (a1b2 + a2b1 )
(9)
c1 a1 + jb1 (a1 + jb1 )(a2 − jb2 ) (a1a2 + b1b2 ) + j (a2b1 − a1b2 )
=
=
=
;c2 ≠ 0
c2 a2 + jb2 (a2 + jb2 )(a2 − jb2 )
a22 + b22
(10)
• dzielenie
Korzystając z tych definicji można udowodnić zachodzenie zastępujących zależności:
♥ dla wartości sprzężonej sumy i różnicy liczb zespolonych:
(c1 ± c2 )∗ = c1∗ ± c2∗
(11)
♥ dla wartości sprzężonej iloczynu liczb zespolonych:
(c1c2 )∗ = c1∗c2∗
(12)
♥ dla wartości sprzężonej ilorazu liczb zespolonych:
 c1

 c2
∗
c∗

 = 1∗ ;c2 ≠ 0
c2

(13)
♥ dla wartości sprzężonej liczby sprzężonej:
(c )
∗ ∗
=c
(14)
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Liczby rzeczywiste mają swoją interpretację geometryczną - każdej liczbie rzeczywistej
odpowiada punkt na osi liczbowej. Również liczby zespolone posiadają swoją interpretację
geometryczną - każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt na tak zwanej płaszczyźnie
zespolonej. Układ współrzędnych na tej płaszczyźnie tworzą dwie osie: oś pozioma części
rzeczywistej liczby, oznaczana Re (Realis), nazywana osią rzeczywistą i oś pionowa części
urojonej liczby, oznaczana Im (Imaginalis), nazywana osią urojoną. Współrzędnymi punktu
na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadającego liczbie zespolonej c = a + jb są: na osi Re
część rzeczywista liczby zespolonej a na osi Im część urojona tej liczby. Zilustrowane to
zostało na rys. 2. Odcinek 0 c nazywany jest czasem wskazem. Rysunek ten pokazuje, że
liczbę zespoloną można określić przez dwie inne wielkości: długość odcinka 0c oraz kąt jaki
tworzy ten odcinek z osią Re. Znając wartości części rzeczywistej i urojonej liczby zespolonej
możemy obliczyć:
♣ długość odcinka 0 c , którą będziemy oznaczali c lub Mod c i nazywali modułem liczby
zespolonej:
c = Mod c = a 2 + b 2
(15)
♣ kąt pomiędzy osią Re a odcinkiem 0 c odmierzany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara,
który będziemy oznaczali ϕ lub Arg c i nazywali argumentem liczby zespolonej:
b
ϕ = Arg c = arctg
(16)
a
gdzie: arctg (⋅) - funkcja odwrotna do funkcji tg (⋅)
Można pokazać, że zachodzą następujące zależności:
Mod c = Mod c ∗
(17)
Arg c = − Arg c ∗
Im
•c
b
c = a2 + b2
tgϕ =
ϕ
b
a
Re
0
a
Rysunek 2. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Z Rysunku 2 wynika, że:
a = c cos ϕ
b = c sin ϕ
Możemy zatem liczbę zespoloną zapisać w postaci:
c = c cos ϕ + j c sin ϕ = c (cos ϕ + j sin ϕ )
Ten zapis nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
(18)
Z faktu, że funkcje sinus i cosinus są funkcjami okresowymi o okresie 2π wynika, iż wartość
argumentu liczby zespolonej nie jest określona jednoznacznie. Położenie punktu
odpowiadającego na płaszczyźnie zespolonej liczbie c nie ulegnie zmianie, gdy do wartości ϕ
dodamy jedną z liczb 2πk, gdzie k = 0, ±1, ±2, … Zwykle ograniczamy się jednak do
przedziału [0, 2π) lub (-π, π]. W tym ostatnim przypadku określoną wartość argumentu
nazywamy wartością główną argumentu. Ilustracja określania argumentu dla przedziału [0,
2π) lub (-π, π] została przedstawiona na Rysunku 3.
Im
Im
(-π, π]
[0,2π)
Re
Re
Rysunek 3. Sposób określania argumentu liczby zespolonej dla przedziałów [0, 2π
π) i (-π
π, π]
Biorąc powyższe pod uwagę możemy napisać:
Arg c = ϕ + 2π ⋅ k, k=0 , ± 1, ± 2 , ....
(19)
gdzie ϕ jest jednym z argumentów liczby c określonym np. dla jednego z podanych wyżej
przedziałów
Warto też podać interpretację geometryczną liczb zespolonych sprzężonych. Zostało to
zrobione na Rysunku 4. Z rysunku tego wynika, że:
♥ moduły liczb zespolonych sprzężonych są sobie równe:
Mod c ∗ = Mod c
♥ argumenty liczb zespolonych sprzężonych mają wartości przeciwne:
Arg c∗ = - Arg c
czyli
Jezeli c = c (cos ϕ + j sin ϕ) to c ∗ = c (cos ϕ − j sin ϕ)
Im
•c
b
c = a 2 + b2
tgϕ =
ϕ
b
a
Re
0
a
-ϕ
tg(- ϕ ) = -
b
a
c = a2 + b2
-b
•
c∗
Rysunek 4. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych sprzężonych
Postać trygonometryczna liczb zespolonych umożliwia podanie prostych reguł związanych z
mnożeniem i dzieleniem liczb zespolonych. Weźmy dwie liczby zespolone:
