Algebra liniowa 2

Algebra liniowa 2
Lista 1
1. Sprawdzić, czy podane niżej zbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R4 :
(a) {(x, x + 1, 0, 1) : x ∈ R},
(b) {(x, y, x + y, x − y) : x, y ∈ R},
(c) {(xy, y, x, 0) : x, y ∈ R},
(d) {(x, y, z, t) : y = 1},
(e) {(x, y, z, t) : x − y < 1}.
2. Wektor ~v = (1, 2, 3) przedstawić jako kombinację liniową wektorów (2, 0, 6), (0, 1, 0),
(1, −1, 3) na wszystkie możliwe sposoby.
3. Sprawdzić, czy wektor (2, 1, 2, 1) jest kombinacją liniową wektorów: (3, 1, 6, 2), (2, 1, 4, 2),
(3, 1, 3, 1), (2, 1, 1, 1)?
4. Dobrać liczby p, q ∈ R tak, aby wektor (2, −6, 6, 3) był kombinacją liniową wektorów:
(a) (1, p, 0, 0), (1, 0, q, 1),
(b) (p, 3q, 3p, − 32 q), (−q, −3p, −3q, 32 p),
(c) (1, p, 1, q), (q, 1, p, 1),
(d) (1, p, q, 2), (1, −q, −p, 1).
5. Wyznaczyć bazę i wymiar powłoki liniowej układu wektorów:
(a) ~v1 = (1, 0, 0, −1), ~v2 = (2, 1, 1, 0), ~v3 = (1, 1, 1, 1), ~v4 = (1, 2, 3, 4), ~v5 =
(0, 1, 2, 3),
(b) ~v1 = (1, 1, 1, 1, 0), ~v2 = (1, 1, −1, −1, −1), ~v3 = (2, 2, 0, 0, −1), ~v4 = (1, 1, 5, 5, 2),
~v5 = (1, −1, −1, 0, 0).
6. Zbadać z definicji liniową niezależność podanych układów wektorów w odpowiednich
przestrzeniach:
(a) (2, 0, 6), (0, 1, 0), (1, −1, 3) w R3 ,
(b) (2, 1, −3), (3, 2, −5), (1, −1, 1) w R3 ,
(c) (1, 0, 1, −1), (2, 1, −2, 1), (4, 1, 0, −1) w R4 .
7. Znaleźć współrzędne wektora (1, 0, 4, 2) w bazach:
(a) B = {(1, 0, 0, 2), (0, 0, 1, 1), (0, 2, 1, 1), (1, 1, 1, 2)},
(b) B = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0, ), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}.
8. Dla jakich wartości parametru p ∈ R podane zbiory wektorów stanowią bazy odpowiednich przestrzeni Rn :
(a) B = {(p − 2, −p), (3, 2 + p)} w R2 ,
(b) B = {(1, 3, p), (p, 0, −p), (1, 2, 1)} w R3 .
9. Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych:
(a) V = {(x + y + z, x − y, x − z, y − z) : x, y, z ∈ R},
(b) V = {(a + 2b + c, 3a − b + 2c, 5a + 3b + 4c) : a, b, c ∈ R},
(c) V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 2x − y = z − t = 0}.
10. Sprawdzić, że każdy układów B = {(1, 2, 1), (2, 3, 3), (3, 8, 2)},
B 0 = {(3, 5, 8), (5, 14, 13), (1, 9, 2)} jest bazą i znaleźć macierz przejścia z B do B 0 .
To samo dla B = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 3, 2, 3)}
i B 0 = {(1, 0, 3, 3), (−2, −3, −5, −4), (2, 2, 5, 4), (−2, −3, −4, −4)}.
11. Jak zmieni się macierz przejścia z jednej bazy do drugiej, gdy zamieni się miejscami
dwa wektory pierwszej bazy? A gdy zamieni się miejscami dwa wektory drugiej bazy?
12. Wektory ~e1 , ..., ~en oraz ~x są zadane w pewnej bazie B za pomocą współrzędnych
(a) ~e1 = (1, 1, 1), ~e2 = (1, 1, 2), ~e3 = (1, 2, 3), ~x = (6, 9, 14);
(b) ~e1 = (1, 2, −1, −2), ~e2 = (2, 3, 0, −1), ~e3 = (1, 2, 1, 4), ~e4 = (1, 3, −1, 0), ~x =
(7, 14, −1, 2).
Wykazać, że {~e1 , ..., ~en } jest też bazą i znaleźć współrzędne wektora ~x w tej nowej
bazie.
Źródła: „Zbiór zadań z algebry” pod red.A.I.Kostrikina; T.Jurlewicz, Z.Skoczylas „ Algebra liniowa 2. Przykłady i zadania”; T.Jurlewicz „ALgebra liniowa i geometria analityczna”.