trans lepkie

1
MODELOWANIE UKŠADÓW DYNAMICZNYCH
Modelowanie:
• w oparciu o przesªanki zykalne
(równania ró»niczkowe, równania równowagi siª, momentów siª, równania bilansu masy, energii ...)
• w oparciu o schematy strukturalne
bardziej zªo»onych ukªadów,
• modele wej±ciowo-wyj±ciowe (mode-
le transmitancyjne)
MODELE WEJ‘CIOWO-WYJ‘CIOWE
Rysunek 1: Model wej±ciowo-wyj±ciowy
2
• g(t) - odpowied¹ impulsowa ukªadu
dynamicznego
y(t) = g(t) ∗ u(t)
Z t
=
g(τ )u(t − τ )dτ
Z0 t
=
g(t − τ )u(τ )dτ.
0
• G(s) - transmitancja (funkcja prze-
noszenia) ukªadu dynamicznego
Y (s) = G(s) · U (s)
zerowe warunki pocz¡tkowe!
U (s) oraz Y (s) mog¡ by¢ wektorami,
st¡d G(s) to w ogólno±ci macierz trans-
mitancji operatorowych.
3
• Para wielko±ci zwi¡zanych prostym i
odwrotnym przeksztaªceniem Laplace'a
g(t) ↔ G(s)
G(s) = L [g(t)]
g(t) = L−1 [G(s)] .
C) MODELE W PRZESTRZENI STANU
(specyczny zapis równania ró»niczkowego)
• (równanie stanu, relacja dynamiczna)
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
• (równanie wyj±cia, równanie obserwacji,
relacja statyczna)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
4
• x(t) wektor stanu (zmienne procesowe),
• u(t) wektor wej±¢ (pobudzenia),
• y(t) wektor wyj±¢ (obserwacje, pomiary).
• Zmienne stanu: zbiór (o minimalnej
liczno±ci) takich wielko±ci, których znajomo±¢ w chwili t0, wraz z informacj¡ o
aktualnym i przyszªym pobudzeniu
u(t),
t ≥ t0
jednoznacznie opisuj¡ przyszªe zachowanie si¦ danego ukªadu
x(t),
y(t),
t ≥ t0.
Z
x(t) = exp(At)x(0)+
t
exp(A(t−τ ))Bu(τ )dτ
0
5
Uwagi:
• W przypadku danego ukªadu autonomicznego
ẋ(t) = Ax(t),
x(0)
o przyszªym zachowaniu si¦ tego ukªadu
decyduj¡ tylko warunki pocz¡tkowe:
x(t) = exp(At)x(0).
• O liczbie zmiennych stanu (to znaczy
wymiarze wektora stanu) wygodnie
jest zatem wnioskowa¢ na podstawie liczby niezale»nych warunków pocz¡tkowych
w odpowiednim ró»niczkowym równaniu,
modeluj¡cym dany ukªad (obiekt).
ZMIENNE STANU A OPIS OPERATOROWY
L [ẋ(t)] = L [Ax(t) + Bu(t)]
6
• Ewolucja stanu:
sX(s) − x(0)|x(0)=0 = AX(s) + BU(s)
•
(transmitancj¦ deniuje si¦ dla zerowych
warunków pocz¡tkowych!)
sX(s) = AX(s) + BU(s),
•
(sI − A)X(s) = BU(s),
I jest macierz¡ jednostkow¡
• rozwi¡zanie równania stanu
X(s) = (sI − A)−1BU(s),
• macierz fundamentalna
Φ(t) = exp(At) = L−1 [Φ(s)]
Φ(s) = (sI − A)−1.
7
• Ewolucja wyj±cia:
L [y(t)] = L [Cx(t) + Du(t)]
•
Y(s) = CX(s) + DU(s),
•
£
−1
¤
Y(s) = C(sI − A) B + D U(s).
• Transmitancja operatorowa:
G(s) = C(sI−A)−1B+D = CΦ(s)B+D
• Odpowied¹ impulsowa:
G(t) = L−1 [G(s)]
£
¤
−1
−1
= L C(sI − A) B + D
= CΦ(t)B + D
8
PRZYKŠAD: SILNIK PRDU STAŠEGO
Zakªadaj¡c linearyzacj¦ odpowiednich charakterystyk statycznych, wyznaczymy równania dynamiki obcowzbudnego silnika