c1 = c (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ) i c2 = c (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ), wówczas mnożenie i dzielenie tych liczb
możemy przeprowadzić korzystając z wzorów:
• mnożenie:
c = c1 c2 = c1 (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ) c2 (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) =
= c1 ⋅ c2 (cos (ϕ 1 + ϕ 2 ) + j sin(ϕ 1 + ϕ 2 ))
• dzielenie:
c=
c1 (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ) c1
c1
(cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + j sin(ϕ 1 − ϕ 2 )); c2 ≠ 0
=
=
c2 c2 (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) c2
(20)
(21)
Z powyższych wzorów wynikają następujące reguły:
♥ Moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb, zaś
argument tego iloczynu jest równy sumie argumentów tych liczb.
♥ Moduł ilorazu dwóch liczb zespolonych jest równy ilorazowi modułów tych liczb, zaś
argument tego ilorazu jest równy różnicy argumentów tych liczb.
Możemy to też zapisać:
Mod c1c2 = Mod c1 ⋅ Mod c2
(22)
Arg c1c2 = Argc1+ Argc2
oraz
Mod
c1 Mod c1
=
c 2 Mod c 2
(23)
c
Arg 1 = Argc1 - Argc2 ; c 2 ≠ 0
c2
Postać trygonometryczna liczb zespolonych umożliwia w prosty sposób znajdować potęgi
i pierwiastki liczb zespolonych dla naturalnych wykładników. Weźmy liczbę zespoloną
c = c (cos ϕ + j sin ϕ ) . Potęgowanie tej liczby w przypadku naturalnego wykładnika n jest
równoznaczne z n-krotnym mnożeniem tej liczby przez nią samą. Otrzymamy zatem wzór:
n
(24)
c n = c (cos nϕ + j sin nϕ)
czyli przy potęgowaniu obowiązuje reguła:
♥ Moduł potęgi liczby zespolonej o wykładniku naturalnym n równa się n-tej potędze
modułu tej liczby, zaś argument - iloczynowi n i argumentu tej liczby.
Pierwiastkiem stopnia n liczby zespolonej c nazywamy liczbę zespoloną w spełniającą
równanie:
wn = c; n - natura ln e
(25)
Jak obliczyć liczbę w spełniającą to równanie? Oznaczmy przez ϕ jedną z wartości
argumentu liczby c , np. wartość główną. Zatem Arg c = ϕ + 2πk, k=0 , ± 1, ± 2 , ....
n
Argumentem liczby wn jest Arg w n = n Arg w , zaś jej modułem w n = w . Porównując
moduły i argumenty liczb c oraz wn otrzymamy następujące zależności na obliczenie
pierwiastka n-tego stopnia liczby zespolonej c:
ϕ 2π k
w = n c , Arg w = +
; n - natura ln e
(26)
n
n
gdzie k = 0 ,1,2 ,K ,n − 1 .
Przyjmując za k wymienione wyżej wartości otrzymamy dla argumentu liczby zespolonej w
(pierwiastka liczby zespolonej c , gdy c ≠ 0 ) - n różnych wartości, dla których w oznacza za
każdym razem coraz to inną liczbę zespoloną. Dla innych wartości całkowitych k (które
pominęliśmy) otrzymalibyśmy powtarzające się już położenia punktu odpowiadającego
liczbie w na płaszczyźnie liczb zespolonych. Ponieważ moduł liczby w określony jest
jednoznacznie, otrzymamy w rezultacie jako wartość pierwiastka n-tego stopnia liczby
zespolonej c n różnych liczb zespolonych o module i argumentach określonych wzorami
(26).
Postać wykładnicza liczby zespolonej
Postać wykładnicza liczby zespolonej jest zasadniczo prostszą formą postaci
trygonometrycznej. Wykorzystywane są również w tej postaci zapisu liczby zespolonej jej
moduł i argument. Wykorzystuje się przy tym następujące fakty:
• funkcja sin α jest sumą szeregu:
α α 3 α 5 α7
sin α = − +
− +...
1! 3! 5! 7!
(27)
• funkcja cos α jest sumą szeregu:
α 2 α 4 α6
cos α = 1 −
+
−
+...
2! 4! 6 !
(28)
α α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α7
+
+ +
+
+
+ +...
1! 2! 3! 4! 5! 6 ! 7!
(29)
• funkcja e α jest sumą szeregu:
eα = 1 +
gdzie: n! - symbol wyrażenia określonego dla liczb całkowitych ( n ≥ 0 ) w następujący
sposób:
n
0! = 1, n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅...⋅ (n − 1) ⋅ n = ∏ k
k =1
e - stała matematyczna nazywana stałą Eulera, obliczana z wzoru (29) po podstawieniu
α = 1 , czyli:
1 1 1 1 1 1 1
e = 1 + + + + + + + +... = 2.71828
1! 2! 3! 4! 5! 6 ! 7!
α - kąt podany w radianach.
Policzmy wartość wyrażenia e jϕ korzystając z zależności (29):
ϕ ϕ2
ϕ3 ϕ4
ϕ 5 ϕ6
ϕ7
−
−j
+
+j
−
−j
+... =
1! 2!
3! 4!
5! 6!
7!
 ϕ 2 ϕ 4 ϕ6
  ϕ ϕ3 ϕ5 ϕ7

