LISTA ZADA‹ 1

LISTA ZADA‹ 1
M. Šysakowska i S. Czerwi«ski
1. U»ywaj¡c funktorów zdaniotwórczych oraz kwantykatorów, zapisa¢
nastuj¡ce zdania:
a) Je»eli a < b, to istnieje taka liczba naturalna x, »e a < x < b;
b) x = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy y · x = y dla ka»dego y ;
c) Dla ka»dej liczby rzeczywistej x istnieje taka liczba rzeczywista y ,
»e x > y ;
d) Dla ka»dej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówno±¢ x2 + 1 > 0;
e) W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje liczba, której kwadrat
byªby mniejszy od 0;
f) W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje liczba x speªniaj¡ca równanie x2 + 5 = 0.
2. Sprawdzi¢ czy nast¦puj¡ce wyra»enia s¡ tautologiami:
a)∼ (p∧ ∼ p);
b)(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p);
c)p ⇒ (p ∨ q);
d)p ⇒ ((∼ p) ∨ q);
e)((p ⇒ q) ∧ p) ⇒ q ;
f)p ⇒ (((∼ q) ∧ q) ⇒ r);
g)((p ∧ q) ∨ (p ⇒ q)) ⇒ (p ⇒ q);
h)(∼ (p ∧ q)) ⇔ ((∼ p) ∨ (∼ q));
i)(p ∧ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∧ r);
j)((p ∨ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∨ r);
k)(p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)); l)(p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)).
3. Sprawdzi¢ czy nast¦puj¡ce zdania s¡ prawdziwe:
a) Je»eli liczba jest podzielna przez 6, to ta liczba jest podzielna przez
2 i przez 3;
b) Je»eli liczba jest podzielna przez 2 lub przez 3, to ta liczba jest
podzielna przez 6;
1
c) Je»eli gura A jest czworok¡tem i A ma wszystkie k¡ty równe, to
z faktu, »e A jest czworok¡tem wynika, i» A ma wszystkie boki
równe;
d) Jan zna Logik¦ wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest prawd¡, »e nie
jest prawd¡, »e Jan zna Logik¦;
e) ∃x∈R x2 − 2x + 2 < 0;
f) ∀x∈R ∃y∈R (x2 < y ⇒ x + y > 0);
g) ∀x∈R ∃y∈R x · y = 1;
h) ∼ (∀y>1 ∃x<0 (xy < −2) ∧ (x + y > 1)).
4. Dla danych zbiorów A i B wyznaczy¢ A ∪ B , A ∩ B , A \ B , B \ A, A0 ,
B0:
a)
b)
c)
d)
A = {x ∈ N : x < 3}, B = {x ∈ R : x ≥ 3};
A = (−1, 3), B = (3, 5);
A = {x ∈ R : |x − 2| ≤ 5}, B = {x ∈ R : x > 2};
A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (−1, 1), y ∈ R},
B = {(x, y) ∈ R2 : (x − 3)2 + y 2 ≤ 9}.
5. Niech A, B , C b¦d¡ dowolnymi zbiorami. Wykaza¢, »e
a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);
b) (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 ;
c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); d) A ∩ B = A \ (A \ B);
e) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C ;
f) A \ B = A \ (A ∩ B).
6. Niech
2n + 1) dla n ∈ N. Wyznaczy¢ zbiory
S An = (2n −S1,
∞
Z∩ ∞
A
,
Z
\
n=1 An .
n=1 n
T∞
2
n
7. Niech
T∞ An = 1 − (−1) , 3 + n+1 dla n ∈ N. Wyznaczy¢ zbiory
i n=1 An .
n=1
S∞
An ,
n=1
An
8. Niech T = (1, +∞) i niech At = (t, t2 ) dla t ∈ T . Wyznaczy¢ sum¦ i
przekrój rodziny {At }t∈T .
2
9. Dla danych zbiorów A i B wyznaczy¢ A × B oraz B × A:
a) A = h−1, 1i, B = {2}; b) A = h2, 4i, B = h1, 3i;
c)
d)
e)
f)
A = {x ∈ N : − 1 ≤ x < 5}, B = {y ∈ R : y > 3};
A = {x ∈ R : x < 1 ∨ 1 < x}, B = {y ∈ R : y 2 > 0};
A = {hx, yi : x2 + y 2 < 1}, B = {x ∈ R : − 1 < x < 1};
A = {x ∈ R : x2 > 1}, B = {y ∈ R : y ≤ −1 ∨ y ≥ 2}.
10. Sprawdzi¢ czy funkcja f : R 7→ R jest bijekcj¡:
a) f (x) = 2x ;
b) f (x) = sinx;
c) f (x) = 2 + x;
x
e) f (x) =
2x+1
x−1
0
dla x 6= 1,
dla x = 1;
d) f (x) =
x + 1 dla x < 0,
x
dla x ≥ 0;
f) f (x) =
x dla x ≤ 0,
2x dla x > 0.
Je»eli to mo»liwe, wyznaczy¢ f −1 .
11. Dla danej funkcji f i zbiorów A i B wyznaczy¢ f (A) i f −1 (B):
a)
b)
c)
d)
e)
f : R → R, f (x) = x2 , A = [−1, 2], B = [1, 4];
f : R → R, f (x) = sinx, A = [0, π], B = {1};
f : R2 → R, f (x, y) = x2 + y 2 , A = (−2, 3] × [−2, 3), B = (9, 16];
f : R2 → R, f (x, y) = xy , A = (−1, 1] × [−2, 2), B = [0, 1);
f : R2 → R, f (x, y) = |x − y|, A = (0, 2) × (1, 3), B = (0, 1).
12. Sporz¡dzi¢ wykres funkcji okre±lonej wzorem

dla x ≤ −2,
 2x + 9
2
x − 2x − 3 dla x ∈ (−2, 4i ,
f (x) =

−2x + 13
dla x > 4.
Niech A = h−3, 8), B = (3, 6). Wyznaczy¢ f (A) i f −1 (B).
3