lista-4 1 I. Moment siły. Moment pędu. 1. Podaj definicje momentu

lista-4
1
I. Moment siły. Moment pędu.
1. Podaj definicje momentu siły i momentu pędu.
r
r
r
2. Na cząstkę o masie 2 kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem r = 5i + 7 j działa
r
r
r
siła F = 3i + 4 j . Wyznacz wektora momentu tej siły.
r
r
r
3. Cząstka o masie 2 kg znajdując się w punkcie określonym wektorem r = 5i + 7 j miała
r
r
r
prędkość F = 3i + 4 j . Wyznacz wektora momentu pędu w tym punkcie.
r
r
r
4. Wektor połoŜenia cząstki o masie 2 kg ma postać: r = 3i + 4 j . Wartość wektora prędkości
cząstki wynosi 20 m/s, natomiast wartość momentu pędu wynosi 100 kgm2/s. Wyznacz kąt
pomiędzy kierunkiem wektorów połoŜenia i prędkości.
5. Podaj definicję momentu bezwładności układu punktów materialnych.
6. Punkt materialny o masie 2 kg porusza się ruchem jednostajnym z prędkością liniową 2 m/s-1
po okręgu promieniu 20 cm. Wyznacz wartość momentu siły dośrodkowej względem środka
okręgu
.
II. Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
7. Sformułuj drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej.
8. Koło zamachowe wykonuje początkowo 10 obrotów na sekundę. Po przyłoŜeniu stałego
momentu hamującego koło to zatrzymuje się po 10 s. Jaka jest bezwzględna wartość
przyspieszenia kątowego w tym ruchu.
9.
Walec obraca się ze stałą prędkością kątową wokół nieruchomej osi będącej jego osią symetrii.
Moment bezwładności bryły tego walca względem osi obrotu wynosi I, a jego energia
kinetyczna Ek . Wyznacz jego moment pedu.
10. Cienki, jednorodny pręt o masie m i długości l obraca się wokół prostopadłej do niego osi. Gdy
oś przechodzi przez koniec pręta, to moment bezwładności wynosi ml2/3. Korzystając z
odpowiedniego prawa wyznacz jego moment bezwładności dla osi przechodzącej przez
środek pręta i do niego prostopadłej.
11. Ile wynosi energia kinetyczna walca o masie 18 kg i promieniu 40 cm toczącego się bez
poślizgu po poziomej powierzchni z prędkością 3 m/s.
12.
Jaką pracę jaką naleŜy wykonać aby zatrzymać koło zamachowe o momencie bezwładności
I wirujące z prędkością kątową ω , a jaką gdy koło to toczy się bez poślizgu po płaskiej
powierzchni.
13. Kula i walec o jednakowych promieniach i masach staczają się bez poślizgu po równi pochyłej
z wysokości h. Które z ciał będzie miało większą prędkość u jej końca.
lista-4
2
14. Moment siły o wartości 40 Nm nadaje kołu obracającemu się dookoła osi przechodzącej przez
jego środek przyspieszenie kątowe 10 rad/s2. Wyznacz moment bezwładności koła .
15. Na cząstkę , znajdującą się w odległości r od osi obrotu O (patrz
r r r
rysunek) zaczęły działać trzy siły F1 , F2 i F3 mające taką samą wartość i
leŜące w płaszczyźnie rysunku. Moment której z sił ma największą wartość.
F3
F2
r
F1
oś obrotu
O
16. Co to jest precesja Ŝyroskopu i czego jest wynikiem.
17. Koło rozpędowe o momencie bezwładności I i promieniu R wiruje ono z
prędkością kątową ω0. Współczynnik tarcia między klockiem i kołem wynosi f.
Z jaką siłą naleŜy przycisnąć klocek hamulcowy do powierzchni koła, aby
zatrzymać je po upływie czasu t.
I, ω0
F
R
T
18. Do obwodu koła rowerowego o masie m przyłoŜono stałą siłę styczną F i wprawiono je w ruch
obrotowy wokół nieruchomej osi. Koło rowerowe naleŜy rozpatrywać jako cienkościenną obręcz o
momencie bezwładności m R 2 . Ile wynosi energia kinetyczna koła po upływie czasu t od
rozpoczęcia działania siły.
