Ciagi i szeregi funkcyjne

Ciągi i szeregi funkcyjne
DEF.
Ciąg którego wyrazami są funkcje 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … określone na tym samym zbiorze 𝑋, nazywamy
ciągiem funkcyjnym i oznaczamy
(𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁
𝑙𝑢𝑏 {𝑓𝑛 (𝑥)}𝑛∈𝑁
Przykłady:
1⁰ 𝑓1 𝑥 = cos 𝑥 , 𝑓2 𝑥 = cos 2 𝑥 , 𝑓3 𝑥 = cos3 𝑥 , … , 𝑓𝑛 𝑥 = cos n 𝑥
2⁰ 𝑓1 𝑥 = 𝑒 𝑥 , 𝑓2 𝑥 = 2𝑒 2𝑥 , 𝑓3 𝑥 = 3𝑒 3𝑥 , … , 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑛𝑒 𝑛𝑥
DEF.
Ciąg funkcyjny (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 nazywamy ograniczonym w zbiorze X jeżeli:
( 𝑓𝑛 𝑥
< 𝑀)
𝑓𝑛
𝑥
< 𝑓𝑛+1 (𝑥)
𝑓𝑛
𝑥
≤ 𝑓𝑛+1 (𝑥)
𝑓𝑛
𝑥
> 𝑓𝑛+1 (𝑥)
𝑓𝑛
𝑥
≥ 𝑓𝑛+1 (𝑥)
𝑀>0 𝑛∈𝑁 𝑥∈𝑋
DEF.
Ciąg funkcyjny (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 nazywamy:
1⁰ Rosnącym w zbiorze 𝑋 jeżeli:
𝑛∈𝑁 𝑥∈𝑋
2⁰ Niemalejącym w zbiorze 𝑋 jeżeli:
𝑛∈𝑁 𝑥∈𝑋
3⁰ Malejącym w zbiorze 𝑋 jeżeli:
4⁰ Nierosnącym w zbiorze 𝑋, jeżeli:
𝑛∈𝑁 𝑥∈𝑋
𝑛∈𝑁 𝑥∈𝑋
1|Strona
DEF.
Mówimy że ciąg funkcyjny (𝑓𝑛 (𝑥)) jest zbieżny w punkcie 𝑥0 ∈ 𝑋 do 𝑓(𝑥0 ) gdzie 𝑋 jest dziedziną
funkcji 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , … oraz 𝑓 jeżeli:
𝑓𝑛 𝑥0 − 𝑓 𝑥0
<𝜀
𝜖>0 𝑛 0 ∈𝑁 𝑛>𝑛 0
DEF.
Mówimy że ciąg funkcyjny (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 jest zbieżny w zbiorze 𝑋 do funkcji 𝑓(𝑥) jeżeli:
𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥
<𝜀
𝑥∈𝑋 𝜀>0 𝑛 0 ∈𝑁 𝑛>𝑛 0
Funkcję 𝑓(𝑥) nazywamy granicą albo funkcją graniczną ciągu funkcyjnego 𝑓𝑛 𝑥
𝑓 𝑥 = lim 𝑓𝑛 (𝑥)
𝑛∈𝑁
i zapisujemy
𝑛→∞
DEF.
Niech ciąg funkcyjny (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 oraz funkcja 𝑓(𝑥) będą określone w zbiorze X. Mówimy że ciąg
funkcyjny (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 jest zbieżny jednostajnie do funkcji 𝑓(𝑥), jeżeli
𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥
<𝜀
𝑥∈𝑋 𝜀>0 𝑛 0 ∈𝑁 𝑛>𝑛 0
Przykład 1.
