Kolokwium II z matematyki, zestaw A 14 stycznia 2014 Imię i

Kolokwium II z matematyki, zestaw A
14 stycznia 2014
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
PROSZĘ WYBRAĆ CZTERY ZADANIA
1. (7,5 p) Dane są nieosobliwe macierze A i B oraz macierz X spełniająca równanie
A−1 XB + I = A−1 .
a) Wyznacz macierz X.
"
−2 0
1 1
b) Oblicz X, jeśli A =
#
"
,B =
−2 3
−1 2
#
.
2. (7,5 p) Wyznacz liczbę rozwiązań układu w zależności od wartości parametru a ∈ R



x1 + ax2 + x3 =
2
ax1 +
+ x3 =
0


x1 − x2 + x3 = −2.
3. (7,5 p) Wyznacz rozwiązanie ogólne i dwa różne rozwiązania bazowe układu
(
2x1 + x2 − 3x3 + 3x4 = 0
3x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 1.
4. (7,5 p) Dany jest układ równań









x1
x1
2x1
−3x1
−
+
+
+
2x2
2x2 + x3
2x2 + 3x3
2x2 − 2x3
+ 2x4
+
− x4
+ 2x4
= 0
= 1
= 3
= −2.
a) Uzasadnij, że układ jest układem Cramera.
b) Wyznacz zmienną x2 .
5. (7,5 p) Dana jest funkcja f (x, y) =
√
y + 2x
a) Zaznacz w układzie w spółrzędnych dziedzinę funkcji f .
b) Wyznacz warstwice Wc dla c = −1, c = 0, c = 1.
c) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f na trójkącie o wierzchołkach
(0, 1), (0, 2), (1, 1).
Kolokwium II z matematyki, zestaw B
14 stycznia 2014
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
PROSZĘ WYBRAĆ CZTERY ZADANIA
1. (7,5 p) Dane są nieosobliwe macierze A i B oraz macierz X spełniająca równanie
AXB −1 − I = A.
a) Wyznacz macierz X.
"
−3 −2
2
1
b) Oblicz X, jeśli A =
#
"
,B =
2
1
0 −1
#
.
2. (7,5 p) Wyznacz liczbę rozwiązań układu w zależności od wartości parametru b ∈ R



bx1 + x2 +
=
x1 + x2 + bx3 =


x1 + x2 − x3 =
0
2
−2.
3. (7,5 p) Wyznacz rozwiązanie ogólne i dwa różne rozwiązania bazowe układu
(
x1 − 3x2 + 2x3 − 2x4 = 0
2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = 1.
4. (7,5 p) Dany jest układ równań









−2x1
2x1
2x1
2x1
+ x2
+ x2 + x3
+ 2x2 + 3x3
− 3x2 − 2x3
+ 2x4
+
− x4
+ 2x4
= 0
= 1
= 3
= −2.
a) Uzasadnij, że układ jest układem Cramera.
b) Wyznacz zmienną x2 .
5. (7,5 p) Dana jest funkcja f (x, y) =
√
y − 2x
a) Zaznacz w układzie w spółrzędnych dziedzinę funkcji f .
b) Wyznacz warstwice Wc dla c = −1, c = 0, c = 1.
c) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f na trójkącie o wierzchołkach
(0, 1), (0, 2), (−1, 1).
Kolokwium II z matematyki, zestaw C
14 stycznia 2014
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
PROSZĘ WYBRAĆ CZTERY ZADANIA
1. (7,5 p) Dane są nieosobliwe macierze A i B oraz macierz X spełniająca równanie
B −1 XA − I = B −1 .
a) Wyznacz macierz X.
"
3 −2
2 −1
b) Oblicz X, jeśli A =
#
"
,B =
−2 0
1 1
#
.
2. (7,5 p) Wyznacz liczbę rozwiązań układu w zależności od wartości parametru c ∈ R



x1 + x2 + cx3 =
2
cx1 + x2 +
=
0


x1 + x2 − x3 = −2.
3. (7,5 p) Wyznacz rozwiązanie ogólne i dwa różne rozwiązania bazowe układu
(
2x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0
3x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 = 1.
4. (7,5 p) Dany jest układ równań









2x1
x1
x1
−3x1
+
−
+
+
2x2 + 3x3
2x2
2x2 + x3
2x2 − 2x3
− x4
+ 2x4
+
+ 2x4
= 3
= 0
= 1
= −2.
a) Uzasadnij, że układ jest układem Cramera.
b) Wyznacz zmienną x1 .
5. (7,5 p) Dana jest funkcja f (x, y) =
√
y + 2x
a) Zaznacz w układzie w spółrzędnych dziedzinę funkcji f .
b) Wyznacz warstwice Wc dla c = −1, c = 0, c = 1.
c) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f na trójkącie o wierzchołkach
(0, 1), (0, 2), (1, 1).
Kolokwium II z matematyki, zestaw D
14 stycznia 2014
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
PROSZĘ WYBRAĆ CZTERY ZADANIA
1. (7,5 p) Dane są nieosobliwe macierze A i B oraz macierz X spełniająca równanie
AXB −1 + I = A.
a) Wyznacz macierz X.
"
3
2
−2 −1
b) Oblicz X, jeśli A =
#
"
,B =
0 −2
1
1
#
.
2. (7,5 p) Wyznacz liczbę rozwiązań układu w zależności od wartości parametru d ∈ R



dx1 +
+ x3 =
0
x1 + dx2 + x3 =
2


x1 − x2 + x3 = −2.
3. (7,5 p) Wyznacz rozwiązanie ogólne i dwa różne rozwiązania bazowe układu
(
3x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 = 1
2x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0.
4. (7,5 p) Dany jest układ równań









2x1
−2x1
2x1
2x1
+ x2 + x3
+ x2
+ 2x2 + 3x3
− 3x2 − 2x3
+
+ 2x4
− x4
+ 2x4
= 1
= 0
= 3
= −2.
a) Uzasadnij, że układ jest układem Cramera.
b) Wyznacz zmienną x1 .
5. (7,5 p) Dana jest funkcja f (x, y) =
√
y − 2x
a) Zaznacz w układzie w spółrzędnych dziedzinę funkcji f .
b) Wyznacz warstwice Wc dla c = −1, c = 0, c = 1.
c) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f na trójkącie o wierzchołkach
(0, 1), (0, 2), (−1, 1).