pr¡du staªego (DC), sterowanego od
strony twornika.
Nast¦pnie okre±limy transmitancj¦ operatorow¡, opisuj¡c¡ zwi¡zek mi¦dzy zmian¡ napi¦cia wej±ciowego w obwodzie twornika, a zmian¡ poªo»enia k¡towego waªu silnika. Wreszcie podamy stosowny model w
przestrzeni stanu.
Rysunek 2: Schemat silnika pr¡du staªego sterowanego od strony twornika.
9
• Wielko±ci wyst¦puj¡ce na rys. 2 oznaczaj¡:
ea(t) napi¦cie wej±ciowe w obwodzie
twornika,
ia(t) pr¡d w obwodzie twornika,
eb(t) siª¦ przeciwelektromotoryczna,
τ (t) moment mechaniczny silnika,
ϑ(t) poªo»enie k¡towe waªu silnika,
J moment bezwªadno±ci sprowadzony
do waªu silnika,
b wspóªczynnik tarcia lepkiego sprowadzony do waªu silnika.
• Linearyzuj¡c charakterystyk¦ statyczn¡ τ (ia) w otoczeniu przyj¦tego pun-
ktu pracy (zakªada si¦, i» pole wzbu-
dzenia ma warto±¢ staª¡), otrzymuje si¦
zale»no±¢ (dla przyrostów!)
∆τ (t) = k · ∆ia(t),
gdzie k jest wspóªczynnikiem nachylenia
tej charakterystyki.
10
• Zakªada si¦, »e siªa przeciwelektromotoryczna indukowana w obwodzie twornika
jest proporcjonalna (hipoteza liniowo±ci)
do pr¦dko±ci k¡towej waªu silnika :
∆eb(t) = kb∆ϑ̇(t).
• Wspóªczynniki k oraz kb stanowi¡ indy-
widualne charakterystyki danego silnika.
• Równanie spadków napi¦¢ w obwo-
dzie twornika:
Ra∆ia(t)+La
d∆ia(t)
d∆ϑ(t)
+kb
= ∆ea(t)
dt
dt
(1)
za± równanie dynamiki waªu mo»na
zapisa¢ jako
d2∆ϑ(t)
d∆ϑ(t)
J
=
k∆i
−
b
.
a
2
dt
dt
(2)
11
• Wyra»aj¡c (1) oraz (2) w postaci operatorowej, uzyskujemy odpowiednio:
∆Ea(s) = Ra∆Ia(s)+sLa∆Ia(s)+skb∆Θ(s),
s2J∆Θ(s) = k∆Ia(s) − sb∆Θ(s).
• Na tej podstawie zapisujemy równanie
∆Θ(s) =
k
∆Ia(s).
s(b + Js)
• A nast¦pnie wyznaczamy transmitancj¦
operatorow¡
∆Θ(s)
k
=
.
∆Ea(s) s [kkb + (Ra + Las)(b + Js)]
• Zlinearyzowany model naszego silnika
jest wi¦c modelem trzeciego rz¦du.
12
• Je»eli indukcyjno±¢ La w obwodzie twor-
nika ma pomijalnie maª¡ warto±¢, wtedy otrzymujemy przybli»ony model drugiego rz¦du:
∆Θ(s)
k0
=
∆Ea(s) s(1 + T0s)
(3)
w którym
k
k0 =
kkb + bRa
to wzmocnienie pr¦dko±ciowe, za±
JRa
T0 =
kkb + bRa
to elektromechaniczna staªa czasowa
silnika .
• Zauwa»my, i» staªa czasowa T0 zale»y
od OBCI›ENIA SILNIKA.
13
• Ze wzoru (3) wynika, i» tak uproszczony
model silnika pr¡du staªego odpowiada
szeregowemu poª¡czeniu
CZŠONU CAŠKUJCEGO
oraz
CZŠONU INERCYJNEGO.
• Aby rozwi¡za¢ równania (1) oraz (2) niezb¦dna jest znajomo±¢ warunków pocz¡tkowych
∆ϑ(0),
¯
d∆ϑ(t)) ¯¯
∆ϑ̇(0) =
,
dt ¯t=0
∆ia(0).
Na tej podstawie formuªujemy wektor
stanu
£
x(t) = ∆ϑ(t) ∆ϑ̇(t) ∆ia(t)
¤T
.
14
• Ze wzorów (1) oraz (2) otrzymujemy nast¦puj¡ce elementy równania stanu
ẋ(t) = Ax(t) + b∆ea(t)


