Matematyka 2 (Wydziaª Architektury)

Matematyka 2 (Wydziaª Architektury)
Lista 3: Izometrie pªaszczyzny
I Dany jest trójk¡t równoboczny ABC o bokach a = BC, b = AC, c = AB . Wykorzystuj¡c siatk¦
trójk¡tów, wyznaczy¢ zªo»enia:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Rc Rb Ra ,
60
60
OC60 OB
OA
,
◦
◦
◦
60
Rb OB
Ra ,
◦
60
60
OB
Rc OA
,
◦
◦
Ra Rb Ra ,
60
60
OA
Ra OA
,
◦
◦
60
Ra OA
Ra .
◦
II Dany jest kwadrat ABCD. Wykorzystuj¡c siatk¦ kwadratów, wyznaczy¢ zªo»enia:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
90
90
90
OD
OC90 OB
OA
,
◦
◦
◦
◦
90
90
OB
RAB OA
,
◦
◦
90
RAC OC90 OA
,
◦
◦
RAD RCD RBC RAB ,
HB RAC HA ,
HD HC HB HA ,
HC RAB HA ,
HC RBD HA .
III Dany jest trapez prostok¡tny ABCD o k¡cie prostym przy wierzchoªkach A i D, k¡tach 45◦
i 135◦ przy wierzchoªkach B i C oraz taki, »e AD = DC . Wykorzystuj¡c siatk¦ kwadratów,
wyznaczy¢ zªo»enia:
1.
2.
3.
4.
90
OB
RAB TAD ,
◦
90
90
RAB OD
OA
,
◦
◦
AD
HD RAD Gl2AD
,
RDC HD RCA RCB .
IV Dany jest romb ABCD o k¡cie 120◦ przy wierzchoªku A. Wykorzystuj¡c siatk¦ trójk¡tów,
wyznaczy¢ zªozenia:
1. RBD RCD OC60 T2AC ,
60◦ 120◦
2. RBC OD
OA ,
◦
AC
3. OC−120 RBD GlAC
.
◦
V Wyznaczy¢ nast¦puj¡ce zªo»enia dwóch izometrii (w obu kolejno±ciach). Je±li wynik zale»y np.
od tego, czy ±rodek obrotu le»y na lustrze odbicia, rozpatrzy¢ wszystkie mo»liwe sytuacje:
1. Dwa obroty o tym samym ±rodku.
2. Dwa obroty o ró»nych ±rodkach.
3. Odbicie i póªobrót (symetria ±rodkowa).
4. Odbicie i obrót o k¡t inny ni» 180◦ .
5. Odbicie i przeuni¦cie.
VI Wyznaczy¢ zªo»enia nast¦puj¡cych izometrii opisanych w kartezja«skim ukªadzie wspóªrz¦dnych (zadanie najlepiej rozwi¡zywa¢ na papierze kratkowanym):
90
,
1. Rx+y=2 O(0,0)
◦
2.
3.
4.
5.
90
O(0,0)
Rx+y=2 ,
◦
T[2,4] Rx−y=2 ,
Rx−y=2 T[2,4] ,
Rx=y GOY
[0,2] Rx=y ,
−90
90
6. O(0,2)
Gx=y
[2,2] O(0,2) ,
◦
◦
7. T[2,2] GOX
[2,0] T[−2,−2] ,
8. T[2,2] GOY
[0,2] T[2,2] ,
9. Ry=3−x ROY Ry=x+1 ROX .
VII Wyznaczy¢ nast¦puj¡ce zªo»enia izometrii. Je±li wynik zale»y od danych punktów, prostych,
k¡tów i wektorów (np. od tego, czy punkt le»y na prostej, albo czy dwie proste s¡ równolegªe/prostopadªe) itp., rozwa»y¢ co najmniej przypadek najbardziej ogólny (»adnych punktów
wspólnych, równolegªo±ci ani prostopadªosci), a najlepiej wszystkie.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
HA Tu HA ,
Tu HA Tu ,
Glu Tu Glu ,
Tu Glu Tu ,
Tu Glv Tu ,
α
α
,
OA
Tu OA
−α
α
OA
Tu OA
,
Tu Rl Tu ,
Rl Tu Rl ,
Tu Rl T−u ,
α
Rl OA
Rl ,
α
α
OA
Rl OA
,
−α
α
OA
Rl OA
.
VIII Uzupeªni¢ dan¡ gur¦ na 8 sposobów, aby otrzyma¢ gury o nast¦puj¡cych grupach symetrii:
C1 , C2 , C3 , C4 , D1 , D2 , D3 , D4 .
IX Wykorzystuj¡c dan¡ gur¦ jako motyw, narysowa¢ 7 pasów o wszystkich mo»liwych grupach
symetrii. Zaznaczy¢ obszary fundamentalne oraz ewentualne lustra i ±rodki obrotów.