Niech (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 będzie ciągiem funkcyjnym takim, że
2𝑛𝑥
𝑓𝑛 𝑥 =
𝑑𝑙𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 + 𝑛2 𝑥 2
Niech 𝑥 = 𝑥0
Ciąg (𝑓𝑛 (𝑥0 ))𝑛∈𝑁 jest ciągiem liczbowym oraz:
2𝑛𝑥
=0
𝑛→∞ 1 + 𝑛 2 𝑥 2
lim 𝑓𝑛 𝑥0 = lim
𝑛→∞
Zatem ciąg (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 jest zbieżny punktowo dla funkcji 𝑓 𝑥 = 0 dla 𝑥 ∈< 0; 1 >
2𝑛𝑥0
𝑓𝑛 𝑥0 − 0 < 𝜀 <=>
< 𝜀 𝑑𝑙𝑎 𝑥0 ≠ 0
1 + 𝑛2 𝑥02
𝜖>0 𝑛 0 ∈𝑁 𝑛>𝑛 0
2𝑛𝑥0
2𝑛𝑥0
2
2
2 <
2 = 𝑛|𝑥 | = 𝑛𝑥
2
2
1 + 𝑛 𝑥0
𝑛 𝑥0
0
0
2|Strona
Aby
2
𝑛𝑥 0
< 𝜀 wystarczy przyjąd 𝑛0 =
2
𝜀𝑥 0
+1
Zatem dla 𝑛 > 𝑛0 zachodzi:
2𝑛𝑥
<𝜀
1 + 𝑛2 𝑥02
Wykażemy, że ciąg (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛 ∈𝑁
Tw. Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej ciągów funkcyjnych
Niech dany będzie ciąg funkcyjny 𝑓𝑛 (𝑥)𝑛∈𝑁 gdzie 𝑥 ∈ 𝑋.
Jeżeli istnieje ciąg liczbowy (𝑎𝑛 )𝑛∈𝑁 o wyrazach nieujemnych zbieżny do zera tzn.:
𝑎𝑛 ≥ 0
𝑖
lim 𝑎𝑛 = 0
𝑛→∞
𝑛∈𝑁
Oraz
𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥
≤ 𝑎𝑛
𝑛∈𝑁 𝑥∈𝑋
To ciąg funkcyjny 𝑓𝑛 (𝑥)𝑛∈𝑁 jest zbieżny jednostajnie do funkcji granicznej 𝑓(𝑥).
Przykład:
Ciąg funkcyjny o wyrazie ogólnym 𝑓𝑛 𝑥 =
1
𝑛
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 gdzie 𝑥 ∈ 𝑅 jest jednostajnie zbieżny w 𝑅
ponieważ:
1
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
𝑛
2
<
1 𝜋
𝑛 2
2
TW.
Jeżeli wyrazami ciągu funkcyjnego są 𝑓𝑛 (𝑥)𝑛∈𝑁 są funkcje całkowalne w przedziale < 𝑎; 𝑏 > to
funkcja 𝑓(𝑥) jest całkowalna w < 𝑎; 𝑏 > oraz,
𝑏
𝑏
lim 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑓𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
Wzór ten możemy zapisad w następującej postaci:
𝑏
𝑏
lim 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑓𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
Wzór ten daje możliwośd sprowadzenia wyznaczania granicy całek do wyznaczania granicy funkcji
podcałkowych i całkowania otrzymanego wyniku.
Mówimy że przy spełnieniu założeo tego twierdzenia dopuszczalne jest przejście do granicy pod
znakiem całki.
3|Strona
TW.
Niech wszystkie wyrazy ciągu funkcyjnego (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 będą różniczkowalne w przedziale < 𝑎; 𝑏 >
oraz ciąg pochodnych (𝑓𝑛′ 𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 będzie zbieżny jednostajnie w przedziale < 𝑎; 𝑏 >.
Jeżeli ciąg funkcyjny (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 jest zbieżny co najmniej w jednym punkcie przedziału < 𝑎; 𝑏 >,
to:
1⁰ Ciąg (𝑓𝑛 (𝑥))𝑛∈𝑁 jest zbieżny jednostajnie w przedziale < 𝑎; 𝑏 >
2⁰ Funkcja 𝑓 𝑥 = lim𝑛→∞ 𝑓𝑛 (𝑥) jest różniczkowalną
3⁰ 𝑓 ′ 𝑥 = lim𝑛→∞ 𝑓𝑛 (𝑥)
DEF.
Szereg funkcyjnym nazywamy szereg, którego wyrazami są funkcje 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … określone w
tym samym zbiorze 𝑋 czyli:
∞
𝑓𝑛 𝑥 = 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 + ⋯
𝑛=1
Funkcję postaci:
𝑛
𝑆𝑛 𝑥 =
𝑓𝑘 (𝑥)
𝑘=1
nazywamy n-tą sumą częściową szeregu funkcyjnego 𝑛𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑥).
Jeżeli ustalimy x, to szereg funkcyjny staje się szeregiem liczbowym.
DEF.
Szereg funkcyjny
∞
𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑥0 ).