0
1
0
k/J 
A =  0 −b/J
0 −kb/La −Ra/La


0
b =  0 .
1/La
• W przypadku, gdy La ≈ 0, uzyskuje si¦
uproszczony model o wektorze stanu
£
x̄(t) = ∆ϑ(t) ∆ϑ̇(t)
¤T
• Macierz stanu Ā oraz wektor wej±¢ b̄
tego modelu maj¡ posta¢:
"
Ā =
0
0 −
³ 1
kb k
JRa
#
+ Jb
´
·
,
b̄ =
0
k
JRa
¸
.
15
• Równanie wyj±cia.
Niech ∆ϑ(t) b¦dzie mierzon¡ wielko±ci¡.
Dla La 6= 0 mamy
£
¤
∆ϑ(t) = 1 0 0 x(t)
£
C= 1 0 0
⇒
Dla La = 0 zachodzi
£
¤
∆ϑ(t) = 1 0 x̄(t)
⇒
C= 1 0
• Rozwa»my przypadek
dwóch czujników
(czujnik k¡towego poªo»enia oraz
pr¦dko±ci waªu silnika):
½
wielko±ci mierzone =
£
∆ϑ(t)
∆ϑ̇(t)
¤
¤
16
• Przyjmuje si¦, »e nachylenia statycznych
(liniowych!) charakterystyk tych czujników wynosz¡, odpowiednio, kϑ oraz kϑ̇.
Macierz wyj±cia ma teraz posta¢:
·
dla La 6= 0: C =
·
dla La = 0: C =
¸
kϑ 0 0
;
0 kϑ̇ 0
¸
kϑ 0
.
0 kϑ̇
17
Model uzyskany ze schematu strukturalnego
Fazowe zmienne stanu
• Dany jest strukturalny schemat ukªadu
sterowania z
pomocniczym pr¦dko±ciowym (tachometrycznym) sprz¦»eniem zwrotnym.
Rysunek 3: Strukturalny schemat ukªadu sterowania.
18
• Okre±lmy model w przestrzeni stanu dla:
- fazowych zmiennych stanu
£
x(t) = x1(t) x2(t)
¤T
£
= c(t) ċ(t)
¤T
- wielko±ci zadanej r(t) oraz zakªócenia
d(t) jako wej±¢,
- wielko±ci sterowanej c(t) jako wyj±cia.
• Mamy zatem wymierne formuªy operatorowe:
1
X1(s) = X2(s)
s
2
X2(s) =
(U (s) + D(s))
4+s
2
=
[k(E(s) − ktX2(s)) + D(s)]
4+s
2
=
[k(R(s) − X1(s) − ktX2(s)) + D(s)] .
4+s
19
• Równowa»na posta¢ wielomianowa :
sX1(s) = X2(s),
sX2(s) =
= −2kX1(s)−(2kkt+4)X2(s)+2kR(s)+2D(s).
• St¡d równania ró»niczkowe :
ẋ1(t) = x2(t),
ẋ2(t) = −2kx1(t)−(2kkt+4)x2(t)+2kr(s)+2d(s)
którym odpowiada model, zgodny z wymaganym formalizmem przestrzeni stanu:
·
¸
0
1
x(t)
−2k −2 (2 + kkt)
·
¸·
¸
0 0
r(t)
+
2k 2
d(t)
£
¤
c(t) = 1 0 x(t).
ẋ(t) =
20
Kanoniczne reprezentacje modeli we-wyj
• Dana jest operatorowa transmitancja pewnego obiektu dynamicznego
Pn−1 i
Y (s)
bis
i=0
G(s) =
= Pn
, an = 1, bn−1 6= 0.
i
U (s)
a
s
i=0 i
Wielomiany licznikowy i mianownikowy
nie posiadaj¡ wspólnych czynników.
• Wyznaczymy minimalne kanoniczne reprezentacje w przestrzeni stanu tej transmitancji:
- sterowaln¡,
- obserwowaln¡,
- równolegª¡ (diagonaln¡),
- szeregow¡ (kaskadow¡, dipolow¡).
• Kanoniczna reprezentacja sterowalna {Ac, bc, cc, dc} odpowiada fazo-
wym zmiennym stanu (macierz stanu
jest macierz¡ Frobeniusa):
21


0
1
0 ···
0
 0
0
1 ···
0 

 .
.
.
.
.
,

..
..
..
..
Ac =  ..