=  1 −
+
−
+.... + j −
+
−
+... = cos ϕ + j sin ϕ
2! 4! 6!

  1! 3! 5! 7!

e jϕ = 1 + j
(30)
Równość (30) nosi nazwę równania Euler’a. Korzystając z niej możemy liczbę zespoloną
zapisać w postaci:
c = c e jϕ
(31)
Taką postać zapisu liczby zespolonej nazywamy postacią wykładniczą. Postać wykładnicza
liczb zespolonych, podobnie jak postać trygonometryczna, umożliwia podanie prostych reguł
związanych z mnożeniem i dzieleniem liczb zespolonych. Weźmy dwie liczby zespolone:
jϕ
jϕ
c1 = c1 e 1 i c2 = c2 e 2 , wówczas mnożenie i dzielenie tych liczb możemy przeprowadzić
korzystając z wzorów:
• mnożenie:
jϕ
j (ϕ +ϕ )
c = c1c2 = c1 e 1 ⋅ c2 e jϕ 2 = c1 ⋅ c2 e 1 2
(32)
• dzielenie:
jϕ
c1 e 1
c j (ϕ −ϕ )
c1
c=
=
= 1 e 1 2 ; c2 ≠ 0
jϕ 2
c2
c2
c2 e
(33)
Słuszne pozostają reguły dotyczące modułu i argumentu iloczynu i ilorazu podane dla postaci
trygonometrycznej.
Korzystając z postaci wykładniczej możemy przepisać wzory na potęgowanie i
pierwiastkowanie liczb zespolonych:
c n = ( c e jϕ ) = c e jnϕ
n
n
c=
n
ce
jϕ
=
n
c e
ϕ 2π k 
j  +

n 
n
n
k = 0 ,1, 2 ,K , n − 1; n - natura ln e
,
(34)
(35)
Kilka faktów na zakończenie
1. Z definicji otrzymujemy:
j0 = 1
j1 = j
j 2 = −1
(36)
3
j =−j
j4 = 1
L
Ciąg xn = j n ,n = 0 ,1,2 ,K
j
n+4
n
4
jest ciągiem okresowym o okresie 4, ponieważ jak widać
n
= j ⋅j = j .
2. Dla liczb zespolonych sprzężonych zachodzi:
c + c ∗ = 2 Re{c } = 2 c cos ϕ
(37)
c − c = 2 j Im{c } = 2 j c sin ϕ
(38)
∗
c ⋅ c∗ = c
Jezeli c = c e jϕ :
2
(39)
c
= e j 2ϕ
∗
c
(40)
3. Bezpośrednią konsekwencją równania Euler’a jest twierdzenie De Moivre’a:
(cos ϕ + j sin ϕ)n = cos(nϕ) + j sin(nϕ)
gdzie n może być dowolną liczbą rzeczywistą.
(41)