teoria obwodów i sygnałów laboratorium

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW
LABORATORIUM
AKADEMIA MORSKA
Katedra Telekomunikacji Morskiej
Ćwiczenie nr 2: Teoria obwodów i sygnałów – laboratorium
ĆWICZENIE 2
BADANIE WIDM SYGNAŁÓW OKRESOWYCH
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest ugruntowanie wiadomości teoretycznych z zakresu transformacji
funkcji okresowej do szeregów Fouriera oraz obserwacja i analiza widm różnych sygnałów
okresowych.
2. Wprowadzenie
Możliwość rozkładu przebiegów okresowych w szereg Fouriera pozwala na
zastosowanie do analizy obwodów liniowych pobudzonych przebiegami okresowymi metod
obliczeniowych stosowanych przy pobudzeniach tych układów przebiegami sinusoidalnymi. W
celu zastosowanie tej metody analizy należy pobudzenie, będące przebiegiem okresowym,
rozłożyć w szereg Fouriera, który jest zbiorem sygnałów harmonicznych. Następnie należy dla
każdego z tych składników wyliczyć odpowiedź układu i korzystając z zasady superpozycji
obliczyć całkowitą odpowiedź układu.
Jednak należy pamiętać, że aby funkcja okresowa f(t) = f(t +T), gdzie T jest okresem,
mogła być rozłożona w szereg Fouriera musi spełniać warunki Dirichleta. Oznacza to, że:
-
f(t) jest określona i ograniczona na przedziale ( t1, t1 + T ), a więc istnieje taka stała
C < ∞, że w każdym punkcie przedziału ( t1, t1 + T ) | f(t)| ≤ C
-
f(t) jest całkowalna na przedziale ( t1, t1 + T )
-
f(t) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju w każdym
skończonym przedziale wewnątrz przedziału ( t1, t1 + T ).
Większość fizycznych sygnałów okresowych wymienione powyżej warunki spełnia. Okresową
funkcję f(t) o okresie T można, zatem zapisać w postaci trygonometrycznego szeregu Fouriera:
f (t ) =
A0 ∞
+ ∑ [ Ak cos(kωt ) +Bk sin(kωt )]
2 k =1
gdzie:
T /2
A0 =
T /2
Ak =
2
f (t )dt ,
T −T∫/ 2
T /2
2
2
f (t ) cos(kωt )dt , Bk =
f (t ) sin( kωt )dt dla k = 1, 2, ... ,
∫
T −T / 2
T −T∫/ 2
Niesinusoidalne przebiegi reprezentujące rzeczywiste wielkości elektryczne często spełniają
dodatkowe warunki w wyniku czego w ich rozwinięciu w szereg Fouriera znikają niektóre
współczynniki. Rozpatrzmy teraz najczęściej występujące przypadki symetrii:
2
Ćwiczenie nr 2: Teoria obwodów i sygnałów – laboratorium
Funkcja przemienna
Funkcja okresowa jest przemienna, jeżeli jej średnia wartość za jeden okres jest równa zero to
oznacza, że:
T /2
∫ f (t )dt = 0
−T / 2
wynika stąd, że dla przemiennych funkcji okresowych A0 = 0 a szereg Fouriera przyjmuje
postać:
∞
f (t ) = ∑[ Ak cos(kωt ) +Bk sin(kωt )]
k =1
Funkcja nieparzysta
Funkcję f(t) nazywamy nieparzystą, jeżeli f(t) = - f(-t). W takim przypadku w wzorze na
współczynniki Ak pod znakiem całki występuje iloczyn funkcji parzystej cos(kωt) i nieparzystej
f(t) co w efekcie daje funkcję nieparzystą. Całka z takiej funkcji za jeden okres jest równa zero
a więc zerują się współczynniki Ak we wzorze na szereg Fouriera. Idąc dalej zauważmy, że we
wzorze na współczynniki Bk pod znakiem całki występuje iloczyn dwóch funkcji nieparzystych
sin(kωt) i nieparzystej f(t) co w efekcie daje funkcję parzystą, zatem całki obliczone za
przedział (-T/2, 0 ) i (0, T/2) są sobie równe i można zapisać:
4
Bk =
T
T /2
∫ f (t ) sin(kωt )dt
0
Szereg Fouriera przyjmuje, więc postać:
∞
f (t ) = ∑ Bk sin(kωt )
k =1
Funkcja parzysta
Funkcję f(t) nazywamy parzystą, jeżeli f(t) = f(-t). W takim przypadku przez analogię do
przypadku funkcji nieparzystej możemy zapisać, że: Bk = 0 dla k = 1, 2, ... . Natomiast
współczynniki Ak wyznaczamy ze wzorów:
4
A0 =
T
T /2
∫
0
4
f (t )dt , Ak =
T
T /2
∫ f (t ) cos(kωt )dt
0
Szereg Fouriera przyjmuje, więc uproszczoną postać:
f (t ) =
A0 ∞
+ ∑ Ak cos(kωt )
2 k =1
3
dla k = 1, 2, ... ,
Ćwiczenie nr 2: Teoria obwodów i sygnałów – laboratorium
3. Przykładowe obliczenia
Dokonajmy rozkładu w szereg Fouriera przebiegu okresowego podanego na rysunku 1a.