 0
0
0 ···
1 
−a0 −a1 −a2 · · · −an−1
£
¤T
cc = b0 b1 · · · bn−2 bn−1 , dc = 0.
Rysunek 4: Symulacyjny schemat odpowiadaj¡cy kanonicznej reprezentacji
sterowalnej.
 
0
0
.
.. 
bc = 
 
0
1
22
• Kanoniczna reprezentacja obserwowalna {Ao, bo, co, do} jest postaci¡
dualn¡ do reprezentacji sterowalnej:
Ao = ATc ,
bo = cTc ,
co = bTc ,
do = dc.
Rysunek 5: Symulacyjny schemat odpowiadaj¡cy kanonicznej reprezentacji
obserwowalnej.

0 0
1 0

Ao = 
 0. 1.
 .. ..
0 0
£
co = 0



· · · 0 −a0
b0
 b1 
· · · 0 −a1 

... 0 −a  , b = 
... 


2 
o


...
... 0

 bn−2 
· · · 1 −an−1
bn−1
¤T
0 · · · 0 1 , do = 0.
23
• Kanoniczna reprezentacja równolegªa {Ad, bd, cd, dd} jest postaci¡ o dia-
gonalnej macierzy stanu.
Rozkªadaj¡c transmitancj¦ G(s) na uªamki
proste, otrzymujemy
G(s) =
Xn
ci
,
i=1 s − pi
gdzie, dla i ∈ {1, . . . , n}
pi biegun transmitancji,
ci wspóªczynnik udziaªu danego bieguna
(residuum)
(dla uproszczenia zaªo»ono, i» bieguny
tej transmitancji s¡ biegunami pojedynczymi ).
Mamy zatem
Y (s) =
Xn
ci
U (s).
i=1 s − pi
24
Niech
Xi(s) =
U (s)
s − pi
b¦dzie transformat¡ i-tej zmiennej stanu.
Na tej podstawie otrzymujemy:
sXi(s) = piXi(s)+U (s), i ∈ {1, . . . , n} ,
Xn
Y (s) =
ciXi(s).
i=1
Poszukiwany model w przestrzeni stanu
ma przeto posta¢:

p1 0
 0 p2
Ad = 

0 0
 
1
1

bd = 
 ...  ,
1

0
0 
n

=
diag
{p
}
i
. . . ... 
1
· · · pn
 
c1
 c2 

cd = 
 ...  , dd = 0.
cn
25
Rysunek 6: Symulacyjny schemat odpowiadaj¡cy kanonicznej reprezentacji
równolegªej.
• Kanoniczna reprezentacja szeregowa
{As, bs, cs, ds}.
Transmitancj¦ G(s) przedstawiamy w nast¦puj¡cej (nieunikalnej !) kaskadowej
(czynnikowej) postaci
G(s) =
Yn−1 (s − zi)
i=1
bn−1
·
,
(s − pi) s − pn
wyró»niaj¡c czªony ("dipole") zªo»one
z zer i biegunów tej transmitancji.
26
Transmitancj¦ (s − zi)/(s − pi) i-tego dipola (i ∈ {1, . . . , n − 1}), przeksztaªcamy
1/s
s − zi
= (s − zi) ·
s − pi
1 − pi/s
otrzymuj¡c schemat symulacyjny dany
na rys. 7.
Rysunek 7: Schemat symulacyjny transmitancji dipola (s − zi )/(s − pi ).
Przesuni¦cie w¦zªa zaczepowego prowadzi
do modelu, w którym jako zmienna sta-
nu sªu»y wyj±cie idealnego czªonu
caªkuj¡cego (rys. 8).
27
Rysunek 8: Schemat symulacyjny transmitancji dipola (s − zi )/(s − pi ).
Transmitancji G(s) odpowiada zatem schemat symulacyjny z rys. 9.
Rysunek 9: Symulacyjny schemat odpowiadaj¡cy kaskadowej reprezentacji
stanowej.
• Rozwa»my formuªy opisuj¡ce sygnaªy
wej±ciowe czªonów caªkuj¡cych .
28
Dla ẋ1(t) zachodzi
ẋ1(t) = p1x1(t) + u(t),
z kolei dla ẋ2(t) mamy
ẋ2(t) = ẋ1(t) − z1x1(t) + p2x2(t).
Mo»na zatem zapisa¢, i»
ẋ2(t) = (p1 − z1)x1(t) + p2x2(t) + u(t).
W podobny sposób dla ẋ3(t) otrzymujemy równanie
ẋ3(t) = (p1 − z1)x1(t) + (p2 − z2)x2(t)+
+p3x3(t) + u(t).
29
Dla sygnaªu ẋn(t) obowi¡zuje formuªa
ẋn(t) =
Xn−1
i=1
(pi − zi)xi(t)+pnxn(t)+u(t).
Sygnaª wyj±ciowy ukªadu dany jest wzorem
y(t) = bn−1xn(t).
Parametry kaskadowej reprezentacji
stanowej transmitancji G(s):
ẋ(t) = Ax(t)
+ bu(t)

