Kolokwium z Analizy Matematycznej Rząd I Zadanie 1. [3p+3p

Kolokwium z Analizy Matematycznej
Rząd I
Zadanie 1. [3p+3p] Zbadać spójność i zupełność zbioru Q × [0, 3].
Zadanie 2. [2p] Zbadać lipschitzowskość i kontraktywność funkcji
f : (R2 , d∞ ) → (R2 , d∞ ), f (x, y) =
x+y
9
y,
.
10
5
[1p] Napisać macierz przekształcenia liniowego f (R2 z bazą standardową).
Zadanie 3. [3p] Wyznaczyć szereg Fouriera funkcji 2π-okresowej f danej na [−π, π] wzorem
x
,
|x|
(
f (x) =
0,
x ∈ (−π, 0) ∪ (0, π),
x ∈ {−π, 0, π}.
Uzasadnić, że dla każdego x ∈ [−π, π] otrzymany szereg jest zbieżny, a jego suma wynosi f (x).
(xk )∞
k=1
Zadanie 4. [3p] Wyjaśnić, czy zbiór S =
∞
∈`
∞
P
:
|xk | < ∞ jest zwarty w (`∞ , d∞ ).
k=1
Zadanie 5. [2p] Znaleźć granicę punktową i obszar zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego
4 x4
[2p] Opisać jak najpełniej, gdzie ciąg jest zbieżny jednostajnie.
fn : R → R, fn (x) = √nn8 +x
8 .
Zadanie 6. [3p] Znaleźć obszar zbieżności szeregu
∞
P
2 n xn
n·3n
n=1
oraz jego sumę wewnątrz obszaru zbież-
ności.
Punkty 9–11 12–13 14–15 16–18 19–22
Ocena
dst
dst+
db
db+
bdb
Kolokwium z Analizy Matematycznej
Rząd II
Zadanie 1. [3p+3p] Zbadać spójność i zupełność zbioru ({0, 3} × [0, 3]) ∪ ([0, 3] × {0, 3}).
Zadanie 2. [3p] Zbadać lipschitzowskość i kontraktywność funkcji
x+y 7
f : (R , d1 ) → (R , d1 ), f (x, y) =
,
x .
5
10
2
2
[1p] Napisać macierz przekształcenia liniowego f (R2 z bazą standardową).
Zadanie 3. [3p] Wyznaczyć szereg Fouriera funkcji 2π-okresowej f danej na [−π, π] wzorem
(
f (x) =
√
x2
,
x
0,
x ∈ (−π, 0) ∪ (0, π),
x ∈ {−π, 0, π}.
Uzasadnić, że dla każdego x ∈ [−π, π] otrzymany szereg jest zbieżny, a jego suma wynosi f (x).
Zadanie 4. [3p] Wyjaśnić, czy zbiór S =
(xk )∞
k=1
∞
∈`
:
∞
P
xk – zbieżny
jest zwarty w (`∞ , d∞ ).
k=1
Zadanie 5. [2p] Znaleźć granicę punktową i obszar zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego
n2 x2
. [2p] Opisać jak najpełniej, gdzie ciąg jest zbieżny jednostajnie.
fn : R → R, fn (x) = √
3 6
n +x6
Zadanie 6. [3p] Znaleźć obszar zbieżności szeregu
∞
P
n=1
ności.
Punkty 9–11 12–13 14–15 16–18 19–22
Ocena
dst
dst+
db
db+
bdb
3 n xn
n·2n
oraz jego sumę wewnątrz obszaru zbież-