zestaw nr 14.

14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego,
zbieżność punktowa i jednostajna. Własności
zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności
jednostajnej szeregu funkcyjnego.
1
Definicja Ciąg funkcyjny
Niech (fn )n∈N będzie ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na pewnym
zbiorze E ⊂ , tzn. każdy wyraz ciągu fn jest funkcją fn : E → . Każdy
taki ciąg nazywamy ciągiem funkcyjnym.
Dla każdego ustalonego x ∈ E, ciąg wartości (fn (x))n∈N jest zwykłym ciągiem
liczbowym.
Jeżeli dla każdego x ∈ E ciąg liczbowy (fn (x))n∈N jest zbieżny, to mówimy, że
ciąg funkcyjny (fn )n∈N jest punktowo zbieżny (lub krótko zbieżny) na E.
Jeżeli wówczas dla każdego x ∈ E przez (f (x) oznaczyy wartość granicy
lim fn (x) w punkcie x, to otrzymamy funkcję f : E →
którą nazywamy
n→∞
granicą ciągu funkcyjnego (fn )n∈N
W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (fn )n∈N możemy wyrazić następująco:
|fn (x) − f (x)| < ∀ ∀ ∃ ∀
R
R
R
x∈E ε>0 N ∈N n>N
1.1
Przykład
Rozważmy ciąg funkcji (fn )n∈N
fn (x) := xn , x ∈ (−1, 1]
1
Ciąg ten jest zbieżny dla x ∈ (−1, 1]. Jego granica w przedziale (−1, 1] jest
funkcja:
(
0 gdy x ∈ (−1, 1]
f (x) =
1 gdy x = 1
2
Definicja Szereg funkcyjny
Niech (fn )n∈N bedzie ciągiem funkci rzeczywistych, określonych w pewnym
zbiorze E ⊂
R. Wówczas szereg
∞
X
fn nazywamy
n=1
∞
X
dla każdego x ∈ E szereg liczbowy
funkcyjny
∞
X
seregiem funkcyjnym. Jeżeli
fn (x) jest zbieżny to mówimy, że szereg
n=1
fn jest punktowo zbieżny (lub krótko zbieżny) na E.
n=1
Jeżeli wówczas dla każdego x ∈ E przez f (x) oznaczymy sumę szeregu
to funkcje f : E →
R nazywamy sumą szeregu funkcyjnego
∞
X
∞
X
fn (x)
n=1
fn .
n=1
f (x) = lim sn (x), gdzie sn (x) = f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x)
x→∞
2.1
Przykład
Rozważmy szereg funkcyjny
∞
X
∞
X
xn , gdzie x ∈ (−1, 1). Szereg ten jest zbieżny
n=0
1
.
1−x
n=0
Rzeczywiście: sn (x) = 1 + x + x2 + ... + xn−1 .
2
n−1
2
n
n
= 1+x+x +...+x1−x−x−x −...−x = 1−x
sn (x) = (1 + x + x2 + ... + xn−1 ) 1−x
1−x
1−x
1
1 − xn
lim sn (x) = lim
=
.
n→∞
n→∞ 1 − x
1−x
Czyli granicą ciągu sum częściowych sn (x) dla x ∈ (−1, 1) tego szeregu jest
1
funkcja f (x) = 1−x
.
dla x ∈ (−1, 1) oraz
3
n
x =
Definicja jednostajej zbieżnośi ciągów funkcyjnych
R
Mówimy że ciąg funkcyjny (fn )n∈N określony na zbiorze E ⊂ jest jednostajnie zbieżny na E do funkcji f, gdy istnieje funkcja f : E → taka że:
R
∀
∃
∀
|fn (x) − f (x)| < ∀
ε>0 N ∈N n>N x∈E
i oznaczamy: fn ⇒ f
2
3.1
Twierdzenie
Jeżeli ciąg funkcyjny (fn )n∈N jest jednostajnie zbieżny na E do funkcji f, to
jest on zbieżny punktowo (krótko zbieżny) na E i do funkcji f.
Twierdzenie odwrotne nie zachodzi
3.2
Przykład
Ciąg funkcyjny, który nie jest jednostajnie zbieżny, choć jest zbieżny
fn (x) = xn , x ∈ (−1, 1]
Pokażemy z def zbieżności punktowej, że jest zbieżny, czyli lim fn = f
n→∞
Dla danego 0 < < 1 i ustalonego x ∈ (−1, 1) nierówność |fn (x) − f (x)| < ,
czyli |xn | < (|xn | < | ∗ ln ↔ ln ∗ |xn | < ln ∗ ↔ n ∗ ln|x| < ln ∗ | : ln|x| ↔ n >
ln
)
ln|x|
ln
ln
zachodzi dla n > ln|x|
. Zatem przynajmując N = N (x, ) = ln|x|
otrzymujemy,
że gdy x → 1 to N (x, ) → +∞. Zatem dla danego > 0 nie uda nam się
dobrać N () tak by ∀n>N () |fn (x) − f (x)| < .