∞
𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑥)
jest zbieżny w punkcie 𝑥0 , jeżeli zbieżny jest szereg liczbowy
∞
𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑥)
jest zbieżny w zbiorze 𝑋, jeżeli jest zbieżny w każdym punkcie tego
DEF.
Szereg funkcyjny
zbioru.
DEF.
Szereg funkcyjny ∞
𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑥) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze 𝑋 jeżeli ciąg sum częściowych
tego szeregu jest jednostajnie zbieżny w zbiorze 𝑋.
4|Strona
TW. KRYTERIUM WEIERSTRASSA ZBIEŻNOŚCI JEDNOSTAJNEJ CIĄGÓW FUNKCYJNYCH
Jeżeli w zbiorze 𝑋 zachodzi:
𝑓𝑛 𝑥
≤ 𝑎𝑛
𝑛∈𝑁 𝑥∈𝑋
Gdzie funkcje 𝑓𝑛 𝑥 są określone w 𝑋 oraz szereg liczbowy ∞
𝑛=1 𝑎𝑛 jest zbieżny to szereg
∞
funkcyjny 𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑥) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze 𝑋 i bezwzględnie.
Przykład:
2
∞ cos 𝑛𝑥
𝑛=1 𝑛 2
jest jednostajnie zbieżny w zbiorze 𝑅 ponieważ
cos 2 𝑛𝑥
𝑛2
1
1
∞
𝑛=1 𝑛 2
≤ 𝑛 2 oraz
jest zbieżny.
TW.
Jeżeli funkcje 𝑓𝑛 𝑥 dla 𝑛 = 1,23, … będą określone w przedziale < 𝑎; 𝑏 > oraz szereg
jest zbieżny jednostajnie w przedziale < 𝑎; 𝑏 > i 𝑆 𝑥 = ∞
𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑥), to
𝑏 ∞
∞
𝑥
𝑏
𝑓𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎 𝑛=1
∞
𝑛=1 𝑓𝑛
𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥
𝑛=1 𝑎
TW.
Niech funkcje 𝑓𝑛 𝑥 dla 𝑛 = 1,2,3, … będą określone w przedziale < 𝑎; 𝑏 > i mają w tym
przedziale ciągłe pochodne 𝑓𝑛′ (𝑥).
Jeżeli szereg funkcyjny ∞
𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑥) jest zbieżny w < 𝑎; 𝑏 >, to:
∞
′
∞
𝑓𝑛′ (𝑥)
𝑆 𝑥 =
𝑔𝑑𝑧𝑖𝑒 𝑆 𝑥 =
𝑛=1
′
∞
𝑓𝑛 (𝑥) 𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖
𝑛=1
𝑓𝑛 𝑥
𝑛=1
∞
𝑓𝑛′ (𝑥)
=
𝑛=1
DEF.
Granicę ciągu sum częściowych funkcyjnego szeregu nazywamy sumą szeregu funkcyjnego
𝑛
lim 𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑓𝑘 𝑥 = 𝑆(𝑥)
𝑘=1
DEF.
Szereg postaci 𝑅𝑛 𝑥 = ∞
𝑘=𝑛+1 𝑓𝑘 (𝑥)
nazywamy n-tą resztą szeregu funkcyjnego
TW.
Jeżeli szereg funkcyjny
zbieżny do zera
∞
𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑥)
∞
𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑥)
jest zbieżny w zbiorze 𝑋, to szereg 𝑅𝑛 𝑥 =
∞
𝑘=𝑛+1 𝑓𝑘 (𝑥)
jest
5|Strona
DEF.
Jeżeli szereg funkcyjny ∞
𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑥) jest zbieżny w zbiorze 𝑋, który jest przedziałem, to przedział
ten nazywamy przedziałem zbieżności szeregu funkcyjnego.
Przykład:
2
𝑛
Niech ∞
𝑛=1 𝑓𝑛 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 + ⋯
Szereg ten dla ustalonego 𝑥 jest szeregiem geometrycznym o ilorazie 𝑞 = 𝑥. Szereg taki jest zbieżny,
gdy 𝑞 < 1, a zatem 𝑥 < 1. Wynika stąd, że przedział −1,1 jest przedziałem zbieżności
rozważanego szeregu funkcyjnego.
∞
𝑥𝑛 =
𝑥∈(−1;1) 𝑛=1
1
1−𝑥
6|Strona