10DRAP - Wektory losowe, niezależność zmiennych losowych A

10DRAP - Wektory losowe, niezależność zmiennych losowych
Definicja 1. Wektor losowy (X, Y ) nazywamy dyskretnym, jeżeli istnieje zbiór przeliczalny S ⊂ R2 , dla którego
P(X,Y ) (S) = 1, gdzie P(X,Y ) jest rozkładem prawdopodobieństwa wektora (X, Y ).
Definicja 2. Mówimy, że wektor losowy (X, Y ) ma rozkład ciągły, gdy istnieje gęstość, czyli funkcja f : R2 → R taka, że
ZZ
P((X, Y ) ∈ A) =
f (x, y)dxdy,
A ∈ B(R2 ).
A
Definicja 3. Dystrybuantą wektora losowego (X, Y ) o wartościach w R2 nazywamy funkcję F(X,Y ) : R2 → R określoną
zależnością F(X,Y ) (t, s) = P(X ¬ t, Y ¬ s) = P(X,Y ) ((−∞, t] × (−∞, s]).
Twierdzenie 1. Dystrybuanta F(X,Y ) wektora losowego ma następujące własności :
(i) F(X,Y ) (t, s) jest niemalejąca względem każdego argumentu.
(ii) F(X,Y ) (t, s) → 0, jeżeli min(t, s) → −∞ oraz F(X,Y ) (t, s) → 1, jeżeli min(t, s) → +∞.
(iii) F(X,Y ) prawostronnie ciągła.
(iv) Jeżeli t ¬ u oraz s ¬ w, to F(X,Y ) (u, w) − F(X,Y ) (u, s) − F(X,Y ) (t, w) + F(X,Y ) (t, s) ­ 0.
Uwaga 1. Gdy rozkład jest ciągły, gęstość jest pochodną mieszaną dystrybuanty: f (x, y) =
∂2F
(x, y) dla p.w. (x, y).
∂x∂y
Definicja 4. Zmienne losowe X1 , X2 , . . . , Xn o wartościach w R, określone na (Ω, F, P) nazywamy niezależnymi, gdy dla
każdego ciągu zbiorów borelowskich B1 , B2 , . . . , Bn zachodzi równość
P(X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , . . . , Xn ∈ Bn ) = P(X1 ∈ B1 ) · P(X2 ∈ B2 ) · . . . · P(Xn ∈ Bn ).
Twierdzenie 2. Zmienne losowe X1 , X2 , . . . , Xn o rozkładach dyskretnych są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdego ciągu x1 , x2 , . . . , xn , gdzie xi ∈ SXi , i = 1, 2, . . . , n zachodzi
P(X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn ) = P(X1 = x1 ) · P(X2 = x2 ) · . . . · P(Xn = xn ).
Twierdzenie 3. Jeżeli X1 , X2 , . . . , Xn są zmiennymi losowymi o rozkładach ciągłych z gęstościami odpowiednio f1 , f2 , . . . , fn ,
to zmienne te są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy P(X1 ,X2 ,...,Xn ) jest rozkładem ciągłym z gęstością
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) · f2 (x2 ) · . . . · fn (xn ).
Twierdzenie 4. Załóżmy, że zmienne losowe X1,1 , X1,2 , . . . , X1,k1 , X2,1 , . . . , X2,k2 , Xn,1 , . . . , Xn,kn są niezależne. Niech
ϕj : Rkj → R będą takimi funkcjami, że Yj = ϕj (Xj,1 , . . . , Xj,kj ), j = 1, 2, . . . , n, są zmiennymi losowymi. Wówczas
zmienne losowe Y1 , . . . , Yn są niezależne.
Twierdzenie 5. Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładach ciągłych jest zmienną losowa o rozkładzie
ciągłym z gęstością będącą splotem gęstości:
Z +∞
(f1 ∗ f2 )(z) =
f1 (z − y)f2 (y)dy.
−∞
A
Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. W urnie znajduje się 10 kul: 5 czerwonych, 3 białe oraz 2 niebieskie. Z urny wyciągnięto 2 kule. Niech X
oraz Y oznaczają zmienne losowe, które liczą odpowiednio liczbę kul czerwonych i białych w próbce.
(a) Znajdź rozkład wektora losowego (X, Y ).
(b) Wyznacz rozkłady brzegowe i sprawdź, czy zmienne X i Y są niezależne.
Zadanie A.2. Rozważmy nieskończony ciąg doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p i porażki
q = 1 − p. Niech X oznacza liczbę porażek zanim otrzymano pierwszy sukces, natomiast Y niech oznacza liczbę porażek
zanim otrzymano drugi sukces. Wyznacz rozkład wektora (X, Y ) oraz oblicz P(Y − X = 1).
Zadanie A.3. Dystrybuanta wektora (X, Y ) dana jest wzorem
(
1 − e−x − e−y + e−x−y
F (x, y) =
0
Znajdź gęstość wektora (X, Y ).
1
dla x > 0, y > 0,
w przeciwnym przypadku.