19. Pionowy słup o wysokości h = 10 m po podpiłowaniu przy podstawie pada na ziemię. Wiedząc,
Ŝe moment bezwładności słupa o masie m i długości l względem osi przechodzącej przez jego
koniec jest równy ml2 /3 wyznacz liniową prędkość górnego końca słupa w chwili uderzenia o
ziemię.
20. Ciało obraca się z prędkością kątową 6 rad/s wokół sztywno zamocowanej osi. Jego moment
bezwładności względem osi obrotu wynosi 20 kg m2. Ile wynosi jego energia kinetyczna.
21. Koło zamachowe o momencie bezwładności I wiruje z prędkością kątową ω. Jaka pracę naleŜy
wykonać aby je zatrzymać.
III. Zasada zachowania momentu pędu
Zad. 22. Stolik poziomy obraca się z prędkością kątową ω. Na środku stolika stoi człowiek i trzyma w
wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa cięŜarki o masie m kaŜdy. Jak zmieni się
prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu?
Moment bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez cięŜarków) wynosi I.
Zad.23. Na poziomo wirującym pręcie o masie M, przez środek którego przechodzi prostopadle do
ziemi oś, siedzi małpka o masie m. Pręt ma długość l i wiruje z prędkością kątową ω1. Jaka będzie
prędkość kątowa po przejściu małpki do środka ?
Zad.24. Cienki drewniany pręt o długości l = 1,5 m i masie m = 10 kg został zawieszony pionowo i
moŜe obracać się wokół nieruchomej osi, przechodzącej przez jego górny koniec. W pewnej chwili w
środek pręta uderza kula o masie m1 = 0,01 kg lecąca poziomo z prędkością v1 = 500 m/s i po uderzeniu
pozostaje w pręcie. Obliczyć wysokość, na jaką podniesie się koniec pręta po uderzeniu kuli.
lista-4
3
2
Dane jest przyspieszenie ziemskie g = 9,8m/s .
Zad.25. Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Momenty
bezwładności tarcz wynoszą I1, I2 a ich prędkości kątowe ω1 i ω2. Po upadku tarczy górnej na dolną obie
tarcze (w wyniku działania sił tarcia) obracają się dalej jak jedno ciało. Wyznaczyć:
a) prędkość kątową tarcz po złączeniu;
b) pracę wykonaną przez siły tarcia.
Zad.26. Człowiek stoi na osi obrotowego stolika trzymając pionowo nad głową obracające się wokół
pionowej osi (za którą człowiek trzyma oburącz) z prędkością kątową ω0 koło rowerowe o momencie
bezwładności J0. Wyznaczyć prędkość kątową ω1 ruchu obrotowego stolika po:
0
a) obróceniu przez człowieka koła o kąt 180 ,
b) zahamowaniu koła przez człowieka, jeŜeli moment bezwładności człowieka i stolika wynosi J.
Zad.27. Na brzegu poziomo ustawionej tarczy o momencie bezwładności I (względem osi pionowej
przechodzącej przez środek tarczy) i promieniu R znajduje się człowiek o masie m. Obliczyć prędkość
kątową tarczy ω, gdy człowiek zacznie się poruszać wzdłuŜ jej brzegu z prędkością v względem niej.
IV. Równowaga mechaniczna
Zad.28 Jednorodna belka o długości L i masie M. spoczywa na dwu podporach. Punkty podparcia belki
znajdują się : jeden na końcu belki, a drugi w odległości d od drugiego końca. Wyznaczyć wartości sił
działających na podpory.
29. Jednorodna metalowa belka o długości L = 4 m i masie
m = 60 kg spoczywa na ramionach dwóch robotników (patrz
rysunek). Punkty podparcia belki znajdują się: jeden na jednym
jej końcu, a drugi w odległości d = 1 m od drugiego końca. Jaka
jest wartość sił działających na ramiona robotników.
L
F1
d
F2
T
b
30. CięŜar o masie M zwisa na sznurze z wysięgnika. Wysięgnik składa się z
belki o masie m na zawiasie i poziomej liny o znikomo małej masie łączącej
belkę ze ścianą. Ile wynosi wartość siły siły T
a
mg
Mg
V. SpręŜystość ciał stałych
31. Ile wynosi napręŜenie pręta o przekroju kwadratu o boku 3 cm jeŜeli jest on ściskany siłą
5 ⋅104 N.
