docRozwiązanie jest na końcu, chciałbym wcześniej “dogadać” kilka
download 
Reklamacja Transkrypt
Rozwiązanie jest na końcu, chciałbym wcześniej “dogadać” kilka
Rozwiązanie jest na końcu, chciałbym wcześniej “dogadać” kilka oznaczeń i zapis, abyśmy używali tego samego języka. Umówmy się, że współrzędne wektorów piszemy pionowo, np trzy współrzędne wektora z R3 zapisujemy tak (celowo nie ma znaku wektora nad “r” aby podkreślić, że to tylko pionowa macierz) x r= y z Natomiast zbiór wektorów bazy, oznaczany jako ê, zapisujemy poziomo, powiedzmy bazę standardową zapisujemy jako: h i − − − e1 → e2 → e3 ê = → − Podyktowane jest to tym, że teraz możemy zapisać wektor → v ∈ R3 jako iloczyn macierzowy (kolejność jest istotna) jak niżej; zwróć uwagę, że składowymi poziomej macierzy są wektory bazy, a pionowej liczby rzeczywiste → − v = h − − → − e3 e2 → e1 → i x → − → − → − y = e 1x + e 2y + e 3z z czyli → − v = ê r (1) Odwzorowanie liniowe f(x,y,z) możemy przekształca współrzędne we współrzędne, więc używając powyższej konwencji i oznaczając pionową macierz współrzędnych przez “r” zapiszemy działanie odwzorowania f następująco: (Uwaga: używam tutaj już liczb z zadania, macierz odwzorowania f nazwijmy fˆ, dla zaznaczenia tego ta równość jest na niebiesko) x fx −1 −3 −1 0 4 y p = fˆ r = fy = 2 z 2 1 0 fz (2) Wprowadźmy jeszcze macierz przejścia S, wiążąca wektory starej bazy z nową. Nową bazę oznaczmy û = [u1 u2 u3 ]. Podane w zadaniu współrzędne nowej bazy wpisujemy w kolumnach. Ponownie używam danych z zadania więc wzór jest na niebiesko. h u1 u2 u3 i = h e1 e2 e3 i −1 0 0 0 0 −1 −1 0 −2 czyli û = ê S (3) Zwróć uwagę na kolejność! Gdyby wektory bazowe pisać pionowo to mnożylibyśmy macierz z lewej przez wektor z prawej strony, ale macierz musiałaby być transponowana. − Zobaczmy jeszcze jak macierz S przekształca współrzędne. Weźmy jakiś wektor → v ∈ R3 . Jego położenie w układzie współrzędnych nie zależy od wyboru bazy. − W starej bazie oznaczmy macierz współrzędnych wektora → v przez “r”, a w nowej przez “r prim”. Dodatkowo zauważ, że jeżeli pomnożymy prawostronnie równanie (3) przez S −1 to otrzymamy: ê = ûS −1 (4) − Korzystamy z zależności (4) i sprowadzamy obie strony równości na wektor → v do zależności od bazy û. Otrzymujemy następujący wynik: − û r0 = → v = ê r = û S −1 r zatem r0 = S −1 r (5) czyli współrzędne przekształcają się przez macierz odwrotną do macierzy przejścia S. Ze względu na przyjęty sposób zapisu nie trzeba transponować tej macierzy - dlatego zresztą taki zapis wybrałem. Jeszcze jeden, ale najważniejszy krok - przedstawienie odwzorowania f w nowej bazie. W równaniu (2) oznaczyliśmy przez “r” macierz współrzędnych na które działa odwzorowanie f, natomiast przez “g” powstającą nową macierz współrzędnych. Dla przypomnienia mieliśmy równość: p = fˆ r (6) W nowej bazie możemy zapisać to samo ze znakiem prim (przy czym fˆ0 jest szukaną macierzą odwzorowania f) p0 = fˆ0 r0 (7) Zastępujemy primowane p i r przez nieprimowane używając zależności (5), a następnie podstawiając “p” ze wzoru (6) fˆ0 S −1 r = S −1 p = S −1 fˆ r (8) Zależność (8) jest spełniona dla każdego r, wobec tego prawdziwe jest samo równanie macierzowe, które potem prawostronnie mnożymy przez S fˆ0 S −1 = S −1 fˆ zatem fˆ0 S −1 S = S −1 fˆ S Iloczyn S −1 S jest identycznością, skracamy go i dostajemy szukany wzór łączący macierz odwzorowania f w starej i nowej bazie (w nowej jest primowane) fˆ0 = S −1 fˆ S (9) Rozwiązanie zadania. • Konstruujemy macierz S wypisując w kolumnach współrzędne wektorów nowej bazy. • Znajdujemy macierz odwrotną S −1 . • Konstruujemy macierz fˆ pisząc układ równań na składowe fx , fy , fz i zapisując go macierzowo. • Korzystamy ze wzoru (9) (wykonujemy dwa mnożenia macierzy). Macierze S i fˆ już mamy. Macierz S −1 ma postać (sorry, na pewno wiesz, jak odwracać macierze, w razie czego po prostu rozwiązujesz układ 3 równań z niewiadomymi e1 , e2 , e3 ) S −1 −1 −1 0 −1 0 = 0 1/2 1/2 −1/2 Wykonujemy mnożenie takich macierzy: −1 −1 0 −1 −3 −1 −1 0 0 −1 0 2 0 4 0 −1 0 fˆ0 = 0 1/2 1/2 −1/2 2 1 0 −1 0 −2 Częściowe wyniki są takie: Po pomnożeniu pierwszej macierzy przez drugą: −1 0 0 −1 3 −3 0 0 −4 0 −1 fˆ0 = −2 −1 0 −2 −1/2 −2 3/2 Po wykonaniu powyższego mnożenia: 4 −4 6 8 fˆ0 = 6 −2 −1 3/2 −3 To jest rozwiązanie. Jak wolisz zapis w postaci układu równań to w primowanym układzie mamy: 0 fx = 4x0 − 4y 0 + 6z 0 fy0 = 6x0 − 2y 0 + 8z 0 fz0 = −x0 + (3/2)y 0 − 3z 0 Mam nadzieję, że się nie pomyliłem... Wprawdzie macierze mnożyłem programem Maxima, ale mogłem coś źle przepisać. W razie pytań pisz na priv. Pozdrowienia - Antek.
