Teoretyczne podstawy algorytmów komputerowego modelowania

Adam Kiersztyn
[email protected]
Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Pawła II
Wydział Matematyczno-Przyrodniczy
Katedra Teorii Prawdopodobieństwa
Teoretyczne podstawy algorytmów komputerowego
modelowania procesów Markowa
Wykorzystanie łańcuchów Markowa w modelowaniu zjawisk losowych ma długą i bogatą
historię. Komputerowe modele procesów stochastycznych można wykorzystywać w wielu
dziedzinach życia. Stosując procesy Markowa można modelować zarówno zjawiska przyrodnicze,
jak też społeczne, czy ekonomiczne. Celem podjętych badań jest opracowanie podstaw
teoretycznych dla algorytmów komputerowych symulacji przebiegu procesów Markowa.
W przygotowywanej rozprawie doktorskiej można wyróżnić trzy główne nurty badań.
Pierwsza część pracy opisuje metodę konstrukcji procesu Markowa dla zadanego rozkładu
początkowego oraz rodziny jąder prawdopodobieństw przejścia niekoniecznie jednorodnego
łańcucha Markowa. Konstrukcja ta opiera się na wykorzystaniu powiązanych ze sobą rekurencyjnie
funkcji kwantyli, dzięki czemu jest wygodna do zaprogramowania. Opracowana technika jest tak
ogólna,
że
umożliwia
zastosowanie
w
każdym
kroku
właściwie
dowolnego
jądra
prawdopodobieństw przejścia, co w rezultacie pozwala wyznaczać trajektorie bardzo złożonych
procesów. Ponadto zaproponowana w rozprawie metoda jest stosunkowo wydajna, a jej
efektywność zależy wyłącznie od złożoności obliczeniowej procedury wyznaczania wartości
funkcji kwantyli. W niektórych zaimplementowanych w programie przypadkach wymaga ona
numerycznego obliczania całek podwójnych, co może w znaczący sposób wydłużyć działanie
aplikacji.
Druga część pracy doktorskiej opisuje różne charakterystyki martyngałowe łańcuchów
Markowa. Zastosowanie tego rodzaju powiązań pozwala na eleganckie udowodnienie wielu
własności procesów Markowa znanych dotychczas
jedynie dla
martyngałów.
Ponadto
wykorzystanie martyngałowej charakteryzacji procesów Markowa pozwala udowodnić w bardzo
przejrzysty sposób różne rodzaje twierdzeń granicznych. Rezultaty zawarte w tej części pracy
umożliwiają również opracowanie wielu ciekawych modeli matematycznych wykorzystujących
jednocześnie własności martyngałów oraz procesów Markowa. Jako przykład można tutaj podać
zaproponowany w pracy szkic modeli pozwalających przewidywać zmiany poziomu zapasów
towarów w magazynie, stanu wody w zbiornikach retencyjnych, itp.
Trzecia część rozprawy zawiera wyniki badań nad wprowadzonym nowym pojęciem
nadbudowanego łańcucha Markowa. Jest to bardzo obiecująca dziedzina badań, która może
zaowocować wieloma interesującymi rezultatami. Do tej pory w oparciu o twierdzenia graniczne
dla nadbudowanych łańcuchów Markowa udało się opracować komputerowy model obrazujący
prawdopodobne zmiany cen akcji spółek giełdowych. Model ten wymaga dalszego udoskonalenia,
jednak już na obecnym etapie badań jego zastosowanie pozwala na krótkoterminowe
prognozowanie tendencji dalszych zmian obserwowanych zjawisk.
Najistotniejsze grupy rezultatów, które mają praktyczne zastosowania zostaną wzbogacone o
programy komputerowe prezentujące możliwości wykorzystania otrzymanych w rozprawie
doktorskiej wyników badań. Na chwilę obecną została już przygotowana wstępna wersja programu
wyznaczającego realizacje procesów Markowa dla zadanego rozkładu początkowego oraz
wybranych rodzin jąder prawdopodobieństw przejścia, a także programu symulującego
prawdopodobne zmiany cen akcji na giełdzie.
Wyniki prowadzonych badań mogą mieć wiele innych różnorodnych zastosowań wszędzie
tam, gdzie badane zjawiska mają charakter losowy. Można spodziewać się, że możliwe będzie
stworzenie modeli matematycznych wykorzystywanych m. in. w turystyce, w opisie obciążenia
sieci internetowych i łączy telekomunikacyjnych, przepustowości węzłów komunikacyjnych dróg i
autostrad, rozwoju usług medycznych, zarządzaniu oraz planowaniu przestrzennym.