a)
b)
f(t)
A
-T/2
T/2
-A
t
Rys.1. Okresowy przebieg prostokątny
Przedstawiony na rysunku 1 przebieg jest funkcją nieparzystą tak, więc w szeregu Fouriera
zerują się wszystkie współczynniki Ak = 0 dla k = 0, 1, 2, ... . Współczynniki Bk można
natomiast wyznaczyć na podstawie zamieszczonego we wprowadzeniu wzoru:
4
Bk =
T
T /2
∫
0
4
f (t ) sin(kωt )dt =
T
T /2
∫
A sin(kωt )dt = −
0
T /2
4A
2A
cos(kωt ) =
(1 − cos kπ ) =
πk
Tkω
0
4A
dla k - nieparzystych

=  πk
0 dla k - parzystych
Jeżeli przyjmiemy, że naszym analizowanym przebiegiem jest przebieg prostokątny o
częstotliwości 5 kHz i A = 1 V to uzyskamy w wyniku obliczeń rozkład na składowe
harmoniczne umieszczony jest na rysunku 2 (do 11 harmonicznej włącznie).
1,4
Amplituda harmonicznej [V]
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
numer harmonicznej
Rys.2. Amplitudy składowych harmonicznych przebiegu prostokątnego (f= 5 kHz, A= 1V).
Na rysunku 3 przedstawiono syntezę analizowanego przebiegu prostokątnego w której wykorzystano
harmoniczne do 5-tej i do 25-tej włącznie.
4
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
u(t)
u(t)
Ćwiczenie nr 2: Teoria obwodów i sygnałów – laboratorium
0
0
0,0001
0,0002
0,0003
0
0
0,0004
-0,5
-0,5
-1
-1
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
-1,5
-1,5
t [s]
t [s]
Rys. 3. Synteza przebiegu prostokątnego
a) wykorzystano harmoniczne do 5 włącznie
b) wykorzystano harmoniczne do 25 włącznie.
4. Program ćwiczenia
a) Zapoznać się z obsługą generatora przebiegów funkcyjnych, oscyloskopu cyfrowego i
analizatora widma.
b) Ustawić na generatorze przebiegów funkcyjnych przebiegi o parametrach podanych
przez prowadzącego ćwiczenia oraz zaobserwować uzyskane przebiegi na oscyloskopie
cyfrowym.
c) Przełączyć oscyloskop cyfrowy w tryb pracy analizatora widma i dokonać pomiaru
pierwszych dziewięciu harmonicznych badanych przebiegów. Zapisać wykresy czasowe
oraz widma tych przebiegów na nośniku pamięci
d) Korzystają z analizatora widma dokonać pomiaru wartości skutecznych napięć
pierwszych dziewięciu harmonicznych przebiegów o parametrach podanych przez
prowadzącego ćwiczenia. Zapisać wykresy widm tych przebiegów na nośniku pamięci.
5. Opracowanie wyników
a) Korzystając z wzorów zamieszczonych we wprowadzeniu do ćwiczenia dokonać
rozkładu w szeregi Fouriera badanych sygnałów okresowych.
b) Na podstawie wcześniej przeprowadzonych obliczeń teoretycznych dokonać syntezy
przebiegu trójkątnego używając składowe harmoniczne do 5-tej i 25-tej włącznie.
Należy skorzystać z arkusza kalkulacyjnego. Wyniki syntezy należy przedstawić na
rysunku.
c) W jednej tabeli umieścić obliczone wartości amplitud kolejnych harmonicznych
badanych sygnałów i wyniki pomiarów uzyskane w punktach 4 c i 4 d.
5
Ćwiczenie nr 2: Teoria obwodów i sygnałów – laboratorium
d) Na podstawie tabeli wykreślić na jednym wykresie widma badanych sygnałów
otrzymane z obliczeń i z pomiarów.
e) Dokonać porównania wyników otrzymanych na drodze teoretycznej z wynikami
pomiarów i wyciągnąć wnioski na temat zaobserwowanych różnic.
6. Pytania kontrolne
a) Omówić założenia jakie musi spełniać funkcja aby można ją było rozłożyć w szereg
Fouriera.
b) Podać definicję trygonometrycznego szeregu Fouriera.
c) Podać definicję zespolonego szeregu Fouriera.
d) Omówić uproszczenia jakie można zastosować przy rozkładzie funkcji w
trygonometryczny szereg Fouriera korzystając z przemienności, parzystości lub
nieparzystości.
e) Rozłożyć w szereg Fouriera przebieg prostokątny.
6