3.3
Twierdzenie
N
Niech n→∞
lim fn = f na E. Przyjmijmy Mn = supx∈E |fn (x) − f (x)| , dla n ∈ .
Wówczas ciąg funkcyjny (fn )n∈N jest jednostajnie zbieżny na E wtedy i tylko
wtedy, gdy lim Mn = 0
n→∞
3.4
Twierdzenie
Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych na zbiorze E jest ciągła
na zbiorze E.
3.5
Twierdzenie(Kryterium Cauchy’ego jednostajnie zbieżnego ciągu funkcyjnego)
Ciąg funkcyjny (fn )n∈N jest jednostajnie zbieżny na E wtedy i tylko wtedy,
gdy
∀>0 ∃N ∈N ∀m,k>N ∀x∈E |fm (x) − fk (x)| < 3.6
Twierdzenie
Niech (fn )n∈N będzie ciągiem funkcji różniczkowalnych na przedziale [a,b].
Jeśli ciągi (fn )n∈N zbieżny w pewnym punkcie x ∈ [a, b] i (fn0 )n∈N są jednostajnie zbieżne na [a,b], to (n→∞
lim fn (x))0 = n→∞
lim fn0 (x)
3
4
Jednostajna zbieżność szeregów funkcyjnych
4.1
Definicja
Niech dany będzie ciąg funkcyjny (fn )n∈N określony na E ∈
∞
X
szereg funkcyjny
R.
Mówimy, że
fn jest jednostajnie zbieżny, gdy ciąg funkcyjny jego sum
n=1
k
X
częściowych Sk =
fn jest jednostajnie zbieżny na E. Jeśli wtedy oznaczymy
n=1
przez f granice ciągu (Sk )k∈N tzn. lim Sk = f to mówimy wtedy, że szereg
k→∞
funkcyjny jest jednostajnie zbieżny na E do funkcji f.
4.2
Przykład
Szereg
∞
X
xn jest zbieżny punktowo w przedziale (-1,1] ale nie jest jednostajnie
n=1
zbieżny.
4.3
Twierdzenie
Każdy szereg funkcyjny zbieżny jest jednostajnie zbieżny.
4.4
Twierdzenie
Niech (fn )n∈N będzie ciągiem funkcji różniczkowalnych na przedziale [a,b]. Jeśli szeregi
∞
X
fn i
n=1
∞
X
fn0 są jednostajnie zbieżne na [a,b], to
n=1
(
∞
X
fn )0 =
5.1
fn0
n=1
n=1
5
∞
X
Kryteria zbieżnosci jednostajniej szeregów
funkcyjnych
Kryterium Cauchy’ego
Szereg funkcyjny
∞
X
fn jest jednostajnie zbieżny na E wtedy i tylko wtedy,
n=1
gdy
∀>0 ∃n∈N ∀m>k>n ∀x∈E
5.2
|fk (x) + ... + fm (x)| < ↔ |
m
X
fn (x)| < n=k
kryterium Weierstrassa
Niech dany będzie ciąg funkcyjny (fn )n∈N określony w zbiorze E ∈ R. Jeśli
istnieje ciąg liczbowy Mn ∈ R taki , że ∀n∈N |fn (x) 6 Mn , x ∈ E i szereg licz-
4
bowy
∞
X
Mn jest zbieżny, to szereg funkcyjny
n=1
∞
X
fn jest jednostajnie zbieżny
n=1
i bezwzględnie zbieżny w E.
5.3
Szereg
to
Przykład
∞
X
xn
jest jednostajnie zbieżny w każdym przedziale [-a,a], gdzie a ∈ R,
n=0 n!
∀n∈N |fn (x) =
dla każdego x ∈ [−a, a] i szereg liczbowy
|xn |
an
6
|n!|
n!
∞
X
n=1
Mn =
an
jest zbieżny dla a ∈ R.
n!
Z kryterium d’Alemberta
.
an+1
(n+1)!
lim an
n→∞
n!
= n→∞
lim
an ∗ a
n!
a
∗ n = n→∞
=0<1
lim
n! ∗ (n + 1)! a
n+1
5