Matematyka dyskretna Zestaw 9. 1. Niech k 2 oraz Vk będzie

Matematyka dyskretna
Zestaw 9.
(zadania na 11.V)
1. Niech k ­ 2 oraz Vk będzie zbiorem wszystkich ciągów zero-jedynkowych długości
k. Kostką k-wymiarową nazywamy graf Qk = (Vk , Ek ), w którym uv ∈ Ek ⇔ u, v
różnią się na dokładnie jednej pozycji (np. u = 001, v = 011, dla k = 3).
a) znaleźć liczbę krawędzi grafu Qk , b) pokazać, że graf Qk jest spójny,
c) dla jakich k dopełnienie grafu Qk jest spójne?
2. Wyznaczyć wszystkie (nieizomorficzne) drzewa o 6 wierzchołkach.
3. Graf T jest drzewem o (dokładnie) dwóch wierzchołkach stopnia 4, trzech wierzchołkach stopnia 3 i czterech wierzchołkach stopnia 2 - pozostałe wierzchołki są
stopnia 1. Ile wierzchołków ma graf T ? Narysuj przykładowe drzewo spełniające
podane wyżej warunki.
4. Cząsteczki alkanów zbudowane z atomów węgla C (o wartościowości 4) i wodoru
H (o wartościowości 1) mają wzór sumaryczny Cn H2n+2 . Wiedząc, że cząsteczki są
spójne (atomy są ze sobą w jakiś sposób połączone) pokazać, że cząsteczka alkanu
ma strukturę drzewa. Cząsteczki o tym samym wzorze sumarycznym ale nieizomorficznych strukturach nazywane są izomerami. Znaleźć wszystkie izomery:
a) butanu C4 H10 , b) heksanu C6 H14 .
5. a) Niech T = (V, E) będzie drzewem oraz k = max deg(v). Pokazać, że T zawiera
v∈V
przynajmniej k wierzchołków stopnia 1.
b) Uzasadnić, że nie istnieje drzewo o następującym ciągu stopni wierzchołków:
5,4,3,2,2,1,1,1,1,1,1.
6. Czy poniższą figurę można narysować nie odrywając ołówka od papieru i nie rysując
dwukrotnie żadnego odcinka?
HH
H
HH
H
HH
H
7. Pokazać, że dla dowolnego k ­ 2 kostka k-wymiarowa Qk (zob. zad. 1) ma cykl
Hamiltona. Dla jakich k kostka Gk ma obwód Eulera?
8. a) Niech G = (V, E) będzie grafem, w którym dla dowolnych dwóch niesąsiednich
wierzchołków u, v (tzn. uv ∈
/ E) zachodzi warunek deg(u) + deg(v) ­ #V . Pokazać,
że wtedy G ma cykl Hamiltona.
dla
b) Podać przykład grafu G = (V, E), w którym #V = n oraz deg(v) ­ n−1
2
każdego v ∈ V , a mimo to G nie ma cyklu Hamiltona.
9. Graf G = (V, E) nazwiemy k-regularnym, jeśli deg(v) = k dla każdego v ∈ V . Dla
każdej liczby parzystej n ­ 4 skonstruować spójny graf 3-regularny o n wierzchołkach. Czy każdy taki graf ma obwód Eulera?
10. Wyznaczyć wszystkie nieizomorficzne grafy 4-regularne o siedmiu wierzchołkach.
11. a) Pokazać, że jeśli G = (V, E) oraz #E > 12 (#V − 1)(#V − 2) + 1, to G ma cykl
Hamiltona.
b) Dla każdego n ­ 3, podać przykład grafu o n wierzchołkach i 12 (n − 1)(n − 2) + 1
krawędziach, który nie ma cyklu Hamiltona.
12. Na poniższym rysunku przedstawiono graf Petersena:
t
HH
t
t HH
H
t
A HtH A t A
H
A
tH
H
At A At
At
a) Uzasadnić,
że graf ten jest
n
o izomorficzny z grafem G = (V, E), w którym:
V = {i, j} : 1 ¬ i < j ¬ 5 oraz uv ∈ E ⇔ u ∩ v = ∅.
b) Pokazać, że graf Petersena nie ma cyklu Hamiltona.