Rozszerzenie

Arkusz maturalny
Šukasz Dawidowski
Powtórki maturalne
26 kwietnia 2016r.
Jednym z pierwiastków wielomianu W (x) = x 3 + mx 2 + nx + 2 jest
liczba 1. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x + 1
jest równa 4. Oblicz wspóªczynniki m i n.
Jednym z pierwiastków wielomianu W (x) = x 3 + mx 2 + nx + 2 jest
liczba 1. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x + 1
jest równa 4. Oblicz wspóªczynniki m i n.
Rozwi¡» równanie cos2 x + sin x cos2 x =
h0, 2πi.
1+sin x
4
w przedziale
Uzasadnij, »e 6116 < 1824 .
Kul¦ o promieniu R przeci¦to dwiema równolegªymi pªaszczyznami
w sposób przedstawiony na poni»szym rysunku. Przekroje maj¡
promienie r1 oraz r2 i s¡ odlegªe od siebie o a. Liczby r1 , a, r2 w
podanej kolejnosci tworz¡ trzywyrazowy ci¡g arytmetyczny, którego
ró»nica jest równa 1. Suma wyrazów tego ciagu jest równa 18.
Znajd¹ dªugo±¢ promienia kuli.
Rozwi¡» nierówno±¢ |2x − 4| + 4x > |2x 2 − 4|.
Wyznacz wszystkie warto±ci parametru m, dla których jedno
rozwi¡zanie równania (m + 2)x 2 + 2mx + 1 = 0 jest sinusem, a
drugie kosinusem tego samego k¡ta.
W ukªadzie wspóªrz¦dnych przedstawiony jest wykres funkcji
y = f (x), gdzie f (x) = loga (x − k) + m. Wyznacz warto±ci a, k i
m.
Pole trójk¡ta ABC o danych wierzchoªkach A = (1, −2) oraz
B = (2, 3) jest równe 4, 5. Wyznacz wspóªrz¦dne trzeciego
wierzchoªka wiedzac, »e nale»y on do prostej o równaniu
x + y − 2 = 0.
Na bokach AC i BC trójkata ABC obrano punkty P i Q takie, »e
AP : PC = 2 : 1 oraz BQ : QC = 2 : 1. Odcinki AQ i BP
przecinaj¡ si¦ w punkcie R . Wyka», »e pole czworokata CPRQ jest
równe polu trójkata ARP .
W graniastosªupie prawidªowym czworok¡tnym przek¡tne ±cian
bocznych, wychodz¡ce z tego samego wierzchoªka, maja dªugo±¢ d
i tworz¡ kat o mierze α. Oblicz obj¦to±¢ tego graniastosªupa.
Oblicz prawdopodobie«stwo otrzymania dokªadnie dwóch jedynek
lub trzech szóstek w do±wiadczeniu losowym, polegaj¡cym na
pi¦ciokrotnym rzucie symetryczn¡ sze±cienn¡ kostk¡ do gry.
Wyznacz reszt¦ z dzielenia wielomianu
W (x) = x 2013 − 2x 2012 + 2x 2011 − 1 przez wielomian
G (x) = x 3 − x .
Rozwi¡» równanie ||x − 1| − |3 − x|| = 2.
Oblicz wspóªrz¦dne ±rodka S i skal¦ k jednokªadno±ci, w której
obrazem odcinka PR jest odcinek P1 R1 i wiadomo, »e P = (−2, 1),
~ 1 = [3, 9] i SR
~ = [2, 1].
R1 = (3, 1), SP
Dªugo±¢ boku rombu ABCD jest ±redni¡ geometryczn¡ jego
przek¡tnych. Oblicz miar¦ k¡ta ostrego tego rombu.
Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej
n wi¦kszej od 1
prawdziwa jest nierówno±¢ 2nn > 2 n1
Rozwi¡» równanie logsin x cos x + logcos x sin x = 2.
Wyka», »e pole trójk¡ta ABC jest równe P = 2R 2 sin α sin β sin γ ,
gdzie R jest promieniem okr¦gu opisanego na tym trójk¡cie, a α, β
i γ s¡ miarami k¡tów wewn¦trznych tego trójk¡ta.
W ci¡gu arytmetycznym (an )n∈N , dla n ­ 1, dane s¡ a1 = −4 oraz
ró»nica r = 4. Wyznacz najwi¦ksze n takie, »e
a1 + a2 + . . . an < 2013.
Naszkicuj wykres i wyznacz zbiór warto±ci funkcji okre±lonej
x−6|
wzorem f (x) = −2x − |3x−
2 .
Dªugo±ci wszystkich kraw¦dzi ostrosªupa czworok¡tnego
prawidªowego s¡ równe a. Przez wierzchoªek ostrosªupa i ±rodki
dwóch s¡siednich kraw¦dzi podstawy poprowadzono pªaszczyzn¦.
Wyznacz sinus k¡ta nachylenia wyznaczonego przekroju do
podstawy ostrosªupa.