Zadanie A.4. Niech funkcja F : R2 → R będzie określona w sposób następujący:
(
1
dla x + y ­ 1, x ­ 0 oraz y ­ 0,
F (x, y) =
0
dla pozostałych (x, y).
Rozstrzygnij, czy funkcja F może być dystrybuantą jakiegoś wektora losowego (X, Y )?
Zadanie A.5. Dana jest funkcja
C
(1 + x2 )(1 + y 2 )
f (x, y) =
dla x, y ∈ R.
(a) Dla jakiej stałej C funkcja f jest gęstością pewnego wektora losowego (X, Y )?
(b) Wyznacz rozkłady brzegowe wektora (X, Y ) oraz sprawdź, czy zmienne X i Y są niezależne.
(c) Wyznacz dystrybuantę wektora (X, Y ).
(d) Oblicz P(0 ¬ X ¬ 1, 0 ¬ Y ¬ 1).
Zadanie A.6. Dana jest funkcja
(
f (x, y) =
1
9 xy
0
dla x ∈ [1, 2] oraz y ∈ [2, 4],
w przeciwnym przypadku.
(a) Znajdź dystrybuantę wektora (X, Y ).
(b) Oblicz prawdopodobieństwo P(2X < Y ).
Zadanie A.7. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość

x
f (x, y) =
0
dla 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬
1
,
x
dla pozostałych (x, y).
Wyznacz rozkłady brzegowe oraz sprawdź, czy zmienne losowe X i Y są niezależne.
Zadanie A.8 (Zad. 13, §5.4). Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem λ. Znaleźć
rozkład zmiennej Z = max(X, 2Y ).
B
Zadania domowe
Zadanie B.1. Zad. 1, §5.1.
Zadanie B.2. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Znajdź rozkład (X, Y ), gdzie:
(a) X – maksimum wyników; Y – suma wyników;
(b) X – wynikiem na pierwszej kostce; Y – maksimum wyników,
a następnie oblicz P(X = Y ).
Zadanie B.3. Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Niech zmienna X przyjmuje wartości równe liczbie wylosowanie asów,
zaś Y – liczbie wylosowanych pików. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa wektora (X, Y ) oraz rozkłady brzegowe.
Zadanie B.4. Z talii 24 kart (od dziewiątek do asów) losujemy jedna kartę. Niech X będzie zmienna losową przyjmującą
wartości 0, 1, 2, 3 w przypadku wylosowania odpowiednio pika, kara, trefla i kiera. Ponadto, niech Y będzie zmienną losową
przyjmującą wartości 3, 4, 5, gdy wylosowany zostanie odpowiednio walet, król i as oraz 0 w pozostałych przypadkach.
(a) Podaj rozkład wektora losowego (X, Y ) oraz rozkłady brzegowe.
(b) Oblicz P(X ­ Y ).
(c) Sprawdź, czy zmienne X i Y są niezależne.
Zadanie B.5. Wyznacz rozkłady brzegowe wektora (X, Y ) z Zadania A.2.
Zadanie B.6. Dana jest funkcja
(
f (x, y) =
Cxy + x
0
dla x ∈ [0, 2] oraz y ∈ [0, 1],
w przeciwnym przypadku.
2
(a) Wyznacz stałą C, by funkcja f była gęstością wektora losowego (X, Y ).
(b) Wyznacz rozkłady brzegowe i sprawdź, czy zmienne X i Y są niezależne.
(c) Znajdź dystrybuantę wektora (X, Y ).
(d) Oblicz prawdopodobieństwo P(1 ¬ X ¬ 3, 0 ¬ Y ¬ 21 ).
Zadanie B.7. Zad. 2, §5.1.
Zadanie B.8. Dobrać tak stałą C, by funkcja
(
Cxy(2 − x − y)
f (x, y) =
0
dla x ∈ [0, 1] oraz y ∈ [0, 1],
w przeciwnym przypadku
była gęstością wektora (X, Y ), a następnie wyznaczyć jego rozkłady brzegowe oraz dystrybuantę.
Zadanie B.9. Dana jest funkcja
(
C(x + y)e−(x+y)
f (x, y) =
0
dla x > 0 oraz y > 0,
w przeciwnym przypadku.
(a) Wyznacz stałą C, by funkcja f była gęstością wektora losowego (X, Y ).
(b) Wyznacz rozkłady brzegowe i sprawdź czy zmienne X i Y są niezależne.
Zadanie B.10. Zad 1, §5.4.
Zadanie B.11. Zad 2, §5.4.
Zadanie B.12. Zad 3, §5.4.
Zadanie B.13. Zad 7, §5.4 (bez obliczania wartości oczekiwanych).
Zadanie B.14. Korzystając z Twierdzenia 4 wykazać, że jeżeli zmienne losowe X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Yn są niezależne, to
niezależne są również zmienne X1 + Y1 , X22 + Y22 , . . . , Xnn + Ynn .
C
Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Zad. 7, §5.1.
Zadanie C.2. Zad. 9, §. 5.4.
Zadanie C.3. Zad. 12, §. 5.4.
Zadanie C.4. Zad. 21, §. 5.4.
3