Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania
matematycznego
Łańcuchy Markowa.
Jakub Wróblewski
[email protected]
http://zajecia.jakubw.pl/
ŁAŃCUCH MARKOWA
Przykład:
Rozważmy problem częstości występowania w języku
poszczególnych liter. Załóżmy, że interesuje nas nie tyle częstość
(prawdopodobieństwo) bezwzględne, co częstość uzależniona od
poprzedniej litery. Np. po literze ‘c’ częściej występuje ‘h’ niż ‘k’,
chociaż litera ‘k’ jest w języku polskim powszechniejsza.
Definicja:
Łańcuchem Markowa nazywamy ciąg zmiennych losowych Xn
o wartościach w pewnym zbiorze S taki, że dla każdego n:
P ( X n = sn X 1 = s1 , …, X n −1 = sn −1 ) = P( X n = sn X n −1 = sn −1 )
czyli wartość zmiennej n zależy tylko od wartości dla n-1.
1
MACIERZ PRZEJŚCIA
Z definicji łańcucha Markowa wynika, że prawdopodobieństwo
przejścia ze stanu i do j jest zawsze jednakowe. Oznaczmy je pij.
Reprezentacja macierzowa przykładowego łańcucha Markowa:
 p11

p
P =  21
p
 31
p
 41
p12
p13
p22
p23
p32
p42
p33
p43
p14   0
 
p24   0.5
=
p34   0.3
 
p44   0.3
0 

0 0.5 0 
0 0 0.7 

0 0.2 0.5 
1
0
Reprezentacja graficzna powyższego przykładu:
1
2
1
0.5
0.3
0.5
0.3
0.5
4
0.7
3
0.2
MACIERZ PRZEJŚCIA
Macierz przejścia może być użyta do policzenia, z jakimi
prawdopodobieństwami znajdziemy się w poszczególnych stanach
w kolejnym kroku. Np. jeśli w poprzednim przykładzie startujemy z
pozycji 1 lub 3 z jednakowym prawdopodobieństwem, to rozkład
prawdopodobieństwa w kolejnym kroku uzyskamy mnożąc wektor
prawdopodobieństw wyjściowych przez macierz przejścia:
 0

 0.5
p1 = p0 P = (0.5, 0, 0.5, 0 )
0.3

 0.3

1 0
0 

0 0.5 0 
= (0.15, 0.5, 0, 0.35)
0 0 0.7 

0 0.2 0.5 
Ogólnie, wektor (rozkład) prawdopodobieństw po k krokach
uzyskamy wymnażając wyjściowy rozkład przez Pk.
2
SYMULACJA ZJAWISK
Prawdopodobieństwa przejścia łańcucha Markowa można znaleźć
doświadczalnie, zliczając przypadki przejść między stanami.
Znaleziony łańcuch może być użyty do symulacji badanego zjawiska.
Przykład: Mamy zbiór N liter polskiego alfabetu. Przez pij oznaczmy
prawdopodobieństwo, że po literze i następuje litera j. Możemy
znaleźć macierz P=(pij) analizując dostatecznie duży zbiór tekstów.
Macierz P będzie miała różne wartości, w zależności od
analizowanego języka.
Symulacja powstawania słów: startujemy od losowej litery i,
następnie losujemy kolejną zgodnie z rozkładem (pi1, ... piN).
Oznaczmy wylosowaną literę przez j. Potem losujemy kolejną z
rozkładem (pj1, ... pjN) itd. Utworzone w ten sposób słowo zwykle nic
nie znaczy, ale brzmi prawdopodobnie.
ROZKŁAD STACJONARNY
Rozkład prawdopodobieństwa π na zbiorze stanów łańcucha
Markowa, który nie zmienia się po wykonaniu jednego kroku,
nazywamy rozkładem stacjonarnym:
π = πP
To, czy taki rozkład istnieje i jest jednoznacznie wyznaczony,
zależy m.in. od rodzaju stanów występujących w danym łańcuchu.
3
KLASYFIKACJA STANÓW
Stan i jest osiągalny z j, jeśli istnieje
niezerowa ścieżka z j do i.
Zbiór stanów C jest zamknięty, jeśli
żaden stan spoza C nie jest
osiągalny ze stanu należącego do C.
3
1
2
Jednoelementowy zbiór zamknięty
nazywamy stanem pochłaniającym.
1
Przykład – zagadnienie ruiny gracza. Gracz ma kapitał początkowy N.
Z prawdopodobieństwem p wygrywa 1, z prawdop. 1-p przegrywa 1.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że zbankrutuje (dojdzie do 0)?
4