p1
0
0
 p1 − z1
p2
0

z1 p2 − z2
p3
= 
 p1 −
...
...
...

p − z p − z2 p3 − z3
 1 1 2
1
1
 

+ 
 1.  u(t)
 .. 
1

··· 0
··· 0 

··· 0 
x(t)

. . . ... 
· · · pn
30
£
¤
y(t) = 0 0 · · · 0 bn−1 x(t),
gdzie
£
x(t) = x1(t) x2(t) · · · xn(t)
¤T
Macierz stanu A ∈ C n×n jest zatem
doln¡ macierz¡ trójk¡tn¡ o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:
elementy gªównej przek¡tnej macierzy A maj¡ warto±ci równe biegunom transmitancji G(s) (s¡ to tak»e
warto±ci wªasne macierzy A
n
spectr A = {pi}i=1
co wynika z zaªo»onej minimalno±ci modelu),
- wszystkie elementy i-tej kolumny le»¡ce pod gªówn¡ przek¡tn¡ macierzy
A maj¡ jednakow¡ warto±¢: pi − zi,
i = 1, . . . , n − 1.
31
• Przykªad.
Y (s)
48 + 44s + 12s2 + s3
G(s) =
=
U (s) 105 + 176s + 86s2 + 16s3 + s4
2+s 4+s 6+s
1
=
·
·
·
.
7+s 5+s 3+s 1+s
Mamy zatem:
n = 4,
(p1 = −7, z1 = −2)
(p2 = −5, z2 = −4)
(p3 = −3, z3 = −6), p4 = −1.
Model w przestrzeni stanu:
 
1
−7 0 0 0
1
 −5 −5 0 0 
 

ẋ(t) = 
 −5 −1 −3 0  x(t)+ 1  u(t)
1
−5 −1 3 −1
£
¤
y(t) = 0 0 0 1 x(t).


32
Diagonalizacja macierzy stanu
Modele podobne
• Macierze M1 ∈ Rn×n oraz M2 ∈ Rn×n
s¡ macierzami podobnymi o ile istnieje
taka nieosobliwa macierz P ∈ Rn×n
(macierz podobie«stwa), »e
M2 = P−1M1P.
Zauwa»my, »e w przypadku podobnych
macierzy zachodzi
M1 = PM2P−1.
• Relacja podobie«stwa macierzy jest
relacj¡
zwrotn¡
symetryczn¡
przechodni¡
jest to zatem relacja równowa»no±ci.
33
• Niech M1 ∈ Rn×n oraz M2 ∈ Rn×n
b¦d¡ macierzami podobnymi z macierz¡ podobie«stwa P ∈ Rn×n. Za-
chodzi wówczas
det (M2 − λIn) = det (P−1M1P − λIn)
£ −1
¤
= det P (M1 − λIn)P
= det (M1 − λIn).
• Niezmienniki relacji podobie«stwa:
spectr M1 = spectr M2
det M1 = det M2
trace M1 = trace M2
• UWAGA: Dla dowolnej macierzy M =
[mij ]n,n ∈ Rn×n zachodzi
Yn
det M =
λi,
i=1
trace M =
Xn
i=1
mii =
Xn
i=1
λi,
gdzie λi ∈ spectr M, i ∈ {1, . . . , n}.
34
• Niech A ∈ Rn×n. Wykorzystajmy relacj¦
podobie«stwa do wyznaczenia macierzy
fundamentalnej exp (At) macierzy A.
W tym celu posªu»ymy si¦ diagonalizuj¡c¡ macierz¡ podobie«stwa czyli
macierz¡ modaln¡.
• Macierz
£
¤
M = x1 · · · xn ,
M ∈ Rn×n
utworzon¡ z wektorów wªasnych xi, i ∈
{1, . . . , n}, danej macierzy A ∈ Rn×n,
odpowiadaj¡cych warto±ciom wªasnym
λi, i ∈ {1, . . . , n}, tej macierzy, nazywamy macierz¡ modaln¡ macierzy A.
• Twierdzenie:
Wektory wªasne zwi¡zane z ró»nymi warto±ciami wªasnymi s¡ liniowo niezale»ne. Mo»na z nich zatem utworzy¢ baz¦
w przestrzeni Rn, a odpowiednia macierz
modalna M ∈ Rn×n jest nieosobliwa.
35
• Zaªo»enie o jednokrotno±ci warto±ci
wªasnych macierzy A: λi 6= λj dla
i 6= j oraz i, j ∈ {1, . . . , n}.
• Wektory wªasne xi 6= 0 macierzy A,
odpowiadaj¡ce warto±ciom wªasnym λi,
speªniaj¡ równanie
Axi = λixi.
Ukªad takich równa« dla i ∈ {1, . . . , n}
mo»na wyrazi¢ wzorem
AM = MΛ
(4)
gdzie Λ ∈ Rn×n (Cn×n) jest diagonaln¡
macierz¡ zªo»on¡ z warto±ci wªasnych
spectr A

