Notatki do wykładu
Transkrypt
Notatki do wykładu
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe Rozpatrywać będziemy R2 jako przestrzeń liniową (nad R) z bazą standardową (tzn. bazę tworzą dwa wektory: (1, 0) oraz (0, 1)). Odwzorowanie A : R2 → R2 nazwiemy liniowym, gdy spełnia warunek: A(αs + βt) = αA(t) + βA(s) dla każdych t, s ∈ R2 oraz α, β ∈ R. Każde odwzorowanie liniowe można przedstawić jako działanie macierzy A = (aij ), i, j = 1, 2, czyli a11 a12 s As = × 1 dla każdego s = (s1 , s2 ) ∈ R2 . a21 a22 s2 Prawdziwe jest również zdanie odwrotne, tzn. każda macierz 2 × 2 wyznacza odwzorowanie liniowe z R2 w R2 . Przykład: obrót na płaszczyźnie W przestrzeni R2 obrót o kąt t dany jest za pomocą macierzy cos t − sin t O(t) = . sin t cos t Obrót jest przykładem odwzorowania wiernokątnego, tzn. takiego, że kąt między dowolnymi wektorami v, w ∈ R2 jest taki sam, jak kąt między wektorami Ov, Ow ∈ R2 . Wiernokątne odwzorowania liniowe Twierdzenie 1. Odwzorowanie liniowe a A= −b b a a, b ∈ R, a2 + b2 6= 0 jest konforemne. Dowód 1. Zauważmy, że dla dowolnych v = (x1 , y1 ), w = (x2 , y2 ) ∈ R2 zachodzi równość hAv, Awi = (ax1 + by1 , −bx1 + ay1 ), (ax2 + by2 , −bx2 + ay2 ) = (a2 + b2 )hv, wi. Zatem, jeśli v, w ∈ R2 są prostopadłe, to również prostopadłe są wektory Av, Aw. Aby zakończyć dowód wystarczy przedstawić dowolny wektor jako kombinację liniową wektorów bazowych. 1 2 Funkcje holomorficzne jako wiernokątne przekształcenia płaszczyzny Równokątność, czyli konforemność Niech A ⊂ C. Odwzorowanie f : A → C nazywamy równokątnym (konforemnym) w z0 , jeśli zachowuje kąt między krzywymi. Im Im z 7→ f (z) z0 Re Re Przykład: niekonforemne odwzorowanie Im Im z 7→ z 2 Re Re Warunki Cauchy’ego–Riemanna Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f : A → C, z0 = x0 + iy0 ∈ A. Jakobian odwzorowania f jest równy ∂u ∂u (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) ∂x ∂y ∂v ∂v (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) ∂x ∂y Jeśli f jest holomorficzna w z0 = x0 + iy0 , to spełnione są warunki Cauchy’ego–Riemanna, więc jakobian jest równy ∂u ∂u (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) ∂x ∂y ∂u ∂u − (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) ∂y ∂x 2 Warunek dostateczny konforemności Twierdzenie 2. Niech f będzie holomorficzna w otoczeniu z0 oraz f 0 (z0 ) 6= 0. Wtedy f jest równokątna w z0 . Dowód 2 (szkic). Uzasadnienie polega na tym, by pokazać, że odwzorowanie f można przedstawić jako skalowanie oraz obrót, przy czym to drugie obraca styczną do krzywej C w otoczeniu z0 o ustalony kąt zależny tylko od odwzorowania f (w szczególności nie zależy ten kąt od krzywej). Przykład: z 7→ ez Warunek f 0 (z0 ) 6= 0 implikuje, że w otoczeniu z0 funkcja f jest różnowartościowa (tzw. lokalnie różnowartościowa). Poniższy przykład pokazuje, że f nie musi być (globalnie) różnowartościowa. Im Im z 7→ ez Re Re Przykładowo: jeśli z = 1 + it, t ∈ R, to e1+it = e · eit = e(cos t + i sin t) t∈R Twierdzenie Riemanna Twierdzenie 3 (Riemann). Niech G, D ⊂ C, G, D 6= C, będą dwoma obszarami jednospójnymi. Wówczas dla dowolnych a ∈ G, b ∈ D istnieje takie odwzorowanie wiernokątne f zbioru G na D, że f (a) = b. Obszar E nazywamy jednospójnym, gdy zbiór C \ E jest spójny. Pierścień nie jest jednospójny