32. Siła 10 kN spowodowała wydłuŜenie pręta o 2 cm. Ile będzie wynosić napręŜenie w pręcie gdy
zwiększymy siłę o kolejne 5 kN. W całym zakresie sił moŜna stosować prawo Hooke’a.
lista-4
4
VI. Grawitacja
33. Z powierzchni Ziemi wyrzucono ciało pionowo do góry z prędkością początkową v0.
Na jaką wysokość wzniesie się ciało? Jaką powinno mieć najmniejszą prędkość
początkową, aby nie spadło nigdy na Ziemię?
34. Zakładamy, Ŝe planeta porusza się po elipsie wokół nieruchomego Słońca. Największa
odległość planety od Słońca wynosi R1 a najmniejsza R2. Ile wynosi moment pędu planety?
Wykonaj rysunek. Masę planety, masę Słońca i stałą grawitacji przyjąć za dane.
35. Planeta obiega wokół Słońca po elipsie, której jedno z ognisk pokrywa się z połoŜeniem
Słońca. Dowieść, Ŝe moment pędu planety względem Słońca jest wielkością stałą.
36. Największa odległość komety Halleya od Słońca to h = 35,4 RZS (RZS - odległość
pomiędzy Ziemią i Słońcem), a najmniejsza l = 0,59 RZS. Prędkość liniowa ruchu komety w
punkcie najbardziej odległym od Słońca (punkcie odsłonecznym) wynosi 910 m/s. Ile
wynosi prędkość komety, gdy jest najbliŜej Słońca (w punkcie przysłonecznym)?
37.
Wiedząc, Ŝe masa KsięŜyca jest około n = 81 razy razy mniejszy od masy Ziemi oraz, Ŝe
odległość Ziemi od KsięŜyca d = 384000 km znaleźć punkt P na linii łączącej środki obu ciał
niebieskich, w którym równowaŜy się siła przyciągania grawitacyjnego KsięŜyca i Ziemi.
38. Znaleźć prędkość ruchu KsięŜyca wokół Ziemi zakładając, Ŝe jego orbita jest kołowa.
Przyjąć, Ŝe masa Ziemi M Z = 5,96 ⋅10 24 kg , odległość między Ziemią a KsięŜycem r = 3,84 ⋅108 m ,
a stała grawitacji G = 6,67 ⋅10 −11 m 3 /kg ⋅ s 2 .
39. Satelita krąŜy dookoła Ziemi na wysokości h = 2 R , gdzie R jest promieniem Ziemi. Znajdź
prędkość satelity na orbicie mając dane R = 6370 km oraz przyspieszenie przy powierzchni Ziemi
g = 9,8 m s 2 .
40. Sztuczny satelita krąŜy ze stałą prędkością kątową dookoła Ziemi (promień R) po orbicie
kołowej o promieniu r. Obliczyć okres obiegu satelity. Obliczenia numeryczne wykonać dla
r = 7938 km , R = 6370 km i g = 9,8 m s 2 .
41. Sztuczny satelita krąŜy dookoła Ziemi na wysokości h = 3R , gdzie R = 6370 km jest
promieniem Ziemi. Znajdź okres obiegu satelity wokół Ziemi mając dane przyspieszenie przy
powierzchni Ziemi g = 9,8 m s 2 .
42. Na jakiej wysokości h krąŜy dookoła Ziemi satelita stacjonarny (tj. taki, który cały czas
znajduje się nad tym samym miejscem na powierzchni Ziemi)? Dany jest promień Ziemi
R = 6370 km i przyspieszenie przy powierzchni Ziemi g = 9,8 m s 2 .
43.
Z jaką prędkością krąŜy Ziemia wokół Słońca, jeŜeli odległość między nimi r = 1,5 ⋅1011 m ,
a masa Słońca M Z = 1,9 ⋅ 1030 kg ? Stała grawitacji G = 6,67 ⋅10 −11 m 3 /kg ⋅ s 2 .
44
Znaleźć masę Ziemi, jeŜeli wiadomo, Ŝe sztuczny satelita obiega Ziemię na wysokości
h = 1000 km w czasie T = 106 min . Promień Ziemi R = 6370 km , stała grawitacji
G = 6,67 ⋅10 −11 m 3 /kg ⋅ s 2 .
44.
Z jaką prędkością v naleŜy wyrzucić ciało pionowo w górę (przyspieszenie ziemskie wynosi
g) aby wzniosło się na wysokość h = R (R - promień Ziemi)?