Λ = diag {λi}ni=1

λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 
.
=
.


..
0 0 · · · λi
36
• Ze wzoru (4), wobec rankM = n, wynika
Λ = M−1AM
A = MΛM−1
co oznacza, i» mamy do czynienia z par¡
macierzy podobnych.
• Stwierdzenie. Macierz A jest podobna
do macierzy diagonalnej
Λ = diag {λi}ni=1
za± macierz¡ podobie«stwa P = M
jest macierz modalna macierzy A.
• Macierz exp(At) deniuje si¦ jako
X∞ Aiti
exp (At) =
.
i=0 i!
∀i zachodzi
(MΛM−1)i = MΛiM−1.
37
Podstawienie A = MΛM−1 prowadzi
zatem do wzoru
exp(At) = M exp(Λt)M−1,
w którym
© λt
ª
λn t
1
exp(Λt) = diag e , . . . , e
 λt

1
e
0 ··· 0
 0 eλ2t · · · 0 
.
= 
...


0 0 · · · eλnt
Macierz fundamentalna exp(At) jest
macierz¡ podobn¡ do macierzy diagonalnej exp(Λt), przy czym macierz¡
podobie«stwa jest macierz modalna
M macierzy A.
Macierz fundamentalna nie jest zatem niezmiennikiem relacji podobie«stwa.
38
• Wskazówka rachunkowa.
Oznaczaj¡c wiersze macierzy M−1 jako

M
−1
y1T
y2T




,
=  .. 
. 
y2T
yi ∈ Cn, i ∈ {1, . . . , n}
macierzy exp(At) nada¢ mo»na nast¦puj¡c¡ form¦ diadyczn¡
exp (At) =
Xn
i=1
xiyiT eλit.
Model we-wyj modelem cz¡stkowym!
• Dany jest model w przestrzeni stanu pewnego
obiektu dynamicznego:



·
ẋ(t) =
¸
·
¸
−1 3
−1
x(t) +
u(t)
−1 −5£
1
.
¤
y(t) = 0 −1 x(t)
39
• Operatorowa transmitancja ma posta¢
µ ·
¸ ·
¸¶−1 ·
¸
£
¤
Y (s)
1 0
−1 3
−1
= 0 −1
s
−
0 1
−1 −5
1
U (s)
·
¸·
¸
£
¤ s+5
1
3
−1
=
0 −1
−1 s + 1
1
(s + 2)(s + 4)
·
¸
£
¤ −s − 2
1
=
0 −1
s+2
(s + 2)(s + 4)
−(s + 2)
=
(s + 2)(s + 4)
−1
=
.
s+4
Jest to zatem model wej±ciowo-wyj±ciowy pierwszego rz¦du!
• Wyznaczmy model podobny o diago-
nalnej macierzy stanu.
Modalna macierz diagonalizuj¡ca wynika
z przeksztaªce«:
·
spectr
−1 3
−1 −5
¸
= {λ1, λ2} = {−2, −4}
40
Wektory wªasne:
·
λ1 = −2
:
⇒
λ1 = −4
:
⇒
¸·
· ¸
1 3
0
=
−1 −3
0
· 1¸ ·
¸
x1
3
x1 =
=
;
x21
−1
·
¸· 1 ¸ · ¸
3 3
x2
0
=
−1 −1
x22
0
· 1¸ ·
¸
x2
1
x2 =
=
.
x22
−1
x11
x21
¸
Macierz modalna oraz jej odwrotno±¢:
·
¸
¤
3 1
−1 −1
·
¸
1/2 1/2
=
.
−1/2 −3/2
M =
M−1
£
x1 x2 =
Model o diagonalnej macierzy stanu:
·
¸
¸
·