Do koszyka wªo»ono 12 jabªek, w tym dwa jabªka lobo. Po kilku
dniach przechowywania z koszyka usuni¦to dwa popsute jabªka.
Nast¦pnie losowo wybrano jedno jabªko. Oblicz
prawdopodobie«stwo, »e wybrano jabªko lobo. Wynik podaj w
postaci uªamka nieskracalnego.
Funkcja f (x) = mx 3 − (m + 2)x 2 osi¡ga w punkcie x0 = 1
minimum. Ile wynosi m?
Prosta l jest styczna do wykresu funkcji f (x) = −x 3 + 2x w
punkcie o odci¦tej równej 35 . Oblicz wspóªczynnik kierunkowy
prostej prostopadªej do tej stycznej.
Wyznacz najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f (x) = x +
h1, 10i.
4
x
w przedziale
Wielomian W (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ma t¦ wªasno±¢, »e
W (2) = 0 i W 0 (2) = 0, przy dzieleniu przez (x − 1) pozostawia
reszt¦ 3, a o± OY przecina w (0, 8). Znajd¹ a, b, c i d .
Z drutu o dªugo±ci a odci¦to kawaªek o dªugo±ci x i zgi¦to go,
robi¡c kwadrat, a pozostaªy kawaªek drutu zgi¦to w trójk¡t
równoboczny.
1. Jaki musi by¢ x , aby suma pól otrzymanych gur byªa
najmniejsza?
2. Poka», »e dla ka»dego x stosunek dªugo±ci obu kawaªków jest
taki sam jak stosunek pól kwadratu i trójk¡ta.
Udowodnij, »e dla dowolnych liczb a, b ∈ R prawdziwa jest
nierówno±¢: 2ab ¬ a2 + b2 .
Udowodnij, »e
liczb a, b > 0 prawdziwa jest
√ dla dowolnych
a+b
nierówno±¢: ab ¬ 2 , przy czym równo±¢ zachodzi tylko wtedy,
gdy a = b.
Wyka», »e dla ka»dej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest
nierówno±¢ x 2 + 1 ­ 2|x|.
Wyka», »e je»eli a i b s¡ dªugo±ciami przyprostok¡tnych trójk¡ta
prostok¡tnego,
√ a c jest dªugo±ci¡ jego przeciwprostok¡tnej, to
a+b ¬c 2
Wyka», »e je»eli x + y + z = 1, to x 2 + y 2 + z 2 ­ 13 .
Wyka», »e dla dowolnych liczb rzeczywistycz x , y i z prawdziwa jest
nierówno±¢ x 2 + y 2 + z 2 ­ xy + xz + yz .
Wyka», »e je»eli x > 0, y > 0 oraz xy = 25, to (1 + x)(1 + y ) ­ 36.
Wyka», »e je»eli x > 0, to x +
1
x
­ 2.
Wyka», »e je»eli ab > 0, to
a
b
+
b
a
­ 2.
Wyka», »e je»eli α jest k¡tem ostrym, to
sin α
cos α
+
cos α
sin α
­ 2.
Wyka», »e je»eli
x , y i zs¡ liczbami dodatnimi, to
(x + y + z) x1 + y1 + z1 ­ 9.
Wyka», »e liczba 354 jest rozwi¡zaniem równania
24311 − 8114 + 7x = 927 .
Dany jest prostok¡t ABCD i dowolny punkt P poªo»ony wewn¡trz
tego prostok¡ta. Udowodnij, »e AP 2 + CP 2 = BP 2 + DP 2 .
Przek¡tne AC i BD czworok¡ta wypukªego ABCD s¡ prostopadªe.
Udowodnij, »e AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 .
Dwa okr¦gi przecinaj¡ si¦ w punktach A i B . Odcinki AC i AD s¡
±rednicami tych okr¦gów. Udowodnij, »e punkty C , B i D s¡
wspóªliniowe.
Trójk¡t równoboczny ABC jest wpisany w okr¡g. Punkt D le»y na
krótszym ªuku AB . Punkt E le»y na odcinku CD oraz DE = DB .
Udowodnij, »e trójk¡ty BAD i BCE s¡ przystaj¡ce.
Dany jest prostok¡t ABCD . Okr¦gi o ±rednicach AB i AD
przecinaj¡ si¦ w punktach A i P . Wyka», »e punkty B , P i D le»¡
na jednej prostej.
Miara jednego z k¡tów ostrych w trójk¡cie prostok¡tnym jest równa
α. Uzasadnij, »e speªniona jest nierówno±¢ sin α − tg α < 0.
Wyka», »e dla ka»dego m ci¡g
m+1 m+3 m+9
4
,
6
,
12
jest arytmetyczny.
Uzasadnij, »e je±li (a2 + b2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd)2 , to ad = bc .
Trójk¡ty prostok¡tne równoramienne ABC i CDE s¡ poªo»one tak,
jak na poni»szym rysunku (w obu trójk¡tach k¡t przy wierzchoªku
C jest prosty). Wyka», »e AD = BE .