Dysk jednostkowy jest jednospójny r1 1 3 r2 Ważne odwzorowania wiernokątne Obszary konforemnie równoważne Obszary D, G ⊂ C nazywamy konforemnie równoważnymi, jeśli istnieje konforemne odwzorowanie f przekształcające D na G. Jeśli dodatkowo f jest róznowartościowa, to istnieje f −1 przekształcające konforemnie G na D. 3 Odwzorowanie z 7→ az + b Funkcja z 7→ az + b a, b ∈ C, a 6= 0 jest wiernokątna na C. Jej działanie można opisac jako skalowanie przez |a|, obrót o arg a oraz przesunięcie o b. Odwzorowanie z 7→ z α , α ∈ R Funkcja z 7→ z α α∈R jest wiernokątna poza zerem. Jej działanie można opisac jako skalowanie o potędze α oraz „symetryczne” rozciągnięcie/zwężenie. Im Im z 7→ z 2 Re Re Odwzorowanie z 7→ z α , α ∈ R Im Im 1 z 7→ z 2 Re Re Odwzorowanie z 7→ az+b cz+d (przekształcenie Möbiusa) Jeśli ad − bc 6= 0, to funkcję az + b z 7→ :C→C cz + d nazywamy funkcją Möbiusa. Pochodna funkcji Möbiusa wynosi ad − bc , (cz + d)2 stąd poza z = −d/c ta funkcja jest wiernokątna. (Przypadkiem z 7→ az + b już się zajmowaliśmy.) Twierdzenie 4. Każde przekształcenie Möbiusa przekształca zbiór złożony z kół oraz linii prostych na zbiór złożony z kół oraz linii prostych. 4 4 Obszary konforemnie równoważne Górna półpłaszczyzna i dysk jednostkowy Niech Π+ = {z ∈ C : Im z > 0} oraz D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : Π+ → D dana wzorem f (z) = z−i 1 − iz z ∈ Π+ odwzorowuje konforemnie Π+ na D. Im Im z 7→ z−i 1−iz Re Re Uniwersalność przekształcenia Möbiusa Twierdzenie 5. Trzy dowolne parami rózne punkty z1 , z2 , z3 mogą zostać przekształcone na trzy ustalone i parami różne punkty w1 , w2 , w3 za pomocą jednoznacznie wyznaczonego przekształcenia Möbiusa f . Funkcję f można wyznaczyć z równania f (z) − w1 w2 − w3 z − z1 z2 − z3 · = · . f (z) − w3 w2 − w1 z − z3 z2 − z1 (Jeśli któryś z wybranych punktów to ∞, wówczas iloraz, w którym występuje ten punkt traktuje się jako 1.) Uniwersalność przekształcenia Möbiusa: przykład f (z) − w1 w2 − w3 z − z1 z2 − z3 · = · . f (z) − w3 w2 − w1 z − z3 z2 − z1 Przykład 1. Znajdziemy odwzorowanie Möbiusa przekształcające punkty z1 = −1, z2 = 0, z3 = 1 na odpowiednio punkty w1 = −1, w2 = −i, w3 = 1. Na podstawie powyższego wzoru mamy f (z) + 1 −i − 1 z+1 0−1 · = · . f (z) − 1 −i + 1 z−1 0+1 Stąd f (z) = z−i . 1 − iz Jest to konforemne przekształcenie Π+ na D! Znajdowanie odwzorowań konforemnych: strategia Zadanie 1. W jaki sposób przekształcić obszar D na G za pomoca funkcji Möbiusa? 5 Dysk jednostkowy i prawa półpłaszczyzna Niech Π+ = {z ∈ C : Re z > 0} oraz D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : D → Π+ dana wzorem f (z) = z−1 z+1 z∈D odwzorowuje konforemnie D na Π+ . Im Im z 7→ z−1 z+1 Re Re Dysk jednostkowy na dysk jednostkowy Niech D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : D → D dana wzorem f (z) = fz0 (z) = z − z0 z0z − 1 z∈D konforemnie przekształca D na D w taki sposób, by f (z0 ) = 0. Wnętrze kąta na dysk jednostkowy Niech G = z ∈ C : arg z ∈ − π6 , π6 . Odwzorować konforemnie obszar G na dysk jednostkowy D. Odwzorowanie z 7→ z 3 przekształca G na prawą półpłaszczyznę, natomiast funkcja z 7→ z−1 z+1 prawą półpłaszczyznę na dysk jednostkowy. Stąd funkcja z 7→ z3 − 1 z3 + 1 z∈G przekształca konforemnie G ma D. Im Im z 7→ z 3 −1 z 3 +1 Re Re 6