−1
−1
3

−1
−1

u(t)
Mz(t) + M
ż(t) = M


1
 ·
¸−1 −5·
¸
−2 0
0 (!)
=
z(t)
+
u(t)


0 £ −4 ¤
−1£


¤

y(t) = 0 −1 Mz(t) = 1 1 z(t).
41
• Schematy symulacyjne obu rozwa»anych modeli w przestrzeni stanu.
Model pierwotny o niediagonalnej strukturze:

 ẋ1(t) = −x1(t) + 3x2(t) − u(t)
ẋ2(t) = −x1(t) − 5x2(t) + u(t)

y(t) = −x2(t)
Rysunek 10: Pierwotny model symulacyjny o niediagonalnej strukturze.
42
Model podobny o diagonalnej strukturze:

 ż1(t) = −2z1(t)
ż2(t) = −4z2(t) − u(t)

y(t) = z1(t) + z2(t)
Rysunek 11: Model symulacyjny z diagonaln¡ macierz¡ stanu.
Komentarz:
• Diagonalizacja macierzy stanu odpowiada
sprowadzeniu pierwotnego modelu
{A, b, c}
43
do postaci podobnej o równolegªej ('odsprz¦»onej') strukturze
© −1
ª
−1
M AM, M b, cM .
• O 'nieobecno±ci' ('niesterowalno±ci' i/lub
'nieobserwowalno±ci') danego modu
±wiadczy wówczas wyst¦powanie zerowej
(!) wspóªrz¦dnej w wektorze wej±ciowym
M−1b (i/lub wyj±ciowym cM).
• Wyst¦powanie zer w wektorach b i/lub
c modelu pierwotnego o niediagonalnej macierzy stanu A w ogólno±ci nie
±wiadczy jeszcze o utracie sterowalno±ci
i/lub obserwowalno±ci modelu.
• W rozwa»anym przykªadzie, transmi-
tancyjny model wej±ciowo-wyj±ciowy nie niesie »adnej informacji o
modzie e−2t, obecnym przecie» w 'peªnym' modelu w przestrzeni stanu.
• Sytuacja nabiera cech dramatu, gdy taki
'ukryty' mod jest modem niestabilnym.
44
Jeszcze o modelach podobnych.
• Dane s¡ dwa nwymiarowe modele w
przestrzeni stanu:
½
½
ẋ(t) = Axx(t) + Bxux(t), x(0)
yx(t) = Cxx(t) + Dxux(t)
ż(t) = Az z(t) + Bz uz (t), z(0)
yz (t) = Cz z(t) + Dz uz (t)
• Modele te nazywamy parametrycznie
podobnymi o ile istnieje taka nieosobliwa macierz P ∈ Rn×n (macierz podobie«stwa), »e:
Az
Bz
Cz
Dz
=
=
=
=
P−1AxP
P−1Bx
Cx P
Dx .
45
• Modele te nazywamy podobnymi o ile
s¡ parametrycznie podobne, a ponadto:
ux(t) ≡ uz (t) ≡ u(t),
x(0) = Pz(0).
• Modele parametrycznie podobne charakteryzuj¡ si¦ tak¡ sam¡ transmitancj¡ operatorow¡:
Cz (sIn − Az )−1Bz + Dz =
CxP(sIn − P−1AxP)−1P−1Bx + Dx =
£ −1
¤−1 −1
CxP P (sIn − Ax)P P Bx+Dx =
Cx(sIn − Ax)−1Bx + Dx.
• Modele takie posiadaj¡ tak»e identy-
czne odpowiedzi impulsowe oraz skokowe.
• W przypadku podobnych modeli zachodzi ponadto:
x(t) ≡ Pz(t),
PJSuchomski
yx(t) ≡ yz (t) ≡ y(t).