Wykład - cz. 5

Wykład 5
5.1. Obchody Eulera
SW
Obchody Eulera. Cykle Hamiltona
Definicja 5.1. Szlak zawierający każdą krawędź nazywamy szlakiem Eulera.
(a)
-U
K
Euler pokazał, że nie można przejść każdego z siedmiu mostów w Królewcu dokładnie raz w czasie wędrówki po mieście.
(b)
W
M
P
Rys. 5.1. (a) Mosty w Królewcu, oraz (b) graf odpowiadający wędrówce po nich
Definicja 5.2. Obchód Eulera, to domknięty szlak Eulera.
Definicja 5.3. Graf G nazywamy eulerowskim, jeśli zawiera obchód Eulera.
Twierdzenie 5.1 (Eulera). Niepusty graf jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy nie posiada wierzchołków stopnia nieparzystego.
Dowód. (⇒) Za każdym razem, gdy w obchodzie Eulera przechodzimy
przez wierzchołek, udział krawędzi należących do tego obchodu w stopniu
danego wierzchołka zwiększa się o dwa, ponieważ każda krawędź występuje
dokładnie raz.
(⇐) Zastosujemy indukcję ze względu na liczbę wierzchołków.
W przypadku, gdy liczba wierzchołków jest równa 3 dowód jest oczywisty.
Niech teraz G ma wszystkie wierzchołki parzystego stopnia większego lub
równego 2, wtedy graf zawiera cykl C (przykład takiego grafu znajduje się
na rysunku 5.2).
Jeżeli C zawiera wszystkie krawędzie grafu G, to jest naszym obchodem
Eulera. W przeciwnym razie usuwamy krawędzie należące do cyklu C z grafu
RK
27
28
Wykład 5. Obchody Eulera. Cykle Hamiltona
(a)
(b)
(c)
SW
Rys. 5.2. (a) Graf G, (b) graf G z zaznaczonym cyklem C oraz (c) graf H = G r C
W
M
P
-U
K
G tworząc w ten sposób graf H (być może niespójny). W grafie H liczba
wierzchołków jest taka sama jak w grafie G, a liczba krawędzi się zmniejszyła. Stopnie wierzchołków nie zmieniły swej parzystości. Wierzchołki leżące
na cyklu mają stopień o dwa mniejszy niż w grafie G. Pozostałe nie zmieniły
swych stopni.
Do każdej składowej stosujemy założenie indukcyjne, z którego wiemy, że
w każdej składowej istnieje obchód Eulera i ma on co najmniej jeden wierzchołek wspólny z C w grafie G. Szukany obchód Eulera w grafie G tworzymy przechodząc przez krawędzie cyklu C dopóki nie napotkamy wierzchołka
wspólnego z którąkolwiek ze składowych H (z jedną). Wówczas w tej składowej przechodzimy obchód Eulera, wracamy do punktu wyjścia i idziemy dalej
po cyklu C aż do następnej składowej, itd. Postępujemy tak, aż dotrzemy
do punktu wyjścia.
Wniosek 5.1. Graf G ma szlak Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera
co najwyżej dwa wierzchołki stopnia nieparzystego.
Dowód. (⇒) Dowód trywialny.
(⇐) Załóżmy, że mamy dokładnie dwa wierzchołki u i v stopnia nieparzystego. Rozważmy graf G ∪ {u, v}. Wszystkie wierzchołki są stopnia parzystego, więc istnieje obchód Eulera P . Wówczas P r {u, v} jest szlakiem
Eulera.
5.2. Cykle Hamiltona
Definicja 5.4. Ścieżkę zawierającą każdy wierzchołek grafu G nazywamy
ścieżką Hamiltona.
Definicja 5.5. Cyklem Hamiltona nazywamy cykl, który zawiera każdy
wierzchołek grafu G.
Definicja 5.6. Graf nazywamy hamiltonowskim, jeśli zawiera cykl Hamiltona.
Uwaga 5.1. Wszystkie grafy pełne są hamiltonowskie.
Notatki do wykładu Matematyka dyskretna prowadzonego przez dr Justynę Kurkowiak na WMP UKSW w Warszawie
29
5.2. Cykle Hamiltona
W przeciwieństwie do grafów Eulera nie ma warunku koniecznego i dostatecznego dla grafów Hamiltona.
SW
Rys. 5.3. Czy graf ten ma cykl Hamiltona?
Twierdzenie 5.2 (Diraca, 1952). Jeżeli graf prosty ma n wierzchołków
(n ­ 3), oraz d(v) ­ n2 dla każdego wierzchołka v, to graf jest hamiltonowski.
-U
K
Twierdzenie 5.3 (Öre, 1960). Jeżeli graf G ma n wierzchołków (n ­ 3),
oraz dla każdych u, v ∈ V (G), {u, v} ∈
/ E(G), d(u) + d(v) ­ n, to graf G jest
hamiltonowski.
Dowód. Załóżmy, że dla dowolnych wierzchołków u, v ∈ V (G), {u, v} ∈
/
E(G), d(u) + d(v) ­ n, ale graf G nie zawiera cyklu H. Weźmy maksymalny (ze względu na liczbę krawędzi) taki graf. Z maksymalności wynika, że po dodaniu nowej krawędzi {x, y} otrzymujemy graf hamiltonowski. Co więcej, każdy cykl Hamiltona musi zawierać krawędź {x, y}. Zatem
W
M
P
x
y
Rys. 5.4. G ∪ {x, y}
w G istnieje ścieżka Hamiltona. Rozważmy zbiory S = {vi : xvi+1 ∈ E(G)},
x = v1
v2
v3
v4
···
vn−1
y = vn
Rys. 5.5.
T = {vi : yvi ∈ E(G)}. Wobec tego a ∈
/ S ∪ T i |S ∩ T | = 0, bo S ∩ T = ∅.
Ostatecznie d(x) + d(y) = |S| + |T | = |S ∪ T | + |S ∩ T | < n = V (G).
Sprzeczność.
Notatki do wykładu Matematyka dyskretna prowadzonego przez dr Justynę Kurkowiak na WMP UKSW w Warszawie