STATYSTYKA MATEMATYCZNA Lista 5 1. Dwuwymiarowa zmienna

STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Lista 5
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład prawdopodobieństwa określony
nastepuj
aco:
P (X = 1, Y = 1) = 0.2, P (X = 1, Y = 2) = 0.3, P (X = 3, Y = 1) =
,
,
0.4, P (X = 3, Y = 2) = 0.1.
(a) Zapisać ten rozkład w tabeli.
(b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
(c) Zbadać czy zmienne losowe X i Y sa, niezależne.
2. Wykonujemy rzut dwiema kostkami do gry. Niech X oznacza wynik otrzymany na
drugiej kostce a Y wyższa, z dwóch otrzymanych wartości.
(a) Wyznaczyć rozkład wektora losowego (X, Y ).
(b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ).
(c) Obliczyć kowariancję zmiennych losowych X i Y.
(d) Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y.
(e) Czy zmienne losowe X i Y sa, niezależne? Czy są one nieskorelowane?
3. Gęstość rozkładu wektora losowego (X, Y ) zadana jset wzorem
{
kxy, gdy 0 < x < 1 i 0 < y < 2,
f (x, y) =
0,
w przeciwnym przypadku.
(a) Wyznaczyć stała̧ k tak, aby f (x, y) była gȩstościa̧ rozkładu wektora (X, Y ).
(b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych losowych X i Y.
(c) Obliczyć kowariancję zmiennych losowych X i Y.
(d) Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y .
(e) Czy zmienne losowe X i Y sa, niezależne? Czy są one nieskorelowane?
4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład dany warunkami: P (X = −1, Y =
0) = 0.125, P (X = −1, Y = 2) = 0.5, P (X = 1, Y = 0) = 0.125, P (X = 1, Y =
2) = 0.25.
(a) Wyznaczyć rozkłady warunkowe.
(b) Obliczyć warunkowe wartości oczekiwane.
Odpowiedzi do zadań 1 (c) Zmienne nie są niezależne 2 (e) Zmienne nie są niezależne
i nie są nieskorelowane. 3 (a) k = 1 (c) Cov(X, Y ) = 0 (d) ρ(X, Y ) = 0 (e) Zmienne losowe
X, Y są niezależne i stąd również nieskorelowane. 4 (b) E(X|Y = 0) = 0, E(X|Y = 2) =
−1/3, E(Y |X = −1) = 8/5, E(Y |X = 1) = 4/3.
Alicja Jokiel-Rokita
15 listopada 2016